Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
areacirc.1 |
|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } |
2 |
1
|
imaeq1i |
|- ( S " { t } ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) |
3 |
|
vex |
|- t e. _V |
4 |
|
imasng |
|- ( t e. _V -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } ) |
5 |
3 4
|
ax-mp |
|- ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } |
6 |
|
df-br |
|- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } ) |
7 |
|
vex |
|- u e. _V |
8 |
|
eleq1w |
|- ( x = t -> ( x e. RR <-> t e. RR ) ) |
9 |
8
|
anbi1d |
|- ( x = t -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ y e. RR ) ) ) |
10 |
|
oveq1 |
|- ( x = t -> ( x ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) ) |
11 |
10
|
oveq1d |
|- ( x = t -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) |
12 |
11
|
breq1d |
|- ( x = t -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
13 |
9 12
|
anbi12d |
|- ( x = t -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) |
14 |
|
eleq1w |
|- ( y = u -> ( y e. RR <-> u e. RR ) ) |
15 |
14
|
anbi2d |
|- ( y = u -> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ u e. RR ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( y = u -> ( y ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( y = u -> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) |
18 |
17
|
breq1d |
|- ( y = u -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
19 |
15 18
|
anbi12d |
|- ( y = u -> ( ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) |
20 |
3 7 13 19
|
opelopab |
|- ( <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
21 |
|
anass |
|- ( ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) |
22 |
6 20 21
|
3bitri |
|- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) |
23 |
22
|
abbii |
|- { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } |
24 |
2 5 23
|
3eqtri |
|- ( S " { t } ) = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } |
25 |
|
simp3 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> t e. RR ) |
26 |
25
|
biantrurd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
abbidv |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } ) |
28 |
|
resqcl |
|- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR ) |
30 |
|
resqcl |
|- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR ) |
31 |
30
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR ) |
32 |
29 31
|
resubcld |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR ) |
34 |
|
absresq |
|- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) ) |
35 |
34
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) ) |
36 |
35
|
breq1d |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
37 |
|
recn |
|- ( t e. RR -> t e. CC ) |
38 |
37
|
abscld |
|- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR ) |
39 |
38
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR ) |
40 |
|
simp1 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> R e. RR ) |
41 |
37
|
absge0d |
|- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) ) |
42 |
41
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) ) |
43 |
|
simp2 |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ R ) |
44 |
39 40 42 43
|
le2sqd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
45 |
29 31
|
subge0d |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
46 |
36 44 45
|
3bitr4d |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
47 |
46
|
biimpa |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) |
48 |
33 47
|
resqrtcld |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
49 |
48
|
renegcld |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
50 |
49
|
rexrd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) |
51 |
48
|
rexrd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) |
52 |
|
iccval |
|- ( ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* /\ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) -> ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } ) |
53 |
50 51 52
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } ) |
54 |
|
iftrue |
|- ( ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) |
55 |
54
|
adantl |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) |
56 |
|
absresq |
|- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) ) |
57 |
32
|
recnd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC ) |
58 |
57
|
adantr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC ) |
59 |
58
|
sqsqrtd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) |
60 |
56 59
|
breqan12rd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
61 |
|
recn |
|- ( u e. RR -> u e. CC ) |
62 |
61
|
abscld |
|- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR ) |
63 |
62
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( abs ` u ) e. RR ) |
64 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
65 |
61
|
absge0d |
|- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) ) |
66 |
65
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` u ) ) |
67 |
33 47
|
sqrtge0d |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
69 |
63 64 66 68
|
le2sqd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) |
70 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR ) |
71 |
|
resqcl |
|- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR ) |
72 |
71
|
adantl |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR ) |
73 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR ) |
74 |
70 72 73
|
leaddsub2d |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
75 |
74
|
adantlr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
76 |
60 69 75
|
3bitr4rd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( abs ` u ) <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) |
77 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR ) |
78 |
77 64
|
absled |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) |
79 |
|
rexr |
|- ( u e. RR -> u e. RR* ) |
80 |
79
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR* ) |
81 |
80
|
biantrurd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
82 |
76 78 81
|
3bitrd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
pm5.32da |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
84 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR* ) |
85 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
86 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
87 |
86
|
a1i |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo e. RR* ) |
88 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
89 |
88
|
rexrd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) |
90 |
49
|
mnfltd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -oo < -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
92 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u ) |
93 |
87 89 84 91 92
|
xrltletrd |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < u ) |
94 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) |
95 |
|
xrre |
|- ( ( ( u e. RR* /\ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( -oo < u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR ) |
96 |
84 85 93 94 95
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR ) |
97 |
96
|
ex |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR ) ) |
98 |
97
|
pm4.71rd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
99 |
83 98
|
bitr4d |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
100 |
99
|
abbidv |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } ) |
101 |
|
df-rab |
|- { u e. RR* | ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } |
102 |
100 101
|
eqtr4di |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u e. RR* | ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } ) |
103 |
53 55 102
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) ) |
104 |
40 39
|
ltnled |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> -. ( abs ` t ) <_ R ) ) |
105 |
104
|
biimprd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( -. ( abs ` t ) <_ R -> R < ( abs ` t ) ) ) |
106 |
105
|
imdistani |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) ) |
107 |
|
df-rab |
|- { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } |
108 |
29
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR ) |
109 |
31
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR ) |
110 |
71
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR ) |
111 |
109 110
|
readdcld |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) e. RR ) |
112 |
40 39 43 42
|
lt2sqd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) ) ) |
113 |
35
|
breq2d |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) ) |
114 |
112 113
|
bitrd |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) ) |
115 |
114
|
biimpa |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) |
116 |
115
|
3adant3 |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) |
117 |
|
sqge0 |
|- ( u e. RR -> 0 <_ ( u ^ 2 ) ) |
118 |
117
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( u ^ 2 ) ) |
119 |
109 110
|
addge01d |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ ( u ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) ) |
120 |
118 119
|
mpbid |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) |
121 |
108 109 111 116 120
|
ltletrd |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) |
122 |
108 111
|
ltnled |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <-> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) |
123 |
121 122
|
mpbid |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) |
124 |
123
|
3expa |
|- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) |
125 |
124
|
ralrimiva |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) |
126 |
|
rabeq0 |
|- ( { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) <-> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) |
127 |
125 126
|
sylibr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) ) |
128 |
107 127
|
syl5eqr |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) ) |
129 |
106 128
|
syl |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) ) |
130 |
|
iffalse |
|- ( -. ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) ) |
131 |
130
|
adantl |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) ) |
132 |
129 131
|
eqtr4d |
|- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) ) |
133 |
103 132
|
pm2.61dan |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) ) |
134 |
27 133
|
eqtr3d |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) ) |
135 |
24 134
|
syl5eq |
|- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqrt ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) ) |