Theorem itg2addnc

Description: Alternate proof of itg2add using the "buffer zone" definition from the first lemma, in which every simple function in the set is divided into to by dividing its buffer by a third and finding the largest allowable function locked to a grid laid out in increments of the new, smaller buffer up to the original simple function. The measurability of this function follows from that of the augend, and subtracting it from the original simple function yields another simple function by i1fsub , which is allowable by the fact that the grid must have a mark between one third and two thirds the original buffer. This has two advantages over the current approach: first, eliminating ax-cc , and second, weakening the measurability hypothesis to only the augend. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017) (Revised by Brendan Leahy, 13-Mar-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
	itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
	itg2addnc.f3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ )
	itg2addnc.g2	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
	itg2addnc.g3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ )
Assertion	itg2addnc	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) = ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
2		itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
3		itg2addnc.f3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ )
4		itg2addnc.g2	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
5		itg2addnc.g3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ )
6		simprr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
7		itg1cl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
8	7	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
9	6 8	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
10	9	rexlimiva	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
11	10	abssi	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ
12	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ )
13		i1f0	⊢ ( ℝ × { 0 } ) ∈ dom ∫1
14		3nn	⊢ 3 ∈ ℕ
15		nnrp	⊢ ( 3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+ )
16		ne0i	⊢ ( 3 ∈ ℝ+ → ℝ+ ≠ ∅ )
17	14 15 16	mp2b	⊢ ℝ+ ≠ ∅
18	2	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
19		elrege0	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
20	18 19	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
21	20	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
22	21	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
23		reex	⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ V )
25		c0ex	⊢ 0 ∈ V
26	25	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ∈ V )
27		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) )
28	2	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
29	24 26 18 27 28	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
30	22 29	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
31	30	ralrimivw	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
32		r19.2z	⊢ ( ( ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
33	17 31 32	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
34		fveq2	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) = ( ∫1 ‘ ( ℝ × { 0 } ) ) )
35		itg10	⊢ ( ∫1 ‘ ( ℝ × { 0 } ) ) = 0
36	34 35	eqtr2di	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
37	36	biantrud	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
38		fveq1	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ × { 0 } ) ‘ 𝑧 ) )
39	25	fvconst2	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( ℝ × { 0 } ) ‘ 𝑧 ) = 0 )
40	38 39	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
41	40	iftrued	⊢ ( ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) = 0 )
42	41	mpteq2dva	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) )
43	42	breq1d	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
44	43	rexbidv	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
45	37 44	bitr3d	⊢ ( 𝑓 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
46	45	rspcev	⊢ ( ( ( ℝ × { 0 } ) ∈ dom ∫1 ∧ ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
47	13 33 46	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
48		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
49	48	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
50	49	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
51	25 50	elab	⊢ ( 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
52	47 51	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } )
53	52	ne0d	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ≠ ∅ )
54		icossicc	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ( 0 [,] +∞ )
55		fss	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ( 0 [,] +∞ ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
56	54 55	mpan2	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
57		eqid	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) }
58	57	itg2addnclem	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
59	2 56 58	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
60	59 3	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
61		ressxr	⊢ ℝ ⊆ ℝ*
62	11 61	sstri	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ*
63		supxrub	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ) → 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
64	62 63	mpan	⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } → 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
65	64	rgen	⊢ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < )
66		brralrspcev	⊢ ( ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
67	60 65 66	sylancl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
68		simprr	⊢ ( ( 𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) )
69		itg1cl	⊢ ( 𝑔 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ∈ ℝ )
70	69	adantr	⊢ ( ( 𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ∈ ℝ )
71	68 70	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
72	71	rexlimiva	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
73	72	abssi	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ
74	73	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ )
75	4	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
76		elrege0	⊢ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
77	75 76	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
78	77	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
79	78	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
80	4	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
81	24 26 75 27 80	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
82	79 81	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 )
83	82	ralrimivw	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 )
84		r19.2z	⊢ ( ( ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 )
85	17 83 84	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 )
86		fveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) = ( ∫1 ‘ ( ℝ × { 0 } ) ) )
87	86 35	eqtr2di	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) )
88	87	biantrud	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
89		fveq1	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ × { 0 } ) ‘ 𝑧 ) )
90	89 39	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 )
91	90	iftrued	⊢ ( ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) = 0 )
92	91	mpteq2dva	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) )
93	92	breq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
94	93	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
95	88 94	bitr3d	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
96	95	rspcev	⊢ ( ( ( ℝ × { 0 } ) ∈ dom ∫1 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
97	13 85 96	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
98		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
99	98	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
100	99	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
101	25 100	elab	⊢ ( 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
102	97 101	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } )
103	102	ne0d	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ≠ ∅ )
104		fss	⊢ ( ( 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ( 0 [,] +∞ ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
105	54 104	mpan2	⊢ ( 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
106		eqid	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) }
107	106	itg2addnclem	⊢ ( 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
108	4 105 107	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
109	108 5	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
110	73 61	sstri	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ*
111		supxrub	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) → 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
112	110 111	mpan	⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } → 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
113	112	rgen	⊢ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < )
114		brralrspcev	⊢ ( ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
115	109 113 114	sylancl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
116		eqid	⊢ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) }
117	12 53 67 74 103 115 116	supadd	⊢ ( 𝜑 → ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ , < ) ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ , < ) )
118		supxrre	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ , < ) )
119	12 53 67 118	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ , < ) )
120	59 119	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ , < ) )
121		supxrre	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 ≤ 𝑎 ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ , < ) )
122	74 103 115 121	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ , < ) )
123	108 122	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ , < ) )
124	120 123	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) = ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ , < ) ) )
125		ge0addcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
126	54 125	sselid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
127	126	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
128		inidm	⊢ ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ
129	127 2 4 24 24 128	off	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
130		eqid	⊢ { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) } = { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) }
131	130	itg2addnclem	⊢ ( ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) } , ℝ* , < ) )
132	129 131	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) } , ℝ* , < ) )
133	1 2 3 4 5	itg2addnclem3	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) → ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
134		simpl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
135		simpr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → 𝑔 ∈ dom ∫1 )
136	134 135	i1fadd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ dom ∫1 )
137	136	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ dom ∫1 )
138		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
139	138	biimpri	⊢ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
140	139	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
141		ifcl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℝ+ )
142	141	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℝ+ )
143		breq1	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
144	143	anbi1d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
145	144	imbi1d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
146		breq1	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
147	146	anbi1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
148	147	imbi1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
149		breq1	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
150	149	anbi2d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
151	150	imbi1d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
152		breq1	⊢ ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
153	152	anbi2d	⊢ ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
154	153	imbi1d	⊢ ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
155		oveq12	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( 0 + 0 ) )
156		00id	⊢ ( 0 + 0 ) = 0
157	155 156	eqtrdi	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 )
158	157	iftrued	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) = 0 )
159	158	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) = 0 )
160		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝜑 )
161	19	simplbi	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
162	18 161	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
163	76	simplbi	⊢ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
164	75 163	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
165	162 164 21 78	addge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
166	160 165	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
167	166	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
168	159 167	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
169	168	a1d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
170	166	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
171		oveq1	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( 0 + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) )
172		simplrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑔 ∈ dom ∫1 )
173		i1ff	⊢ ( 𝑔 ∈ dom ∫1 → 𝑔 : ℝ ⟶ ℝ )
174	173	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
175	172 174	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
176	175	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
177	176	addid2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 0 + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) )
178	171 177	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) )
179	178	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
180	179	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
181	141	rpred	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℝ )
182	181	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℝ )
183	175 182	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ )
184	183	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ )
185	160 164	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
186	185	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
187	160 162	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
188	187 185	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
189	188	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
190		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑑 ∈ ℝ+ )
191	190	rpred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑑 ∈ ℝ )
192		rpre	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ )
193		rpre	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ )
194		min2	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑑 )
195	192 193 194	syl2an	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑑 )
196	195	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑑 )
197	182 191 175 196	leadd2dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) )
198	175 191	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ∈ ℝ )
199		letr	⊢ ( ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
200	183 198 185 199	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
201	197 200	mpand	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
202	201	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
203	164 162	addge02d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
204	21 203	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
205	160 204	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
206	205	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
207	184 186 189 202 206	letrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
208	207	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
209	180 208	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
210		breq1	⊢ ( 0 = if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
211		breq1	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
212	210 211	ifboth	⊢ ( ( 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
213	170 209 212	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
214	213	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
215	214	adantld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
216	215	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ¬ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
217	151 154 169 216	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
218	149	anbi2d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
219	218	imbi1d	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
220	152	anbi2d	⊢ ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
221	220	imbi1d	⊢ ( ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
222	166	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
223		oveq2	⊢ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 0 ) )
224		simplrl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
225		i1ff	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ )
226	225	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
227	224 226	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
228	227	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
229	228	addid1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
230	223 229	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
231	230	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
232	231	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
233	227 182	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ )
234	233	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ )
235	187	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
236	188	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
237		simplrl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑐 ∈ ℝ+ )
238	237	rpred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑐 ∈ ℝ )
239		min1	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑐 )
240	192 193 239	syl2an	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑐 )
241	240	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ≤ 𝑐 )
242	182 238 227 241	leadd2dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) )
243	227 238	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∈ ℝ )
244		letr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
245	233 243 187 244	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
246	242 245	mpand	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
247	246	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
248	162 164	addge01d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
249	78 248	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
250	160 249	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
251	250	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
252	234 235 236 247 251	letrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
253	252	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
254	232 253	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
255	222 254 212	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
256	255	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
257	256	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
258	257	adantrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
259	166	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
260	182	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℂ )
261	228 176 260	addassd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) )
262	261	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) )
263	227 237	ltaddrpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) < ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) )
264	227 243 263	ltled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) )
265		letr	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
266	227 243 187 265	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
267	264 266	mpand	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
268		le2add	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
269	227 183 187 185 268	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
270	267 201 269	syl2and	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
271	270	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
272	262 271	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
273	259 272 212	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
274	273	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
275	274	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ∧ ¬ ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
276	219 221 258 275	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
277	145 148 217 276	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
278	277	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
279		ovex	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ∈ V
280	25 279	ifex	⊢ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ∈ V
281	280	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ∈ V )
282		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) )
283	24 281 18 282 28	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
284		ovex	⊢ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ∈ V
285	25 284	ifex	⊢ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ∈ V
286	285	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ∈ V )
287		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) )
288	24 286 75 287 80	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
289	283 288	anbi12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
290		r19.26	⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
291	289 290	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
292	291	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∧ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
293	23	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ℝ ∈ V )
294		ovex	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ∈ V
295	25 294	ifex	⊢ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ∈ V
296	295	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ∈ V )
297		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ V )
298	225	ffnd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ )
299	298	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → 𝑓 Fn ℝ )
300	299	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑓 Fn ℝ )
301	173	ffnd	⊢ ( 𝑔 ∈ dom ∫1 → 𝑔 Fn ℝ )
302	301	adantl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → 𝑔 Fn ℝ )
303	302	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑔 Fn ℝ )
304		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
305		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) )
306	300 303 293 293 128 304 305	ofval	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) )
307	306	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 ) )
308	306	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
309	307 308	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) = if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) )
310	309	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) )
311	2	ffnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn ℝ )
312	4	ffnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 Fn ℝ )
313		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
314		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
315	311 312 24 24 128 313 314	offval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
316	315	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
317	293 296 297 310 316	ofrfval2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
318	278 292 317	3imtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
319	318	imp	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) )
320		oveq2	⊢ ( 𝑦 = if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) → ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) = ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) )
321	320	ifeq2d	⊢ ( 𝑦 = if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) → if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) )
322	321	mpteq2dv	⊢ ( 𝑦 = if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) )
323	322	breq1d	⊢ ( 𝑦 = if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
324	323	rspcev	⊢ ( ( if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + if ( 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑐 , 𝑑 ) ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) )
325	142 319 324	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) )
326	325	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
327	326	rexlimdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
328	140 327	syl5	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
329	328	a1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) )
330	329	imp31	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) )
331		oveq12	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) + ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
332	331	ad2ant2l	⊢ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) + ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
333	134 135	itg1add	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) + ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
334	333	eqcomd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) + ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
335	334	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) + ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
336	332 335	sylan9eqr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
337		eqtr	⊢ ( ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ∧ ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) ) → 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
338	337	ancoms	⊢ ( ( ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
339	336 338	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
340		fveq1	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) )
341	340	eqeq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
342	340	oveq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) = ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) )
343	341 342	ifbieq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) )
344	343	mpteq2dv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
345	344	breq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
346	345	rexbidv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) )
347		fveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) )
348	347	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ↔ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) ) )
349	346 348	anbi12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) ) ) )
350	349	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ dom ∫1 ∧ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) )
351	137 330 339 350	syl12anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) ∧ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) )
352	351	exp31	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1 ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ) ) )
353	352	rexlimdvva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ) ) )
354	353	impd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ) )
355	354	exlimdvv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ) )
356	133 355	impbid	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
357		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
358	357	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
359	358	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
360	359	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
361		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑢 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
362	361	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑢 → ( ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
363	362	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑢 → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
364	363	rexab	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
365	364	anbi2i	⊢ ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
366		19.42v	⊢ ( ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
367		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
368	367	anbi1i	⊢ ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
369		anass	⊢ ( ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
370	368 369	bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
371	370	exbii	⊢ ( ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
372	365 366 371	3bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
373	372	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
374	360 373	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
375	356 374	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
376	375	abbidv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } )
377	376	supeq1d	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑠 ∣ ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ* , < ) )
378		simpr	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
379	11	sseli	⊢ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } → 𝑡 ∈ ℝ )
380	379	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
381	73	sseli	⊢ ( 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } → 𝑢 ∈ ℝ )
382	381	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑢 ∈ ℝ )
383	380 382	readdcld	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) ∈ ℝ )
384	378 383	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
385	384	ex	⊢ ( ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) )
386	385	rexlimivv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
387	386	abssi	⊢ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ⊆ ℝ
388	387	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ⊆ ℝ )
389	156	eqcomi	⊢ 0 = ( 0 + 0 )
390		rspceov	⊢ ( ( 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ∧ 0 = ( 0 + 0 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
391	389 390	mp3an3	⊢ ( ( 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 0 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) → ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
392	52 102 391	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
393		eqeq1	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
394	393	2rexbidv	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
395	25 394	spcev	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 0 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → ∃ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
396	392 395	syl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
397		abn0	⊢ ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
398	396 397	sylibr	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ≠ ∅ )
399	60 109	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ )
400		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) ∧ 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) )
401	379	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
402	381	ad2antll	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → 𝑢 ∈ ℝ )
403	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
404	109	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ )
405		supxrub	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ) → 𝑡 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
406	62 405	mpan	⊢ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } → 𝑡 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
407	406	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → 𝑡 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
408		supxrub	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) → 𝑢 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
409	110 408	mpan	⊢ ( 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } → 𝑢 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
410	409	ad2antll	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → 𝑢 ≤ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) )
411	401 402 403 404 407 410	le2addd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) )
412	411	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) ∧ 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) )
413	400 412	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) ∧ 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) )
414	413	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∧ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) ) → ( 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
415	414	rexlimdvva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
416	415	alrimiv	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑏 ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
417		breq2	⊢ ( 𝑎 = ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) → ( 𝑏 ≤ 𝑎 ↔ 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
418	417	ralbidv	⊢ ( 𝑎 = ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
419		eqeq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
420	419	2rexbidv	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
421	420	ralab	⊢ ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ↔ ∀ 𝑏 ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) )
422	418 421	bitrdi	⊢ ( 𝑎 = ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ∀ 𝑏 ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) ) )
423	422	rspcev	⊢ ( ( ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑏 ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 = ( 𝑡 + 𝑢 ) → 𝑏 ≤ ( sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) + sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
424	399 416 423	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ 𝑎 )
425		supxrre	⊢ ( ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑏 ∈ { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } 𝑏 ≤ 𝑎 ) → sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ , < ) )
426	388 398 424 425	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ , < ) )
427	132 377 426	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) = sup ( { 𝑠 ∣ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ∃ 𝑢 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) } , ℝ , < ) )
428	117 124 427	3eqtr4rd	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) = ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) )