Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sumss.1 |
|- ( ph -> A C_ B ) |
2 |
|
sumss.2 |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC ) |
3 |
|
sumss.3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 ) |
4 |
|
sumss.4 |
|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
5 |
|
eqid |
|- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ ) |
7 |
1 4
|
sstrd |
|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
9 |
|
nfcv |
|- F/_ k m |
10 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) |
11 |
|
nfv |
|- F/ k m e. A |
12 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` m ) |
13 |
|
nfcv |
|- F/_ k 0 |
14 |
11 12 13
|
nfif |
|- F/_ k if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) |
15 |
10 14
|
nfeq |
|- F/ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) |
16 |
|
fveq2 |
|- ( k = m -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) ) |
17 |
|
eleq1w |
|- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) ) |
18 |
|
fveq2 |
|- ( k = m -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) |
19 |
17 18
|
ifbieq1d |
|- ( k = m -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
20 |
16 19
|
eqeq12d |
|- ( k = m -> ( ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) <-> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) |
22 |
21
|
fvmpt2i |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) ) |
23 |
|
iftrue |
|- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C ) |
24 |
23
|
fveq2d |
|- ( k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( _I ` C ) ) |
25 |
22 24
|
sylan9eq |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` C ) ) |
26 |
|
iftrue |
|- ( k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C ) |
28 |
27
|
fvmpt2i |
|- ( k e. A -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( _I ` C ) ) |
29 |
26 28
|
eqtrd |
|- ( k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) ) |
30 |
29
|
adantl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) ) |
31 |
25 30
|
eqtr4d |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
32 |
|
iffalse |
|- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 ) |
33 |
32
|
fveq2d |
|- ( -. k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) ) |
34 |
|
0z |
|- 0 e. ZZ |
35 |
|
fvi |
|- ( 0 e. ZZ -> ( _I ` 0 ) = 0 ) |
36 |
34 35
|
ax-mp |
|- ( _I ` 0 ) = 0 |
37 |
33 36
|
eqtrdi |
|- ( -. k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = 0 ) |
38 |
22 37
|
sylan9eq |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = 0 ) |
39 |
|
iffalse |
|- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
41 |
38 40
|
eqtr4d |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
42 |
31 41
|
pm2.61dan |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
43 |
9 15 20 42
|
vtoclgaf |
|- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
44 |
43
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
45 |
2
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC ) |
47 |
46
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC ) |
48 |
5 6 8 44 47
|
zsum |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) ) |
49 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
50 |
|
nfv |
|- F/ k ph |
51 |
|
nfv |
|- F/ k m e. B |
52 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ k ( ( k e. B |-> C ) ` m ) |
53 |
51 52 13
|
nfif |
|- F/_ k if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) |
54 |
10 53
|
nfeq |
|- F/ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) |
55 |
50 54
|
nfim |
|- F/ k ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
56 |
|
eleq1w |
|- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) ) |
57 |
|
fveq2 |
|- ( k = m -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) ) |
58 |
56 57
|
ifbieq1d |
|- ( k = m -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
59 |
16 58
|
eqeq12d |
|- ( k = m -> ( ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) <-> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) ) |
60 |
59
|
imbi2d |
|- ( k = m -> ( ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) <-> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) ) ) |
61 |
25
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` C ) ) |
62 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B ) |
63 |
62
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> k e. B ) |
64 |
|
iftrue |
|- ( k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( ( k e. B |-> C ) ` k ) ) |
65 |
|
eqid |
|- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C ) |
66 |
65
|
fvmpt2i |
|- ( k e. B -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = ( _I ` C ) ) |
67 |
64 66
|
eqtrd |
|- ( k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) ) |
68 |
63 67
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) ) |
69 |
61 68
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
70 |
38
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = 0 ) |
71 |
67
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) ) |
72 |
|
eldif |
|- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) ) |
73 |
3
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> ( _I ` C ) = ( _I ` 0 ) ) |
74 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
75 |
|
fvi |
|- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 ) |
76 |
74 75
|
ax-mp |
|- ( _I ` 0 ) = 0 |
77 |
73 76
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> ( _I ` C ) = 0 ) |
78 |
72 77
|
sylan2br |
|- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> ( _I ` C ) = 0 ) |
79 |
71 78
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
80 |
79
|
expr |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) ) |
81 |
|
iffalse |
|- ( -. k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
82 |
81
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
83 |
82
|
a1d |
|- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) ) |
84 |
80 83
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) ) |
85 |
84
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) ) |
86 |
85
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) |
87 |
70 86
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
88 |
69 87
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) |
89 |
88
|
expcom |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) ) |
90 |
9 55 60 89
|
vtoclgaf |
|- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) ) |
91 |
90
|
impcom |
|- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
92 |
91
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) |
93 |
2
|
ex |
|- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) ) |
94 |
93
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) ) |
95 |
3 74
|
eqeltrdi |
|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC ) |
96 |
72 95
|
sylan2br |
|- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC ) |
97 |
96
|
expr |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) ) |
98 |
94 97
|
pm2.61d |
|- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC ) |
99 |
98
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC ) |
100 |
99
|
adantr |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC ) |
101 |
100
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC ) |
102 |
5 6 49 92 101
|
zsum |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) ) |
103 |
48 102
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) ) |
104 |
|
sumfc |
|- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C |
105 |
|
sumfc |
|- sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C |
106 |
103 104 105
|
3eqtr3g |
|- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) |
107 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ B ) |
108 |
|
uzf |
|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ |
109 |
108
|
fdmi |
|- dom ZZ>= = ZZ |
110 |
109
|
eleq2i |
|- ( M e. dom ZZ>= <-> M e. ZZ ) |
111 |
|
ndmfv |
|- ( -. M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) = (/) ) |
112 |
110 111
|
sylnbir |
|- ( -. M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = (/) ) |
113 |
112
|
sseq2d |
|- ( -. M e. ZZ -> ( B C_ ( ZZ>= ` M ) <-> B C_ (/) ) ) |
114 |
4 113
|
syl5ib |
|- ( -. M e. ZZ -> ( ph -> B C_ (/) ) ) |
115 |
114
|
impcom |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B C_ (/) ) |
116 |
107 115
|
sstrd |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ (/) ) |
117 |
|
ss0 |
|- ( A C_ (/) -> A = (/) ) |
118 |
116 117
|
syl |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = (/) ) |
119 |
|
ss0 |
|- ( B C_ (/) -> B = (/) ) |
120 |
115 119
|
syl |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B = (/) ) |
121 |
118 120
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = B ) |
122 |
121
|
sumeq1d |
|- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) |
123 |
106 122
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) |