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Theorem istrkg2ld

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses istrkg.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
istrkg.d = ( dist ‘ 𝐺 )
istrkg.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
Assertion istrkg2ld ( 𝐺𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 istrkg.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 istrkg.d = ( dist ‘ 𝐺 )
3 istrkg.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 2z 2 ∈ ℤ
5 uzid ( 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
6 4 5 ax-mp 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 )
7 1 2 3 istrkgld ( ( 𝐺𝑉 ∧ 2 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ) → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) )
8 6 7 mpan2 ( 𝐺𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) )
9 r19.41v ( ∃ 𝑥𝑃 ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) ↔ ( ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) )
10 ancom ( ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) ↔ ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
11 10 rexbii ( ∃ 𝑥𝑃 ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) ↔ ∃ 𝑥𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
12 ancom ( ( ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) ↔ ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
13 9 11 12 3bitr3ri ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
14 13 exbii ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓𝑥𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
15 rexcom4 ( ∃ 𝑥𝑃𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓𝑥𝑃 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
16 simpr ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
17 16 reximi ( ∃ 𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
18 17 reximi ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
19 18 adantl ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
20 19 exlimiv ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
21 20 adantl ( ( 𝑥𝑃 ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
22 1ex 1 ∈ V
23 vex 𝑥 ∈ V
24 22 23 f1osn { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1-onto→ { 𝑥 }
25 f1of1 ( { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1-onto→ { 𝑥 } → { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } )
26 24 25 mp1i ( 𝑥𝑃 → { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } )
27 snssi ( 𝑥𝑃 → { 𝑥 } ⊆ 𝑃 )
28 f1ss ( ( { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1→ { 𝑥 } ∧ { 𝑥 } ⊆ 𝑃 ) → { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1𝑃 )
29 26 27 28 syl2anc ( 𝑥𝑃 → { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1𝑃 )
30 fzo12sn ( 1 ..^ 2 ) = { 1 }
31 30 mpteq1i ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 )
32 fmptsn ( ( 1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ) → { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 ) )
33 22 23 32 mp2an { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } = ( 𝑗 ∈ { 1 } ↦ 𝑥 )
34 31 33 eqtr4i ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ }
35 34 a1i ( ⊤ → ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } )
36 30 a1i ( ⊤ → ( 1 ..^ 2 ) = { 1 } )
37 eqidd ( ⊤ → 𝑃 = 𝑃 )
38 35 36 37 f1eq123d ( ⊤ → ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ↔ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1𝑃 ) )
39 38 mptru ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ↔ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } : { 1 } –1-1𝑃 )
40 29 39 sylibr ( 𝑥𝑃 → ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 )
41 ral0 𝑗 ∈ ∅ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) )
42 fzo0 ( 2 ..^ 2 ) = ∅
43 42 raleqi ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ∅ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) )
44 41 43 mpbir 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) )
45 44 jctl ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )
46 45 reximi ( ∃ 𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ∃ 𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )
47 46 reximi ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) → ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )
48 ovex ( 1 ..^ 2 ) ∈ V
49 48 mptex ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∈ V
50 f1eq1 ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ↔ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ) )
51 nfmpt1 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 )
52 51 nfeq2 𝑗 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 )
53 nfv 𝑗 ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 )
54 52 53 nfan 𝑗 ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) )
55 simpll ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) )
56 55 fveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( 𝑓 ‘ 1 ) = ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) )
57 56 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) )
58 55 fveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( 𝑓𝑗 ) = ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) )
59 58 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) )
60 57 59 eqeq12d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ) )
61 56 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) )
62 58 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) )
63 61 62 eqeq12d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ) )
64 56 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) )
65 58 oveq1d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) )
66 64 65 eqeq12d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) )
67 60 63 66 3anbi123d ( ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ) )
68 54 67 ralbida ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ) )
69 68 anbi1d ( ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ∧ ( 𝑦𝑃𝑧𝑃 ) ) → ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
70 69 2rexbidva ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
71 50 70 anbi12d ( 𝑓 = ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) → ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) )
72 49 71 spcev ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ 2 ) ↦ 𝑥 ) ‘ 𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
73 40 47 72 syl2an ( ( 𝑥𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) )
74 21 73 impbida ( 𝑥𝑃 → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )
75 74 rexbiia ( ∃ 𝑥𝑃𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
76 14 15 75 3bitr2i ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 2 ) –1-1𝑃 ∧ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 2 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑥 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑓𝑗 ) 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
77 8 76 bitrdi ( 𝐺𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ↔ ∃ 𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )