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Theorem coemullem

Description: Lemma for coemul and dgrmul . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014)

Ref Expression
Hypotheses coefv0.1 𝐴 = ( coeff ‘ 𝐹 )
coeadd.2 𝐵 = ( coeff ‘ 𝐺 )
coeadd.3 𝑀 = ( deg ‘ 𝐹 )
coeadd.4 𝑁 = ( deg ‘ 𝐺 )
Assertion coemullem ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( coeff ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ∧ ( deg ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 coefv0.1 𝐴 = ( coeff ‘ 𝐹 )
2 coeadd.2 𝐵 = ( coeff ‘ 𝐺 )
3 coeadd.3 𝑀 = ( deg ‘ 𝐹 )
4 coeadd.4 𝑁 = ( deg ‘ 𝐺 )
5 plymulcl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐹f · 𝐺 ) ∈ ( Poly ‘ ℂ ) )
6 dgrcl ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( deg ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ0 )
7 3 6 eqeltrid ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 )
8 dgrcl ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( deg ‘ 𝐺 ) ∈ ℕ0 )
9 4 8 eqeltrid ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
10 nn0addcl ( ( 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
11 7 9 10 syl2an ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
12 fzfid ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ... 𝑛 ) ∈ Fin )
13 1 coef3 ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
14 13 adantr ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
15 14 adantr ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
16 elfznn0 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
17 ffvelrn ( ( 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
18 15 16 17 syl2an ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
19 2 coef3 ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ )
20 19 adantl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ )
21 20 ad2antrr ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ )
22 fznn0sub ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) → ( 𝑛𝑘 ) ∈ ℕ0 )
23 22 adantl ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑛𝑘 ) ∈ ℕ0 )
24 21 23 ffvelrnd ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ∈ ℂ )
25 18 24 mulcld ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
26 12 25 fsumcl ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
27 26 fmpttd ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) : ℕ0 ⟶ ℂ )
28 oveq2 ( 𝑛 = 𝑗 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑗 ) )
29 fvoveq1 ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) = ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) )
30 29 oveq2d ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
31 30 adantr ( ( 𝑛 = 𝑗𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
32 28 31 sumeq12dv ( 𝑛 = 𝑗 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
33 eqid ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) )
34 sumex Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) ∈ V
35 32 33 34 fvmpt ( 𝑗 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
36 35 ad2antrl ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
37 simp2r ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
38 simp2l ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
39 38 nn0red ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
40 simp3l ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) )
41 elfznn0 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
42 40 41 syl ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
43 42 nn0red ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
44 9 adantl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
45 44 3ad2ant1 ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
46 45 nn0red ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
47 39 43 46 lesubadd2d ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁𝑗 ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) ) )
48 7 adantr ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 )
49 48 3ad2ant1 ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 )
50 49 nn0red ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
51 simp3r ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝑘𝑀 )
52 43 50 46 51 leadd1dd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝑘 + 𝑁 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
53 43 46 readdcld ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝑘 + 𝑁 ) ∈ ℝ )
54 50 46 readdcld ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℝ )
55 letr ( ( 𝑗 ∈ ℝ ∧ ( 𝑘 + 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑗 ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 𝑁 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
56 39 53 54 55 syl3anc ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝑗 ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 𝑁 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
57 52 56 mpan2d ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝑗 ≤ ( 𝑘 + 𝑁 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
58 47 57 sylbid ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
59 37 58 mtod ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ¬ ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁 )
60 simpr ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
61 60 3ad2ant1 ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
62 fznn0sub ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) → ( 𝑗𝑘 ) ∈ ℕ0 )
63 40 62 syl ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝑗𝑘 ) ∈ ℕ0 )
64 2 4 dgrub ( ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ ( 𝑗𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁 )
65 64 3expia ( ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ ( 𝑗𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ≠ 0 → ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁 ) )
66 61 63 65 syl2anc ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ≠ 0 → ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁 ) )
67 66 necon1bd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ¬ ( 𝑗𝑘 ) ≤ 𝑁 → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) = 0 ) )
68 59 67 mpd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) = 0 )
69 68 oveq2d ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · 0 ) )
70 14 3ad2ant1 ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
71 70 42 ffvelrnd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
72 71 mul01d ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · 0 ) = 0 )
73 69 72 eqtrd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
74 73 3expia ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ∧ 𝑘𝑀 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 ) )
75 74 impl ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘𝑀 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
76 simpl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
77 76 adantr ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) )
78 1 3 dgrub ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 ) → 𝑘𝑀 )
79 78 3expia ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 → 𝑘𝑀 ) )
80 77 41 79 syl2an ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 → 𝑘𝑀 ) )
81 80 necon1bd ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) → ( ¬ 𝑘𝑀 → ( 𝐴𝑘 ) = 0 ) )
82 81 imp ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( 𝐴𝑘 ) = 0 )
83 82 oveq1d ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = ( 0 · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
84 20 ad3antrrr ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → 𝐵 : ℕ0 ⟶ ℂ )
85 62 ad2antlr ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( 𝑗𝑘 ) ∈ ℕ0 )
86 84 85 ffvelrnd ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ∈ ℂ )
87 86 mul02d ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( 0 · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
88 83 87 eqtrd ( ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑘𝑀 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
89 75 88 pm2.61dan ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
90 89 sumeq2dv ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) 0 )
91 fzfi ( 0 ... 𝑗 ) ∈ Fin
92 91 olci ( ( 0 ... 𝑗 ) ⊆ ( ℤ ‘ 0 ) ∨ ( 0 ... 𝑗 ) ∈ Fin )
93 sumz ( ( ( 0 ... 𝑗 ) ⊆ ( ℤ ‘ 0 ) ∨ ( 0 ... 𝑗 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) 0 = 0 )
94 92 93 ax-mp Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) 0 = 0
95 90 94 eqtrdi ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) = 0 )
96 36 95 eqtrd ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
97 96 expr ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) )
98 97 necon1ad ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ 0 → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
99 98 ralrimiva ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ 0 → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
100 plyco0 ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) : ℕ0 ⟶ ℂ ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) “ ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + 1 ) ) ) = { 0 } ↔ ∀ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ 0 → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) )
101 11 27 100 syl2anc ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) “ ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + 1 ) ) ) = { 0 } ↔ ∀ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ 0 → 𝑗 ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) )
102 99 101 mpbird ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) “ ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + 1 ) ) ) = { 0 } )
103 1 3 dgrub2 ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( 𝐴 “ ( ℤ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = { 0 } )
104 103 adantr ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐴 “ ( ℤ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = { 0 } )
105 2 4 dgrub2 ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → ( 𝐵 “ ( ℤ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = { 0 } )
106 105 adantl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐵 “ ( ℤ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) = { 0 } )
107 1 3 coeid ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑧𝑘 ) ) ) )
108 107 adantr ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑧𝑘 ) ) ) )
109 2 4 coeid ( 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) → 𝐺 = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵𝑘 ) · ( 𝑧𝑘 ) ) ) )
110 109 adantl ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → 𝐺 = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵𝑘 ) · ( 𝑧𝑘 ) ) ) )
111 76 60 48 44 14 20 104 106 108 110 plymullem1 ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐹f · 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) · ( 𝑧𝑗 ) ) ) )
112 elfznn0 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
113 112 35 syl ( 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) )
114 113 oveq1d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝑧𝑗 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) · ( 𝑧𝑗 ) ) )
115 114 sumeq2i Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝑧𝑗 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) · ( 𝑧𝑗 ) )
116 115 mpteq2i ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝑧𝑗 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑗 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑗𝑘 ) ) ) · ( 𝑧𝑗 ) ) )
117 111 116 eqtr4di ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝐹f · 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) · ( 𝑧𝑗 ) ) ) )
118 5 11 27 102 117 coeeq ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( coeff ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) )
119 ffvelrn ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) : ℕ0 ⟶ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
120 27 112 119 syl2an ( ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
121 5 11 120 117 dgrle ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( deg ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
122 118 121 jca ( ( 𝐹 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Poly ‘ 𝑆 ) ) → ( ( coeff ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝐵 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ) ) ∧ ( deg ‘ ( 𝐹f · 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )