Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sumdmdi.1 |
|- A e. CH |
2 |
|
sumdmdi.2 |
|- B e. CH |
3 |
|
ineq2 |
|- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) -> ( x i^i ( A +H B ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( ( A +H B ) = ( A vH B ) /\ ( x e. CH /\ B C_ x ) ) -> ( x i^i ( A +H B ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) |
5 |
|
elin |
|- ( y e. ( x i^i ( A +H B ) ) <-> ( y e. x /\ y e. ( A +H B ) ) ) |
6 |
1 2
|
chseli |
|- ( y e. ( A +H B ) <-> E. z e. A E. w e. B y = ( z +h w ) ) |
7 |
|
ssel2 |
|- ( ( B C_ x /\ w e. B ) -> w e. x ) |
8 |
|
chsh |
|- ( x e. CH -> x e. SH ) |
9 |
|
shsubcl |
|- ( ( x e. SH /\ y e. x /\ w e. x ) -> ( y -h w ) e. x ) |
10 |
9
|
3exp |
|- ( x e. SH -> ( y e. x -> ( w e. x -> ( y -h w ) e. x ) ) ) |
11 |
8 10
|
syl |
|- ( x e. CH -> ( y e. x -> ( w e. x -> ( y -h w ) e. x ) ) ) |
12 |
7 11
|
syl7 |
|- ( x e. CH -> ( y e. x -> ( ( B C_ x /\ w e. B ) -> ( y -h w ) e. x ) ) ) |
13 |
12
|
exp4a |
|- ( x e. CH -> ( y e. x -> ( B C_ x -> ( w e. B -> ( y -h w ) e. x ) ) ) ) |
14 |
13
|
com23 |
|- ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( y e. x -> ( w e. B -> ( y -h w ) e. x ) ) ) ) |
15 |
14
|
imp41 |
|- ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ w e. B ) -> ( y -h w ) e. x ) |
16 |
15
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) -> ( y -h w ) e. x ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( y -h w ) e. x ) |
18 |
|
chel |
|- ( ( x e. CH /\ y e. x ) -> y e. ~H ) |
19 |
18
|
adantlr |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> y e. ~H ) |
20 |
1
|
cheli |
|- ( z e. A -> z e. ~H ) |
21 |
2
|
cheli |
|- ( w e. B -> w e. ~H ) |
22 |
|
hvsubadd |
|- ( ( y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( y -h w ) = z <-> ( w +h z ) = y ) ) |
23 |
|
ax-hvcom |
|- ( ( w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( w +h z ) = ( z +h w ) ) |
24 |
23
|
eqeq1d |
|- ( ( w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( w +h z ) = y <-> ( z +h w ) = y ) ) |
25 |
|
eqcom |
|- ( ( z +h w ) = y <-> y = ( z +h w ) ) |
26 |
24 25
|
bitrdi |
|- ( ( w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( w +h z ) = y <-> y = ( z +h w ) ) ) |
27 |
26
|
3adant1 |
|- ( ( y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( w +h z ) = y <-> y = ( z +h w ) ) ) |
28 |
22 27
|
bitrd |
|- ( ( y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( y -h w ) = z <-> y = ( z +h w ) ) ) |
29 |
28
|
3com23 |
|- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( y -h w ) = z <-> y = ( z +h w ) ) ) |
30 |
19 20 21 29
|
syl3an |
|- ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A /\ w e. B ) -> ( ( y -h w ) = z <-> y = ( z +h w ) ) ) |
31 |
30
|
3expa |
|- ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) -> ( ( y -h w ) = z <-> y = ( z +h w ) ) ) |
32 |
|
eleq1 |
|- ( ( y -h w ) = z -> ( ( y -h w ) e. x <-> z e. x ) ) |
33 |
31 32
|
syl6bir |
|- ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) -> ( y = ( z +h w ) -> ( ( y -h w ) e. x <-> z e. x ) ) ) |
34 |
33
|
imp |
|- ( ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( ( y -h w ) e. x <-> z e. x ) ) |
35 |
17 34
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) /\ y = ( z +h w ) ) -> z e. x ) |
36 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) /\ y = ( z +h w ) ) -> y = ( z +h w ) ) |
37 |
35 36
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) /\ w e. B ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( z e. x /\ y = ( z +h w ) ) ) |
38 |
37
|
exp31 |
|- ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) -> ( w e. B -> ( y = ( z +h w ) -> ( z e. x /\ y = ( z +h w ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
reximdvai |
|- ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) -> ( E. w e. B y = ( z +h w ) -> E. w e. B ( z e. x /\ y = ( z +h w ) ) ) ) |
40 |
|
r19.42v |
|- ( E. w e. B ( z e. x /\ y = ( z +h w ) ) <-> ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
41 |
39 40
|
syl6ib |
|- ( ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) /\ z e. A ) -> ( E. w e. B y = ( z +h w ) -> ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) ) |
42 |
41
|
reximdva |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. A E. w e. B y = ( z +h w ) -> E. z e. A ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) ) |
43 |
|
elin |
|- ( z e. ( x i^i A ) <-> ( z e. x /\ z e. A ) ) |
44 |
|
ancom |
|- ( ( z e. x /\ z e. A ) <-> ( z e. A /\ z e. x ) ) |
45 |
43 44
|
bitri |
|- ( z e. ( x i^i A ) <-> ( z e. A /\ z e. x ) ) |
46 |
45
|
anbi1i |
|- ( ( z e. ( x i^i A ) /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) <-> ( ( z e. A /\ z e. x ) /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
47 |
|
anass |
|- ( ( ( z e. A /\ z e. x ) /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) <-> ( z e. A /\ ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) ) |
48 |
46 47
|
bitri |
|- ( ( z e. ( x i^i A ) /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) <-> ( z e. A /\ ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) ) |
49 |
48
|
rexbii2 |
|- ( E. z e. ( x i^i A ) E. w e. B y = ( z +h w ) <-> E. z e. A ( z e. x /\ E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
50 |
42 49
|
syl6ibr |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. A E. w e. B y = ( z +h w ) -> E. z e. ( x i^i A ) E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
51 |
1
|
chshii |
|- A e. SH |
52 |
|
shincl |
|- ( ( x e. SH /\ A e. SH ) -> ( x i^i A ) e. SH ) |
53 |
8 51 52
|
sylancl |
|- ( x e. CH -> ( x i^i A ) e. SH ) |
54 |
53
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( x i^i A ) e. SH ) |
55 |
2
|
chshii |
|- B e. SH |
56 |
|
shsel |
|- ( ( ( x i^i A ) e. SH /\ B e. SH ) -> ( y e. ( ( x i^i A ) +H B ) <-> E. z e. ( x i^i A ) E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
57 |
54 55 56
|
sylancl |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( y e. ( ( x i^i A ) +H B ) <-> E. z e. ( x i^i A ) E. w e. B y = ( z +h w ) ) ) |
58 |
50 57
|
sylibrd |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. A E. w e. B y = ( z +h w ) -> y e. ( ( x i^i A ) +H B ) ) ) |
59 |
6 58
|
syl5bi |
|- ( ( ( x e. CH /\ B C_ x ) /\ y e. x ) -> ( y e. ( A +H B ) -> y e. ( ( x i^i A ) +H B ) ) ) |
60 |
59
|
expimpd |
|- ( ( x e. CH /\ B C_ x ) -> ( ( y e. x /\ y e. ( A +H B ) ) -> y e. ( ( x i^i A ) +H B ) ) ) |
61 |
5 60
|
syl5bi |
|- ( ( x e. CH /\ B C_ x ) -> ( y e. ( x i^i ( A +H B ) ) -> y e. ( ( x i^i A ) +H B ) ) ) |
62 |
61
|
ssrdv |
|- ( ( x e. CH /\ B C_ x ) -> ( x i^i ( A +H B ) ) C_ ( ( x i^i A ) +H B ) ) |
63 |
62
|
adantl |
|- ( ( ( A +H B ) = ( A vH B ) /\ ( x e. CH /\ B C_ x ) ) -> ( x i^i ( A +H B ) ) C_ ( ( x i^i A ) +H B ) ) |
64 |
4 63
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( A +H B ) = ( A vH B ) /\ ( x e. CH /\ B C_ x ) ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) +H B ) ) |
65 |
|
chincl |
|- ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( x i^i A ) e. CH ) |
66 |
1 65
|
mpan2 |
|- ( x e. CH -> ( x i^i A ) e. CH ) |
67 |
|
chslej |
|- ( ( ( x i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( x i^i A ) +H B ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) |
68 |
66 2 67
|
sylancl |
|- ( x e. CH -> ( ( x i^i A ) +H B ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) |
69 |
68
|
ad2antrl |
|- ( ( ( A +H B ) = ( A vH B ) /\ ( x e. CH /\ B C_ x ) ) -> ( ( x i^i A ) +H B ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) |
70 |
64 69
|
sstrd |
|- ( ( ( A +H B ) = ( A vH B ) /\ ( x e. CH /\ B C_ x ) ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) |
71 |
70
|
exp32 |
|- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) ) ) |
72 |
71
|
ralrimiv |
|- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) ) |
73 |
|
dmdbr2 |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) ) ) |
74 |
1 2 73
|
mp2an |
|- ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( x i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( x i^i A ) vH B ) ) ) |
75 |
72 74
|
sylibr |
|- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) -> A MH* B ) |