Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
heron.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) , 𝑦 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↦ ( ℑ ‘ ( log ‘ ( 𝑦 / 𝑥 ) ) ) ) |
2 |
|
heron.x |
⊢ 𝑋 = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
3 |
|
heron.y |
⊢ 𝑌 = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) |
4 |
|
heron.z |
⊢ 𝑍 = ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
5 |
|
heron.o |
⊢ 𝑂 = ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐹 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) |
6 |
|
heron.s |
⊢ 𝑆 = ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) / 2 ) |
7 |
|
heron.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
8 |
|
heron.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
9 |
|
heron.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
10 |
|
heron.ac |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶 ) |
11 |
|
heron.bc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
12 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
14 |
8 9
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
15 |
14
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
2 15
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
17 |
7 9
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
19 |
3 18
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
20 |
16 19
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
21 |
13 20
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
22 |
|
negpitopissre |
⊢ ( - π (,] π ) ⊆ ℝ |
23 |
8 9 11
|
subne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) ≠ 0 ) |
24 |
7 9 10
|
subne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) ≠ 0 ) |
25 |
1 14 23 17 24
|
angcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐹 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ( - π (,] π ) ) |
26 |
22 25
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐹 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐹 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
5 27
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ ℂ ) |
29 |
28
|
sincld |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ 𝑂 ) ∈ ℂ ) |
30 |
29
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ∈ ℝ ) |
31 |
21 30
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ∈ ℝ ) |
32 |
|
halfge0 |
⊢ 0 ≤ ( 1 / 2 ) |
33 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 1 / 2 ) ) |
34 |
14
|
absge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
35 |
34 2
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑋 ) |
36 |
17
|
absge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) |
37 |
36 3
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑌 ) |
38 |
16 19 35 37
|
mulge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝑋 · 𝑌 ) ) |
39 |
13 20 33 38
|
mulge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) |
40 |
29
|
absge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) |
41 |
21 30 39 40
|
mulge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ) |
42 |
31 41
|
sqrtsqd |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ) |
43 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
44 |
43
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
45 |
16
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
46 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ ) |
47 |
45 46
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
48 |
44 47
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ ℂ ) |
49 |
30
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ∈ ℂ ) |
50 |
48 49
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
51 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
52 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
53 |
52
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 ) |
54 |
47 51 53
|
sqdivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) / 2 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / ( 2 ↑ 2 ) ) ) |
55 |
47 51 53
|
divrec2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ) |
56 |
55
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) / 2 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) |
57 |
|
sq2 |
⊢ ( 2 ↑ 2 ) = 4 |
58 |
57
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ 2 ) = 4 ) |
59 |
58
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / ( 2 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / 4 ) ) |
60 |
54 56 59
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / 4 ) ) |
61 |
5 26
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ ℝ ) |
62 |
61
|
resincld |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ 𝑂 ) ∈ ℝ ) |
63 |
|
absresq |
⊢ ( ( sin ‘ 𝑂 ) ∈ ℝ → ( ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) = ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) |
64 |
62 63
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) = ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) |
65 |
60 64
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / 4 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) |
66 |
47
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
67 |
29
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
68 |
66 67
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
69 |
|
4cn |
⊢ 4 ∈ ℂ |
70 |
69
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 4 ∈ ℂ ) |
71 |
16 19
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
72 |
7 8
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
73 |
72
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
74 |
4 73
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ ) |
75 |
71 74
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ∈ ℝ ) |
76 |
75
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
77 |
6 76
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ ) |
78 |
77
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ ) |
79 |
78 45
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
80 |
78 79
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
81 |
78 46
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
82 |
74
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ ) |
83 |
78 82
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
84 |
81 83
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ∈ ℂ ) |
85 |
80 84
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ ) |
86 |
70 85
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
87 |
|
4ne0 |
⊢ 4 ≠ 0 |
88 |
87
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 4 ≠ 0 ) |
89 |
51 47
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) ) |
90 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) ) |
91 |
89 90
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) |
92 |
91
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) |
93 |
70 66 67
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
94 |
51 47
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ∈ ℂ ) |
95 |
94
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
96 |
95 67
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
46 82
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 · 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
98 |
51 97
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ∈ ℂ ) |
99 |
98
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
100 |
46
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
101 |
82
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
102 |
45
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
103 |
101 102
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
104 |
100 103
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
105 |
104
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
106 |
99 105
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
107 |
28
|
coscld |
⊢ ( 𝜑 → ( cos ‘ 𝑂 ) ∈ ℂ ) |
108 |
107
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
109 |
95 108
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
110 |
|
sincossq |
⊢ ( 𝑂 ∈ ℂ → ( ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) + ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = 1 ) |
111 |
28 110
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) + ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = 1 ) |
112 |
111
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) + ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · 1 ) ) |
