Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
istrkg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
istrkg.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
istrkg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
5 |
|
uzid |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
6 |
4 5
|
ax-mp |
⊢ 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) |
7 |
1 2 3
|
istrkgld |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
8 |
6 7
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
9 |
|
r19.41v |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ) |
10 |
|
ancom |
⊢ ( ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ↔ ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
12 |
|
ancom |
⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ↔ ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
13 |
9 11 12
|
3bitr3ri |
⊢ ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
15 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
17 |
16
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
18 |
17
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
20 |
19
|
exlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
22 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
23 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
24 |
22 23
|
f1osn |
⊢ { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1-onto→ { 𝑥 } |
25 |
|
f1of1 |
⊢ ( { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1-onto→ { 𝑥 } → { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } ) |
26 |
24 25
|
mp1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 → { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } ) |
27 |
|
snssi |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 → { 𝑥 } ⊆ 𝑃 ) |
28 |
|
f1ss |
⊢ ( ( { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } ∧ { 𝑥 } ⊆ 𝑃 ) → { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ 𝑃 ) |
29 |
26 27 28
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 → { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ 𝑃 ) |
30 |
|
fzo12sn |
⊢ ( 1 ..^ 2 ) = { 1 } |
31 |
30
|
mpteq1i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 ) |
32 |
|
fmptsn |
⊢ ( ( 1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ) → { 〈 1 , 𝑥 〉 } = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 ) ) |
33 |
22 23 32
|
mp2an |
⊢ { 〈 1 , 𝑥 〉 } = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 ) |
34 |
31 33
|
eqtr4i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = { 〈 1 , 𝑥 〉 } |
35 |
34
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = { 〈 1 , 𝑥 〉 } ) |
36 |
30
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( 1 ..^ 2 ) = { 1 } ) |
37 |
|
eqidd |
⊢ ( ⊤ → 𝑃 = 𝑃 ) |
38 |
35 36 37
|
f1eq123d |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ↔ { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ 𝑃 ) ) |
39 |
38
|
mptru |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ↔ { 〈 1 , 𝑥 〉 } : { 1 } –1-1→ 𝑃 ) |
40 |
29 39
|
sylibr |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 → ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) |
41 |
|
ral0 |
⊢ ∀ 𝑗 ∈ ∅ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) |
42 |
|
fzo0 |
⊢ ( 2 ..^ 2 ) = ∅ |
43 |
42
|
raleqi |
⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ∅ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) |
44 |
41 43
|
mpbir |
⊢ ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) |
45 |
44
|
jctl |
⊢ ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
46 |
45
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
47 |
46
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
48 |
|
ovex |
⊢ ( 1 ..^ 2 ) ∈ V |
49 |
48
|
mptex |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∈ V |
50 |
|
f1eq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ↔ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ) ) |
51 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) |
52 |
51
|
nfeq2 |
⊢ Ⅎ 𝑗 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) |
53 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
54 |
52 53
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) |
55 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ) |
56 |
55
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( 𝑓 ‘ 1 ) = ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) ) |
58 |
55
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ) |
60 |
57 59
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ) ) |
61 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) ) |
62 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ) |
63 |
61 62
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ) ) |
64 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) ) |
65 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) |
66 |
64 65
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) |
67 |
60 63 66
|
3anbi123d |
⊢ ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
68 |
54 67
|
ralbida |
⊢ ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
69 |
68
|
anbi1d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ) → ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
70 |
69
|
2rexbidva |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
71 |
50 70
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
72 |
49 71
|
spcev |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
73 |
40 47 72
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
74 |
21 73
|
impbida |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
75 |
74
|
rexbiia |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
76 |
14 15 75
|
3bitr2i |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
77 |
8 76
|
bitrdi |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |