Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
2 |
|
bcpascm1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) ) |
3 |
1 2
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) ) |
4 |
3
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) = ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
5 |
4
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( 𝑁 C 𝑘 ) ) = ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
6 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
7 |
|
negcl |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → - 1 ∈ ℂ ) |
8 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
9 |
|
expcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
10 |
7 8 9
|
syl2an |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
11 |
6 10
|
mpan |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
13 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
14 |
|
bccl |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
15 |
14
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
16 |
13 1 15
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
18 |
1 17
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
19 |
|
bccl |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
20 |
19
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
13 18 20
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
12 16 21
|
adddid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
23 |
5 22
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( 𝑁 C 𝑘 ) ) = ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( 𝑁 C 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
25 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
26 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → - 1 ∈ ℂ ) |
28 |
27 8 9
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
29 |
28 16
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ ) |
32 |
1 31
|
zsubcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
33 |
13 32 20
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
28 33
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
35 |
25 29 34
|
fsumadd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
36 |
30
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ ) |
37 |
|
0zd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ ) |
38 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
39 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) = ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
40 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
41 |
39 40
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) |
42 |
36 37 38 29 41
|
fsumshft |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) |
43 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
44 |
43
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
46 |
45
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) |
47 |
|
elnnuz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
48 |
47
|
biimpi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
49 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → - 1 ∈ ℂ ) |
50 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ ) |
51 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
52 |
50 51
|
syl |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
53 |
52
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
54 |
49 53
|
expcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
55 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
56 |
|
elfzel1 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
57 |
55 56
|
zsubcld |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
58 |
|
bccl |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
59 |
58
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
60 |
13 57 59
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
54 60
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
62 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑗 − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
63 |
62
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑁 + 1 ) → ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) |
64 |
62
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) |
65 |
63 64
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) ) |
66 |
48 61 65
|
fsump1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) + ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) ) ) |
67 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
68 |
|
pncan1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
69 |
67 68
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
70 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
71 |
69 70
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
72 |
71
|
nn0zd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
73 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
74 |
|
ltm1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ) |
75 |
73 74
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ) |
76 |
75 69
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) < ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) |
77 |
76
|
olcd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) < 0 ∨ ( 𝑁 − 1 ) < ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) |
78 |
|
bcval4 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) < 0 ∨ ( 𝑁 − 1 ) < ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) = 0 ) |
79 |
13 72 77 78
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) = 0 ) |
80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · 0 ) ) |
81 |
27 71
|
expcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
82 |
81
|
mul01d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · 0 ) = 0 ) |
83 |
80 82
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) = 0 ) |
84 |
83
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) + ( ( - 1 ↑ ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) + 0 ) ) |
85 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) ) |
86 |
85
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
87 |
85
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
88 |
86 87
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
89 |
88
|
cbvsumv |
⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
90 |
89
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
91 |
90
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) + 0 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + 0 ) ) |
92 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
93 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → - 1 ∈ ℂ ) |
94 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
95 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
96 |
94 95
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
97 |
96
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
98 |
93 97
|
expcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
99 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
100 |
|
elfzel1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ ) |
101 |
99 100
|
zsubcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) |
102 |
13 101 19
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) |
103 |
102
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
104 |
98 103
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
105 |
92 104
|
fsumcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
106 |
105
|
addid1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
107 |
91 106
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) + 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
108 |
66 84 107
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑗 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
109 |
42 46 108
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
110 |
|
elnn0uz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
111 |
70 110
|
sylib |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
112 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( - 1 ↑ 𝑘 ) = ( - 1 ↑ 0 ) ) |
113 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 − 1 ) = ( 0 − 1 ) ) |
114 |
113
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) |
115 |
112 114
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ 0 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) ) |
116 |
111 34 115
|
fsum1p |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑ 0 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
117 |
27
|
exp0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( - 1 ↑ 0 ) = 1 ) |
118 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
119 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ) |
120 |
118 30 119
|
mp2an |
⊢ ( 0 − 1 ) ∈ ℤ |
121 |
120
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ) |
122 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
123 |
|
ltm1 |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 − 1 ) < 0 ) |
124 |
122 123
|
mp1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 − 1 ) < 0 ) |
125 |
124
|
orcd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 0 − 1 ) < 0 ∨ ( 𝑁 − 1 ) < ( 0 − 1 ) ) ) |
126 |
|
bcval4 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 0 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 0 − 1 ) < 0 ∨ ( 𝑁 − 1 ) < ( 0 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) = 0 ) |
127 |
13 121 125 126
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) = 0 ) |
128 |
117 127
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑ 0 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) = ( 1 · 0 ) ) |
129 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ ) |
130 |
129
|
mul01d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · 0 ) = 0 ) |
131 |
128 130
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑ 0 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) = 0 ) |
132 |
43
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 + 1 ) = 1 ) |
133 |
132
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 0 + 1 ) ... 𝑁 ) = ( 1 ... 𝑁 ) ) |
134 |
99
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
135 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 ) |
136 |
135
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) |
137 |
134 136
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) |
138 |
137
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) |
139 |
138
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) = ( - 1 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) |
140 |
|
expp1 |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) ) |
141 |
27 96 140
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) ) |
142 |
139 141
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( - 1 ↑ 𝑘 ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) ) |
143 |
142
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
144 |
98 93
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) = ( - 1 · ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
145 |
144
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · - 1 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( - 1 · ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
146 |
93 98 103
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 · ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( - 1 · ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
147 |
143 145 146
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( - 1 · ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
148 |
133 147
|
sumeq12rdv |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( - 1 · ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
149 |
92 27 104
|
fsummulc2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( - 1 · ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
150 |
148 149
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
151 |
131 150
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( - 1 ↑ 0 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 0 − 1 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 0 + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) ) |
152 |
27 105
|
mulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
153 |
152
|
addid2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
154 |
116 151 153
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
155 |
109 154
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) ) |
156 |
35 155
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C 𝑘 ) ) + ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) ) |
157 |
105
|
mulm1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = - Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) |
158 |
157
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + - Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) |
159 |
105
|
negidd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + - Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = 0 ) |
160 |
158 159
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) + ( - 1 · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = 0 ) |
161 |
24 156 160
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( 𝑁 C 𝑘 ) ) = 0 ) |