113 |
95 67 108
|
adddid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) + ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
114 |
100
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
115 |
100 103 100
|
ppncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
116 |
114 115
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
117 |
103
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
118 |
100 103 103
|
pnncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
119 |
117 118
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
120 |
116 119
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 2 · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
121 |
|
2t2e4 |
⊢ ( 2 · 2 ) = 4 |
122 |
121 70
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 2 ) ∈ ℂ ) |
123 |
122 100 103
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
124 |
122 100
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
125 |
124 101 102
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
126 |
51
|
sqvald |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ 2 ) = ( 2 · 2 ) ) |
127 |
46 82
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 · 𝑍 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) |
128 |
126 127
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑌 · 𝑍 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
129 |
51 97
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑌 · 𝑍 ) ↑ 2 ) ) ) |
130 |
122 100 101
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
131 |
128 129 130
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) |
132 |
45 46
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
133 |
102 100
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
134 |
132 133
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
135 |
126 134
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 ↑ 2 ) · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
136 |
122 100 102
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
137 |
135 89 136
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
138 |
131 137
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
139 |
125 138
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
140 |
51 51 100 103
|
mul4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑌 ↑ 2 ) · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 2 · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
141 |
123 139 140
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 ↑ 2 ) ) · ( 2 · ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
142 |
100 103
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
143 |
|
subsq |
⊢ ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
144 |
104 142 143
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
145 |
120 141 144
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
146 |
145
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
147 |
99 95
|
nncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) |
148 |
142
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
149 |
99 105 148
|
subsubd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
150 |
146 147 149
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
151 |
95
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · 1 ) = ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) ) |
152 |
102 100
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
153 |
47 107
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ∈ ℂ ) |
154 |
51 153
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ∈ ℂ ) |
155 |
152 154
|
nncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) ) = ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) |
156 |
100 101
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
157 |
156 102
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) + ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
158 |
100 101 102
|
subsubd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) + ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
159 |
102 100 101
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
160 |
157 158 159
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) |
161 |
1 2 3 4 5
|
lawcos |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( 𝑍 ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) ) |
162 |
7 8 9 10 11 161
|
syl32anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) ) |
163 |
162
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 𝑍 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) ) ) |
164 |
160 163
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) ) ) |
165 |
51 47 107
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) = ( 2 · ( ( 𝑋 · 𝑌 ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) ) |
166 |
155 164 165
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ) |
167 |
166
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) ) |
168 |
94 107
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( cos ‘ 𝑂 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) |
169 |
167 168
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
170 |
169
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
171 |
150 151 170
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · 1 ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
172 |
112 113 171
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( cos ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
173 |
96 106 109 172
|
addcan2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
174 |
|
subsq |
⊢ ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
175 |
98 104 174
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) ) |
176 |
100 101
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
177 |
98 176 102
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
178 |
100 101 102
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) |
179 |
178
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
180 |
177 179
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
181 |
|
binom2 |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) |
182 |
46 82 181
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) |
183 |
100 98 101
|
add32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |
184 |
176 98
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
185 |
182 183 184
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) = ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) |
186 |
185
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
187 |
46 82
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
188 |
|
subsq |
⊢ ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) + 𝑋 ) · ( ( 𝑌 + 𝑍 ) − 𝑋 ) ) ) |
189 |
187 45 188
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) + 𝑋 ) · ( ( 𝑌 + 𝑍 ) − 𝑋 ) ) ) |
190 |
6
|
oveq2i |
⊢ ( 2 · 𝑆 ) = ( 2 · ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) / 2 ) ) |
191 |
75
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
192 |
191 51 53
|
divcan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
193 |
190 192
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑆 ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
194 |
45 46 82
|
addassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) = ( 𝑋 + ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ) |
195 |
45 187
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑌 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑌 + 𝑍 ) + 𝑋 ) ) |
196 |
193 194 195
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑆 ) = ( ( 𝑌 + 𝑍 ) + 𝑋 ) ) |
197 |
51 78 45
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) = ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑋 ) ) ) |
198 |
193 194
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑆 ) = ( 𝑋 + ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ) |
199 |
45
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑋 ) = ( 𝑋 + 𝑋 ) ) |
200 |
198 199
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑌 + 𝑍 ) ) − ( 𝑋 + 𝑋 ) ) ) |
201 |
45 187 45
|
pnpcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝑌 + 𝑍 ) ) − ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 + 𝑍 ) − 𝑋 ) ) |
202 |
197 200 201
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 + 𝑍 ) − 𝑋 ) ) |
203 |
196 202
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑆 ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) + 𝑋 ) · ( ( 𝑌 + 𝑍 ) − 𝑋 ) ) ) |
