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Theorem itgaddnclem1

Description: Lemma for itgaddnc ; cf. itgaddlem1 . (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017)

Ref Expression
Hypotheses ibladdnc.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
ibladdnc.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
ibladdnc.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
ibladdnc.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 )
ibladdnc.m ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ MblFn )
itgaddnclem.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
itgaddnclem.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
itgaddnclem.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
itgaddnclem.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐶 )
Assertion itgaddnclem1 ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ibladdnc.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
2 ibladdnc.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
3 ibladdnc.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
4 ibladdnc.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 )
5 ibladdnc.m ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ MblFn )
6 itgaddnclem.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
7 itgaddnclem.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
8 itgaddnclem.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
9 itgaddnclem.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐶 )
10 6 7 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
11 1 2 3 4 5 ibladdnc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ 𝐿1 )
12 6 7 8 9 addge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) )
13 10 11 12 itgposval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ) )
14 6 2 8 itgposval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) )
15 7 4 9 itgposval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) )
16 14 15 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) = ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) + ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ) )
17 iblmbf ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn )
18 2 17 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn )
19 18 1 mbfdm2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol )
20 mblss ⊢ ( 𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ )
21 19 20 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
22 rembl ⊢ ℝ ∈ dom vol
23 22 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ dom vol )
24 elrege0 ⊢ ( 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) )
25 6 8 24 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
26 0e0icopnf ⊢ 0 ∈ ( 0 [,) +∞ )
27 26 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
28 25 27 ifclda ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
29 28 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
30 eldifn ⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 )
31 30 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 )
32 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) = 0 )
33 31 32 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) = 0 )
34 iftrue ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) = 𝐵 )
35 34 mpteq2ia ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 )
36 35 18 eqeltrid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ MblFn )
37 21 23 29 33 36 mbfss ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ MblFn )
38 28 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
39 38 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
40 6 8 iblpos ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
41 2 40 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
42 41 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
43 elrege0 ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) )
44 7 9 43 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
45 44 27 ifclda ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
46 45 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
47 46 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
48 7 9 iblpos ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
49 4 48 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
50 49 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
51 37 39 42 47 50 itg2addnc ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) + ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ) )
52 reex ⊢ ℝ ∈ V
53 52 a1i ⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ V )
54 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) )
55 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) )
56 53 38 46 54 55 offval2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) )
57 iftrue ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 )
58 34 57 oveq12d ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) )
59 iftrue ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) )
60 58 59 eqtr4d ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
61 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) = 0 )
62 32 61 oveq12d ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
63 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
64 62 63 eqtrdi ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = 0 )
65 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) = 0 )
66 64 65 eqtr4d ⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
67 60 66 pm2.61i ⊢ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 )
68 67 mpteq2i ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
69 56 68 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) )
70 69 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ) )
71 16 51 70 3eqtr2d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ) )
72 13 71 eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) )