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Theorem istrkg2ld

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses istrkg.p P = Base G
istrkg.d - ˙ = dist G
istrkg.i I = Itv G
Assertion istrkg2ld G V G Dim 𝒢 2 x P y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 istrkg.p P = Base G
2 istrkg.d - ˙ = dist G
3 istrkg.i I = Itv G
4 2z 2
5 uzid 2 2 2
6 4 5 ax-mp 2 2
7 1 2 3 istrkgld G V 2 2 G Dim 𝒢 2 f f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
8 6 7 mpan2 G V G Dim 𝒢 2 f f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
9 r19.41v x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f : 1 ..^ 2 1-1 P
10 ancom y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f : 1 ..^ 2 1-1 P f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
11 10 rexbii x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f : 1 ..^ 2 1-1 P x P f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
12 ancom x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f : 1 ..^ 2 1-1 P f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
13 9 11 12 3bitr3ri f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z x P f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
14 13 exbii f f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f x P f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
15 rexcom4 x P f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f x P f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
16 simpr j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z ¬ z x I y x z I y y x I z
17 16 reximi z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z z P ¬ z x I y x z I y y x I z
18 17 reximi y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
19 18 adantl f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
20 19 exlimiv f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
21 20 adantl x P f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
22 1ex 1 V
23 vex x V
24 22 23 f1osn 1 x : 1 1-1 onto x
25 f1of1 1 x : 1 1-1 onto x 1 x : 1 1-1 x
26 24 25 mp1i x P 1 x : 1 1-1 x
27 snssi x P x P
28 f1ss 1 x : 1 1-1 x x P 1 x : 1 1-1 P
29 26 27 28 syl2anc x P 1 x : 1 1-1 P
30 fzo12sn 1 ..^ 2 = 1
31 30 mpteq1i j 1 ..^ 2 x = j 1 x
32 fmptsn 1 V x V 1 x = j 1 x
33 22 23 32 mp2an 1 x = j 1 x
34 31 33 eqtr4i j 1 ..^ 2 x = 1 x
35 34 a1i j 1 ..^ 2 x = 1 x
36 30 a1i 1 ..^ 2 = 1
37 eqidd P = P
38 35 36 37 f1eq123d j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P 1 x : 1 1-1 P
39 38 mptru j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P 1 x : 1 1-1 P
40 29 39 sylibr x P j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P
41 ral0 j j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
42 fzo0 2 ..^ 2 =
43 42 raleqi j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z j j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
44 41 43 mpbir j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
45 44 jctl ¬ z x I y x z I y y x I z j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
46 45 reximi z P ¬ z x I y x z I y y x I z z P j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
47 46 reximi y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
48 ovex 1 ..^ 2 V
49 48 mptex j 1 ..^ 2 x V
50 f1eq1 f = j 1 ..^ 2 x f : 1 ..^ 2 1-1 P j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P
51 nfmpt1 _ j j 1 ..^ 2 x
52 51 nfeq2 j f = j 1 ..^ 2 x
53 nfv j y P z P
54 52 53 nfan j f = j 1 ..^ 2 x y P z P
55 simpll f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f = j 1 ..^ 2 x
56 55 fveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 = j 1 ..^ 2 x 1
57 56 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x
58 55 fveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f j = j 1 ..^ 2 x j
59 58 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f j - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x
60 57 59 eqeq12d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x
61 56 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y
62 58 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f j - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y
63 61 62 eqeq12d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ y = f j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y
64 56 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z
65 58 oveq1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f j - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
66 64 65 eqeq12d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ z = f j - ˙ z j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
67 60 63 66 3anbi123d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
68 54 67 ralbida f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z
69 68 anbi1d f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
70 69 2rexbidva f = j 1 ..^ 2 x y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
71 50 70 anbi12d f = j 1 ..^ 2 x f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
72 49 71 spcev j 1 ..^ 2 x : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ x = j 1 ..^ 2 x j - ˙ x j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ y = j 1 ..^ 2 x j - ˙ y j 1 ..^ 2 x 1 - ˙ z = j 1 ..^ 2 x j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
73 40 47 72 syl2an x P y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z
74 21 73 impbida x P f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
75 74 rexbiia x P f f : 1 ..^ 2 1-1 P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z x P y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
76 14 15 75 3bitr2i f f : 1 ..^ 2 1-1 P x P y P z P j 2 ..^ 2 f 1 - ˙ x = f j - ˙ x f 1 - ˙ y = f j - ˙ y f 1 - ˙ z = f j - ˙ z ¬ z x I y x z I y y x I z x P y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z
77 8 76 bitrdi G V G Dim 𝒢 2 x P y P z P ¬ z x I y x z I y y x I z