204 |
189 203
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · 𝑆 ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) ) |
205 |
51 78 51 79
|
mul4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑆 ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) ) |
206 |
121
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 2 ) = 4 ) |
207 |
206
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 2 ) · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) = ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) ) |
208 |
204 205 207
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 + 𝑍 ) ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) ) |
209 |
180 186 208
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) ) |
210 |
98 176
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
211 |
210 102
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑋 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
212 |
178
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
213 |
98 176 102
|
subsubd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
214 |
212 213
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) |
215 |
102 176 98
|
subsub2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
216 |
211 214 215
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) ) |
217 |
100 101 98
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) = ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) ) |
218 |
101 98
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ ) |
219 |
100 218
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
220 |
46 82
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 · 𝑍 ) = ( 𝑍 · 𝑌 ) ) |
221 |
220
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) = ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) |
222 |
221
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) = ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) ) |
223 |
222
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
224 |
217 219 223
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
225 |
|
binom2sub |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
226 |
82 46 225
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 𝑍 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑌 ↑ 2 ) ) ) |
227 |
224 226
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) |
228 |
227
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( 𝑍 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) ) |
229 |
82 46
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
230 |
|
subsq |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( 𝑍 − 𝑌 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) · ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) ) |
231 |
45 229 230
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) · ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) ) |
232 |
51 78 46
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑌 ) ) = ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑌 ) ) ) |
233 |
45 46 82
|
add32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) = ( ( 𝑋 + 𝑍 ) + 𝑌 ) ) |
234 |
193 233
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑆 ) = ( ( 𝑋 + 𝑍 ) + 𝑌 ) ) |
235 |
46
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑌 ) = ( 𝑌 + 𝑌 ) ) |
236 |
234 235
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑋 + 𝑍 ) + 𝑌 ) − ( 𝑌 + 𝑌 ) ) ) |
237 |
45 82
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝑍 ) ∈ ℂ ) |
238 |
237 46 46
|
pnpcan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 + 𝑍 ) + 𝑌 ) − ( 𝑌 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑍 ) − 𝑌 ) ) |
239 |
45 82 46 238
|
assraddsubd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 + 𝑍 ) + 𝑌 ) − ( 𝑌 + 𝑌 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) |
240 |
232 236 239
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑌 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) |
241 |
51 78 82
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) = ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑍 ) ) ) |
242 |
82
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑍 ) = ( 𝑍 + 𝑍 ) ) |
243 |
193 242
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑆 ) − ( 2 · 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) − ( 𝑍 + 𝑍 ) ) ) |
244 |
45 46
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
245 |
244 82 82
|
pnpcan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) − ( 𝑍 + 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − 𝑍 ) ) |
246 |
45 82 46
|
subsub3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − 𝑍 ) ) |
247 |
245 246
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) − ( 𝑍 + 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) |
248 |
241 243 247
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) = ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) |
249 |
240 248
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑆 − 𝑌 ) ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 − 𝑌 ) ) · ( 𝑋 − ( 𝑍 − 𝑌 ) ) ) ) |
250 |
231 249
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑆 − 𝑌 ) ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
251 |
51 81 51 83
|
mul4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑆 − 𝑌 ) ) · ( 2 · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) = ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
252 |
206
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 2 ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
253 |
250 251 252
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) − ( ( 𝑍 − 𝑌 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
254 |
216 228 253
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
255 |
209 254
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) + ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) · ( ( 2 · ( 𝑌 · 𝑍 ) ) − ( ( 𝑌 ↑ 2 ) + ( ( 𝑍 ↑ 2 ) − ( 𝑋 ↑ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |
256 |
173 175 255
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |
257 |
70 84
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ ) |
258 |
70 80 257
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 · ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
259 |
80 70 84
|
mul12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |
260 |
259
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( 4 · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) = ( 4 · ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
261 |
256 258 260
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
262 |
92 93 261
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) = ( 4 · ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
263 |
68 86 70 88 262
|
mulcanad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |
264 |
263
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) / 4 ) ) |
265 |
66 67 70 88
|
div23d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / 4 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) ) |
266 |
77 16
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
267 |
77 266
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) ∈ ℝ ) |
268 |
77 19
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
269 |
77 74
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 − 𝑍 ) ∈ ℝ ) |
270 |
268 269
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ∈ ℝ ) |
271 |
267 270
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ∈ ℝ ) |
272 |
271
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ ) |
273 |
272 70 88
|
divcan3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 · ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) / 4 ) = ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
274 |
264 265 273
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 · 𝑌 ) ↑ 2 ) / 4 ) · ( ( sin ‘ 𝑂 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
275 |
50 65 274
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) |
276 |
275
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ ( ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |
277 |
42 276
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 / 2 ) · ( 𝑋 · 𝑌 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ 𝑂 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( 𝑆 · ( 𝑆 − 𝑋 ) ) · ( ( 𝑆 − 𝑌 ) · ( 𝑆 − 𝑍 ) ) ) ) ) |