Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
areacirc.1 |
⊢ 𝑆 = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } |
2 |
1
|
imaeq1i |
⊢ ( 𝑆 “ { 𝑡 } ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } “ { 𝑡 } ) |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑡 ∈ V |
4 |
|
imasng |
⊢ ( 𝑡 ∈ V → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } “ { 𝑡 } ) = { 𝑢 ∣ 𝑡 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } 𝑢 } ) |
5 |
3 4
|
ax-mp |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } “ { 𝑡 } ) = { 𝑢 ∣ 𝑡 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } 𝑢 } |
6 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑡 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } 𝑢 ↔ 〈 𝑡 , 𝑢 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } ) |
7 |
|
vex |
⊢ 𝑢 ∈ V |
8 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑡 ∈ ℝ ) ) |
9 |
8
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ) ) |
10 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( 𝑥 ↑ 2 ) = ( 𝑡 ↑ 2 ) ) |
11 |
10
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ) |
12 |
11
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
13 |
9 12
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) ) |
14 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ℝ ↔ 𝑢 ∈ ℝ ) ) |
15 |
14
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( 𝑦 ↑ 2 ) = ( 𝑢 ↑ 2 ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ) |
18 |
17
|
breq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
19 |
15 18
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) ) |
20 |
3 7 13 19
|
opelopab |
⊢ ( 〈 𝑡 , 𝑢 〉 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } ↔ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
21 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) ) |
22 |
6 20 21
|
3bitri |
⊢ ( 𝑡 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } 𝑢 ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) ) |
23 |
22
|
abbii |
⊢ { 𝑢 ∣ 𝑡 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } 𝑢 } = { 𝑢 ∣ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) } |
24 |
2 5 23
|
3eqtri |
⊢ ( 𝑆 “ { 𝑡 } ) = { 𝑢 ∣ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) } |
25 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
26 |
25
|
biantrurd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
abbidv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = { 𝑢 ∣ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) } ) |
28 |
|
resqcl |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( 𝑅 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
30 |
|
resqcl |
⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → ( 𝑡 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
32 |
29 31
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
34 |
|
absresq |
⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) = ( 𝑡 ↑ 2 ) ) |
35 |
34
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) = ( 𝑡 ↑ 2 ) ) |
36 |
35
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( 𝑡 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
37 |
|
recn |
⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ ) |
38 |
37
|
abscld |
⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → ( abs ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
39 |
38
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
40 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
41 |
37
|
absge0d |
⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ ( abs ‘ 𝑡 ) ) |
42 |
41
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( abs ‘ 𝑡 ) ) |
43 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 0 ≤ 𝑅 ) |
44 |
39 40 42 43
|
le2sqd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ↔ ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
45 |
29 31
|
subge0d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝑡 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
46 |
36 44 45
|
3bitr4d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
47 |
46
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → 0 ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) |
48 |
33 47
|
resqrtcld |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
48
|
renegcld |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
50 |
49
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
51 |
48
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
52 |
|
iccval |
⊢ ( ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ* ) → ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) = { 𝑢 ∈ ℝ* ∣ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) } ) |
53 |
50 51 52
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) = { 𝑢 ∈ ℝ* ∣ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) } ) |
54 |
|
iftrue |
⊢ ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 → if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) = ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
55 |
54
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) = ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
56 |
|
absresq |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) = ( 𝑢 ↑ 2 ) ) |
57 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
58 |
57
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
59 |
58
|
sqsqrtd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) |
60 |
56 59
|
breqan12rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) ≤ ( ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ↔ ( 𝑢 ↑ 2 ) ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
61 |
|
recn |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℂ ) |
62 |
61
|
abscld |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → ( abs ‘ 𝑢 ) ∈ ℝ ) |
63 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑢 ) ∈ ℝ ) |
64 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
65 |
61
|
absge0d |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ ( abs ‘ 𝑢 ) ) |
66 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( abs ‘ 𝑢 ) ) |
67 |
33 47
|
sqrtge0d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → 0 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
69 |
63 64 66 68
|
le2sqd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑢 ) ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) ≤ ( ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
70 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
71 |
|
resqcl |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → ( 𝑢 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
73 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
74 |
70 72 73
|
leaddsub2d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( 𝑢 ↑ 2 ) ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
75 |
74
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( 𝑢 ↑ 2 ) ≤ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
76 |
60 69 75
|
3bitr4rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ 𝑢 ) ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
77 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 𝑢 ∈ ℝ ) |
78 |
77 64
|
absled |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑢 ) ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
79 |
|
rexr |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℝ* ) |
80 |
79
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 𝑢 ∈ ℝ* ) |
81 |
80
|
biantrurd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
82 |
76 78 81
|
3bitrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
pm5.32da |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
84 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ* ) |
85 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
87 |
86
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
88 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
89 |
88
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
90 |
49
|
mnfltd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → -∞ < - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → -∞ < - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
92 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ) |
93 |
87 89 84 91 92
|
xrltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → -∞ < 𝑢 ) |
94 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) |
95 |
|
xrre |
⊢ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ ) |
96 |
84 85 93 94 95
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ ) |
97 |
96
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ ) ) |
98 |
97
|
pm4.71rd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
99 |
83 98
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
100 |
99
|
abbidv |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) } ) |
101 |
|
df-rab |
⊢ { 𝑢 ∈ ℝ* ∣ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) } = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ* ∧ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) ) } |
102 |
100 101
|
eqtr4di |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = { 𝑢 ∈ ℝ* ∣ ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) } ) |
103 |
53 55 102
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) ) |
104 |
40 39
|
ltnled |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) ) |
105 |
104
|
biimprd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 → 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) ) |
106 |
105
|
imdistani |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) ) |
107 |
|
df-rab |
⊢ { 𝑢 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) } = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } |
108 |
29
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
109 |
31
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
110 |
71
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
111 |
109 110
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
112 |
40 39 43 42
|
lt2sqd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ↔ ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) ) ) |
113 |
35
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( ( abs ‘ 𝑡 ) ↑ 2 ) ↔ ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) |
114 |
112 113
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ↔ ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) |
115 |
114
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( 𝑡 ↑ 2 ) ) |
116 |
115
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( 𝑡 ↑ 2 ) ) |
117 |
|
sqge0 |
⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ ( 𝑢 ↑ 2 ) ) |
118 |
117
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝑢 ↑ 2 ) ) |
119 |
109 110
|
addge01d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝑢 ↑ 2 ) ↔ ( 𝑡 ↑ 2 ) ≤ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ) ) |
120 |
118 119
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 ↑ 2 ) ≤ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ) |
121 |
108 109 111 116 120
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ) |
122 |
108 111
|
ltnled |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) < ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) |
123 |
121 122
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ¬ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) |
124 |
123
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ¬ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) |
125 |
124
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) → ∀ 𝑢 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) |
126 |
|
rabeq0 |
⊢ ( { 𝑢 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑢 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) |
127 |
125 126
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) → { 𝑢 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) } = ∅ ) |
128 |
107 127
|
syl5eqr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 < ( abs ‘ 𝑡 ) ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = ∅ ) |
129 |
106 128
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = ∅ ) |
130 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 → if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) = ∅ ) |
131 |
130
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) = ∅ ) |
132 |
129 131
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) ) |
133 |
103 132
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) } = if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) ) |
134 |
27 133
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 ↑ 2 ) + ( 𝑢 ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝑅 ↑ 2 ) ) ) } = if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) ) |
135 |
24 134
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑆 “ { 𝑡 } ) = if ( ( abs ‘ 𝑡 ) ≤ 𝑅 , ( - ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) [,] ( √ ‘ ( ( 𝑅 ↑ 2 ) − ( 𝑡 ↑ 2 ) ) ) ) , ∅ ) ) |