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Theorem islmhm2

Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses islmhm2.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
islmhm2.c ⊢ 𝐶 = ( Base ‘ 𝑇 )
islmhm2.k ⊢ 𝐾 = ( Scalar ‘ 𝑆 )
islmhm2.l ⊢ 𝐿 = ( Scalar ‘ 𝑇 )
islmhm2.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝐾 )
islmhm2.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑆 )
islmhm2.q ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝑇 )
islmhm2.m ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑆 )
islmhm2.n ⊢ × = ( ·𝑠 ‘ 𝑇 )
Assertion islmhm2 ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ↔ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 islmhm2.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
2 islmhm2.c ⊢ 𝐶 = ( Base ‘ 𝑇 )
3 islmhm2.k ⊢ 𝐾 = ( Scalar ‘ 𝑆 )
4 islmhm2.l ⊢ 𝐿 = ( Scalar ‘ 𝑇 )
5 islmhm2.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝐾 )
6 islmhm2.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑆 )
7 islmhm2.q ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝑇 )
8 islmhm2.m ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑆 )
9 islmhm2.n ⊢ × = ( ·𝑠 ‘ 𝑇 )
10 1 2 lmhmf ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 )
11 3 4 lmhmsca ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → 𝐿 = 𝐾 )
12 lmghm ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) )
13 12 adantr ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) )
14 lmhmlmod1 ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → 𝑆 ∈ LMod )
15 14 adantr ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ∈ LMod )
16 simpr1 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐸 )
17 simpr2 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
18 1 3 8 5 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
19 15 16 17 18 syl3anc ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
20 simpr3 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
21 1 6 7 ghmlin ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
22 13 19 20 21 syl3anc ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
23 3 5 1 8 9 lmhmlin ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
24 23 3adant3r3 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
25 24 oveq1d ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
26 22 25 eqtrd ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
27 26 ralrimivvva ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
28 10 11 27 3jca ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
29 28 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
30 lmodgrp ⊢ ( 𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp )
31 lmodgrp ⊢ ( 𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp )
32 30 31 anim12i ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ) )
33 32 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ) )
34 simpr1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 )
35 3 lmodring ⊢ ( 𝑆 ∈ LMod → 𝐾 ∈ Ring )
36 35 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ Ring )
37 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝐾 ) = ( 1r ‘ 𝐾 )
38 5 37 ringidcl ⊢ ( 𝐾 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐸 )
39 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) = ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) )
40 39 fvoveq1d ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) )
41 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
42 41 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
43 40 42 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
44 43 2ralbidv ⊢ ( 𝑥 = ( 1r ‘ 𝐾 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
45 44 rspcv ⊢ ( ( 1r ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐸 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
46 36 38 45 3syl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
47 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ∈ LMod )
48 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
49 1 3 8 37 lmodvs1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) = 𝑦 )
50 47 48 49 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) = 𝑦 )
51 50 fvoveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) )
52 simplrr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐿 = 𝐾 )
53 52 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 1r ‘ 𝐿 ) = ( 1r ‘ 𝐾 ) )
54 53 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝐿 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
55 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑇 ∈ LMod )
56 simplrl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 )
57 56 48 ffvelrnd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )
58 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝐿 ) = ( 1r ‘ 𝐿 )
59 2 4 9 58 lmodvs1 ⊢ ( ( 𝑇 ∈ LMod ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) → ( ( 1r ‘ 𝐿 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
60 55 57 59 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝐿 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
61 54 60 eqtr3d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
62 61 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
63 51 62 eqeq12d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
64 63 2ralbidva ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( ( 1r ‘ 𝐾 ) × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
65 46 64 sylibd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
66 65 exp32 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 → ( 𝐿 = 𝐾 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) )
67 66 3imp2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
68 34 67 jca ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
69 1 2 6 7 isghm ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
70 33 68 69 sylanbrc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) )
71 simpr2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → 𝐿 = 𝐾 )
72 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑆 ) = ( 0g ‘ 𝑆 )
73 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑇 ) = ( 0g ‘ 𝑇 )
74 72 73 ghmid ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) )
75 70 74 syl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) )
76 30 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ∈ Grp )
77 1 72 grpidcl ⊢ ( 𝑆 ∈ Grp → ( 0g ‘ 𝑆 ) ∈ 𝐵 )
78 oveq2 ⊢ ( 𝑧 = ( 0g ‘ 𝑆 ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) )
79 78 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = ( 0g ‘ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) )
80 fveq2 ⊢ ( 𝑧 = ( 0g ‘ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) )
81 80 oveq2d ⊢ ( 𝑧 = ( 0g ‘ 𝑆 ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) )
82 79 81 eqeq12d ⊢ ( 𝑧 = ( 0g ‘ 𝑆 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) ) )
83 82 rspcv ⊢ ( ( 0g ‘ 𝑆 ) ∈ 𝐵 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) ) )
84 76 77 83 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) ) )
85 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ∈ LMod )
86 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐸 )
87 simprr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
88 85 86 87 18 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
89 1 6 72 grprid ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Grp ∧ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 𝑥 · 𝑦 ) )
90 76 88 89 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 𝑥 · 𝑦 ) )
91 90 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) )
92 simplr3 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) )
93 92 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 0g ‘ 𝑇 ) ) )
94 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑇 ∈ LMod )
95 94 31 syl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑇 ∈ Grp )
96 simplr2 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐿 = 𝐾 )
97 96 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( Base ‘ 𝐿 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) )
98 97 5 eqtr4di ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( Base ‘ 𝐿 ) = 𝐸 )
99 86 98 eleqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) )
100 simplr1 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 )
101 100 87 ffvelrnd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )
102 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐿 ) = ( Base ‘ 𝐿 )
103 2 4 9 102 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) → ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∈ 𝐶 )
104 94 99 101 103 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∈ 𝐶 )
105 2 7 73 grprid ⊢ ( ( 𝑇 ∈ Grp ∧ ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∈ 𝐶 ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 0g ‘ 𝑇 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
106 95 104 105 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 0g ‘ 𝑇 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
107 93 106 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
108 91 107 eqeq12d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
109 84 108 sylibd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
110 109 ralimdvva ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
111 110 3exp2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 → ( 𝐿 = 𝐾 → ( ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) ) )
112 111 com45 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 → ( 𝐿 = 𝐾 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) ) )
113 112 3imp2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 0g ‘ 𝑆 ) ) = ( 0g ‘ 𝑇 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
114 75 113 mpd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
115 3 4 5 1 8 9 islmhm3 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
116 115 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 GrpHom 𝑇 ) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
117 70 71 114 116 mpbir3and ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) ∧ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) )
118 29 117 impbida ⊢ ( ( 𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑇 ) ↔ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 × ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ⨣ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )