Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
2 |
1
|
a1i |
|- ( S = (/) -> 0 e. NN0 ) |
3 |
|
breq1 |
|- ( s = 0 -> ( s < x <-> 0 < x ) ) |
4 |
3
|
imbi1d |
|- ( s = 0 -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( 0 < x -> x e/ S ) ) ) |
5 |
4
|
ralbidv |
|- ( s = 0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( S = (/) /\ s = 0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) <-> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) ) |
7 |
|
nnel |
|- ( -. x e/ S <-> x e. S ) |
8 |
|
n0i |
|- ( x e. S -> -. S = (/) ) |
9 |
7 8
|
sylbi |
|- ( -. x e/ S -> -. S = (/) ) |
10 |
9
|
con4i |
|- ( S = (/) -> x e/ S ) |
11 |
10
|
a1d |
|- ( S = (/) -> ( 0 < x -> x e/ S ) ) |
12 |
11
|
ralrimivw |
|- ( S = (/) -> A. x e. NN0 ( 0 < x -> x e/ S ) ) |
13 |
2 6 12
|
rspcedvd |
|- ( S = (/) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) |
14 |
13
|
2a1d |
|- ( S = (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) ) |
15 |
|
ltso |
|- < Or RR |
16 |
|
id |
|- ( S C_ NN0 -> S C_ NN0 ) |
17 |
|
nn0ssre |
|- NN0 C_ RR |
18 |
16 17
|
sstrdi |
|- ( S C_ NN0 -> S C_ RR ) |
19 |
18
|
3anim3i |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) ) |
20 |
|
fisup2g |
|- ( ( < Or RR /\ ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ RR ) ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) ) |
21 |
15 19 20
|
sylancr |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) ) |
22 |
|
simp3 |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> S C_ NN0 ) |
23 |
|
breq2 |
|- ( y = x -> ( s < y <-> s < x ) ) |
24 |
23
|
notbid |
|- ( y = x -> ( -. s < y <-> -. s < x ) ) |
25 |
24
|
rspcva |
|- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> -. s < x ) |
26 |
25
|
2a1d |
|- ( ( x e. S /\ A. y e. S -. s < y ) -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) ) |
27 |
26
|
expcom |
|- ( A. y e. S -. s < y -> ( x e. S -> ( x e. NN0 -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> -. s < x ) ) ) ) |
28 |
27
|
com24 |
|- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( x e. NN0 -> ( x e. S -> -. s < x ) ) ) ) |
29 |
28
|
imp31 |
|- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( x e. S -> -. s < x ) ) |
30 |
7 29
|
syl5bi |
|- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( -. x e/ S -> -. s < x ) ) |
31 |
30
|
con4d |
|- ( ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( s < x -> x e/ S ) ) |
32 |
31
|
ralrimiva |
|- ( ( A. y e. S -. s < y /\ ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) |
33 |
32
|
ex |
|- ( A. y e. S -. s < y -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
35 |
34
|
com12 |
|- ( ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) /\ s e. S ) -> ( ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
36 |
35
|
reximdva |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
37 |
|
ssrexv |
|- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. S A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
38 |
22 36 37
|
sylsyld |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> ( E. s e. S ( A. y e. S -. s < y /\ A. y e. RR ( y < s -> E. z e. S y < z ) ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
39 |
21 38
|
mpd |
|- ( ( S e. Fin /\ S =/= (/) /\ S C_ NN0 ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) |
40 |
39
|
3exp |
|- ( S e. Fin -> ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) ) |
41 |
40
|
com3l |
|- ( S =/= (/) -> ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) ) |
42 |
14 41
|
pm2.61ine |
|- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |
43 |
|
fzfi |
|- ( 0 ... s ) e. Fin |
44 |
|
elfz2nn0 |
|- ( y e. ( 0 ... s ) <-> ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) ) |
45 |
44
|
notbii |
|- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) ) |
46 |
|
3ianor |
|- ( -. ( y e. NN0 /\ s e. NN0 /\ y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) |
47 |
|
3orass |
|- ( ( -. y e. NN0 \/ -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) ) |
48 |
45 46 47
|
3bitri |
|- ( -. y e. ( 0 ... s ) <-> ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) ) |
49 |
|
ssel |
|- ( S C_ NN0 -> ( y e. S -> y e. NN0 ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) ) |
51 |
50
|
adantr |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. NN0 ) ) |
52 |
51
|
con3rr3 |
|- ( -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) |
53 |
|
notnotb |
|- ( y e. NN0 <-> -. -. y e. NN0 ) |
54 |
|
pm2.24 |
|- ( s e. NN0 -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) ) |
55 |
54
|
adantl |
|- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. s e. NN0 -> -. y e. S ) ) |
57 |
56
|
com12 |
|- ( -. s e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) |
58 |
57
|
a1d |
|- ( -. s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) ) |
59 |
|
breq2 |
|- ( x = y -> ( s < x <-> s < y ) ) |
60 |
|
neleq1 |
|- ( x = y -> ( x e/ S <-> y e/ S ) ) |
61 |
59 60
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( s < x -> x e/ S ) <-> ( s < y -> y e/ S ) ) ) |
62 |
61
|
rspcva |
|- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( s < y -> y e/ S ) ) |
63 |
|
nn0re |
|- ( s e. NN0 -> s e. RR ) |
64 |
|
nn0re |
|- ( y e. NN0 -> y e. RR ) |
65 |
|
ltnle |
|- ( ( s e. RR /\ y e. RR ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) ) |
66 |
63 64 65
|
syl2an |
|- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( s < y <-> -. y <_ s ) ) |
67 |
|
df-nel |
|- ( y e/ S <-> -. y e. S ) |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( y e/ S <-> -. y e. S ) ) |
69 |
66 68
|
imbi12d |
|- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) <-> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) |
70 |
69
|
biimpd |
|- ( ( s e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) |
71 |
70
|
ex |
|- ( s e. NN0 -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
72 |
71
|
adantl |
|- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( y e. NN0 -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
73 |
72
|
com12 |
|- ( y e. NN0 -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < y -> y e/ S ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
75 |
62 74
|
mpid |
|- ( ( y e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) |
76 |
75
|
ex |
|- ( y e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
77 |
76
|
com13 |
|- ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) ) |
78 |
77
|
imp |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. NN0 -> ( -. y <_ s -> -. y e. S ) ) ) |
79 |
78
|
com13 |
|- ( -. y <_ s -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) ) |
80 |
58 79
|
jaoi |
|- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) ) |
81 |
53 80
|
syl5bir |
|- ( ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) -> ( -. -. y e. NN0 -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) ) |
82 |
81
|
impcom |
|- ( ( -. -. y e. NN0 /\ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) |
83 |
52 82
|
jaoi3 |
|- ( ( -. y e. NN0 \/ ( -. s e. NN0 \/ -. y <_ s ) ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) |
84 |
48 83
|
sylbi |
|- ( -. y e. ( 0 ... s ) -> ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> -. y e. S ) ) |
85 |
84
|
com12 |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( -. y e. ( 0 ... s ) -> -. y e. S ) ) |
86 |
85
|
con4d |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> ( y e. S -> y e. ( 0 ... s ) ) ) |
87 |
86
|
ssrdv |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S C_ ( 0 ... s ) ) |
88 |
|
ssfi |
|- ( ( ( 0 ... s ) e. Fin /\ S C_ ( 0 ... s ) ) -> S e. Fin ) |
89 |
43 87 88
|
sylancr |
|- ( ( ( S C_ NN0 /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) -> S e. Fin ) |
90 |
89
|
rexlimdva2 |
|- ( S C_ NN0 -> ( E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) -> S e. Fin ) ) |
91 |
42 90
|
impbid |
|- ( S C_ NN0 -> ( S e. Fin <-> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> x e/ S ) ) ) |