Theorem itg2addnclem3

Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc . (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
	itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
	itg2addnc.f3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ )
	itg2addnc.g2	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
	itg2addnc.g3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ )
Assertion	itg2addnclem3	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) → ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
2		itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
3		itg2addnc.f3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ )
4		itg2addnc.g2	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
5		itg2addnc.g3	⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ )
6	1 2	itg2addnclem2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
7	6	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
8		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℎ ∈ dom ∫1 )
9		i1fsub	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 ) → ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ dom ∫1 )
10	8 6 9	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ dom ∫1 )
11	10	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ dom ∫1 )
12		3rp	⊢ 3 ∈ ℝ+
13		rpdivcl	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
14	12 13	mpan2	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
15	14	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
16		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
17	16	fvoveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) )
19	18	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
20		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ℎ ‘ 𝑥 ) = ( ℎ ‘ 𝑧 ) )
21	19 20	breq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
22	20	neeq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
23	21 22	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) )
24	23 19 20	ifbieq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
25		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
26		ovex	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ V
27		fvex	⊢ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∈ V
28	26 27	ifex	⊢ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ∈ V
29	24 25 28	fvmpt	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
30	29	eqeq1d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 ) )
31	29	oveq1d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
32	30 31	ifbieq2d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) = if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
33	32	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) = if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
34		breq1	⊢ ( 0 = if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
35		breq1	⊢ ( ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) → ( ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
36	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
37	36	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
38		elrege0	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
39	37 38	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
40	39	simprd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
41	40	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
42		df-ne	⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 ↔ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 )
43		neeq1	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≠ 0 ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 ) )
44		oveq1	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
45	44	breq1d	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
46	43 45	imbi12d	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≠ 0 → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
47		neeq1	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 ) )
48		oveq1	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
49	48	breq1d	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
50	47 49	imbi12d	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
51		rge0ssre	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
52	51 37	sseldi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
53	14	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
54	52 53	rerpdivcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
55		reflcl	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
56		peano2rem	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
57	54 55 56	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
58	14	rpred	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ )
59	58	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ )
60	57 59	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
61		peano2rem	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
62	54 61	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
63	62 59	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
64	54 55	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
65		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
66		flle	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) )
67	54 66	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) )
68	64 54 65 67	lesub1dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) )
69	57 62 53	lemul1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) ↔ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
70	68 69	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
71	60 63 59 70	leadd1dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
72	54	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
73		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
74		subcl	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
75	72 73 74	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
76	73	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ )
77	53	rpcnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ )
78	75 76 77	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
79		npcan	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) )
80	72 73 79	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) + 1 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) )
81	80	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
82	77	mulid2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 𝑦 / 3 ) )
83	82	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
84	78 81 83	3eqtr3rd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
85	52	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
86	53	rpne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ≠ 0 )
87	85 77 86	divcan1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
88	84 87	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
89	71 88	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
90	89	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
91	90	a1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≠ 0 → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
92		ianor	⊢ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
93	92	anbi1i	⊢ ( ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
94		oranabs	⊢ ( ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
95	93 94	bitri	⊢ ( ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
96		i1ff	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
97	96	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
98	97	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
99	98 59	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
100	99	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
101	52	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
102	60 59	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
103	102	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
104	98	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
105	60	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
106	58	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ )
107	98 60	ltnled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
108	107	biimpar	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
109	104 105 106 108	ltadd1dd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) < ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
110	89	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
111	100 103 101 109 110	ltletrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) < ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
112	100 101 111	ltled	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
113	112	adantrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
114	95 113	sylan2b	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
115	114	expr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
116	46 50 91 115	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ≠ 0 → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
117	42 116	syl5bir	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
118	117	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 ) → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
119	34 35 41 118	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 , 0 , ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
120	33 119	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
121	120	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
122		reex	⊢ ℝ ∈ V
123	122	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℝ ∈ V )
124		c0ex	⊢ 0 ∈ V
125		ovex	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ V
126	124 125	ifex	⊢ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ V
127	126	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ V )
128		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) )
129	2	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
130	129	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
131	123 127 37 128 130	ofrfval2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
132	121 131	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
133		oveq2	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑦 / 3 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
134	133	ifeq2d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑦 / 3 ) → if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) = if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
135	134	mpteq2dv	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑦 / 3 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) )
136	135	breq1d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑦 / 3 ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
137	136	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
138	15 132 137	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
139	138	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
140	14	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
141	96	ffnd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ )
142	141	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℎ Fn ℝ )
143		ovex	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ V
144		fvex	⊢ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ V
145	143 144	ifex	⊢ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ V
146	145 25	fnmpti	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) Fn ℝ
147	146	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) Fn ℝ )
148		inidm	⊢ ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ
149		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) = ( ℎ ‘ 𝑧 ) )
150	29	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
151	142 147 123 123 148 149 150	ofval	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) )
152	151	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) )
153	151	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
154	152 153	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) = if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
155	154	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) = if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
156		breq1	⊢ ( 0 = if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
157		breq1	⊢ ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) → ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
158	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
159	158	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
160		elrege0	⊢ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
161	159 160	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
162	161	simprd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
163	162	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → 0 ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
164		oveq2	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) )
165	164	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
166	165	breq1d	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
167		oveq2	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) )
168	167	oveq1d	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
169	168	breq1d	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
170		id	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 )
171		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 )
172	171	necon2bi	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) )
173		iffalse	⊢ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑧 ) )
174	172 173	syl	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑧 ) )
175	174 170	eqtrd	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 )
176	170 175	oveq12d	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 0 − 0 ) )
177		0m0e0	⊢ ( 0 − 0 ) = 0
178	176 177	eqtrdi	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 )
179		iffalse	⊢ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) )
180	179	breq1d	⊢ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 → ( if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
181	178 180	nsyl5	⊢ ( ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 → ( if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
182	181	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
183	98	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
184	60	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
185	183 184 77	subsubd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
186	185	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
187	60 59	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
188		rpre	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ )
189	188	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ )
190	187 189	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) ∈ ℝ )
191	51 159	sseldi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
192		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
193	192 192	readdcli	⊢ ( 1 + 1 ) ∈ ℝ
194		resubcl	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 1 + 1 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) ∈ ℝ )
195	54 193 194	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) ∈ ℝ )
196	195 59	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
197		peano2re	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
198	64 197	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
199		resubcl	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 + 1 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) ∈ ℝ )
200	198 193 199	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) ∈ ℝ )
201	200 59	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
202	58 188	resubcld	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ∈ ℝ )
203	202	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ∈ ℝ )
204	193	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 1 + 1 ) ∈ ℝ )
205		fllep1	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) )
206	54 205	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) )
207	54 198 204 206	lesub1dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) ≤ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) )
208	195 200 53	lemul1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) ≤ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
209	207 208	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
210	196 201 203 209	lesub1dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) ≤ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) )
211	73 73	addcli	⊢ ( 1 + 1 ) ∈ ℂ
212	211	negcli	⊢ - ( 1 + 1 ) ∈ ℂ
213	212	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → - ( 1 + 1 ) ∈ ℂ )
214	72 213 77	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) + - ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( - ( 1 + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
215		negsub	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 + 1 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) + - ( 1 + 1 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) )
216	72 211 215	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) + - ( 1 + 1 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) )
217	216	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) + - ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
218		df-2	⊢ 2 = ( 1 + 1 )
219	218	negeqi	⊢ - 2 = - ( 1 + 1 )
220	219	oveq1i	⊢ ( - 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( - ( 1 + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) )
221		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
222	14	rpcnd	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ )
223		mulneg1	⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ ) → ( - 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
224	221 222 223	sylancr	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( - 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
225	220 224	eqtr3id	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( - ( 1 + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
226	225	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( - ( 1 + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
227	87 226	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) + ( - ( 1 + 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
228	214 217 227	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
229		rpcn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ )
230	229 222	negsubdi2d	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → - ( 𝑦 − ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) )
231		3cn	⊢ 3 ∈ ℂ
232		3ne0	⊢ 3 ≠ 0
233		divcan2	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) = 𝑦 )
234	231 232 233	mp3an23	⊢ ( 𝑦 ∈ ℂ → ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) = 𝑦 )
235	229 234	syl	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) = 𝑦 )
236	222	mulid2d	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 𝑦 / 3 ) )
237	235 236	oveq12d	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑦 / 3 ) ) )
238		3m1e2	⊢ ( 3 − 1 ) = 2
239	238	oveq1i	⊢ ( ( 3 − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) )
240		subdir	⊢ ( ( 3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ ) → ( ( 3 − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
241	231 73 222 240	mp3an12i	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( 3 − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
242	239 241	syl5reqr	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( 3 · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
243	237 242	eqtr3d	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 𝑦 − ( 𝑦 / 3 ) ) = ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
244	243	negeqd	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → - ( 𝑦 − ( 𝑦 / 3 ) ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
245	230 244	eqtr3d	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
246	245	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) = - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) )
247	228 246	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) − - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
248		rpcn	⊢ ( ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ )
249		mulcl	⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
250	221 248 249	sylancr	⊢ ( ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ → ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
251	14 250	syl	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
252	251	negcld	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
253	252	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
254	85 253	pncand	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) − - ( 2 · ( 𝑦 / 3 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
255	247 254	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
256	64	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℂ )
257		peano2cn	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℂ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℂ )
258		subsub4	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) )
259	73 73 258	mp3an23	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) ∈ ℂ → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) )
260	256 257 259	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) )
261		pncan	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
262	256 73 261	sylancl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
263	262	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) )
264	260 263	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) )
265	264	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) )
266	265	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) )
267	189	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
268	184 77 267	subsubd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) )
269	266 268	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 1 ) − ( 1 + 1 ) ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( ( 𝑦 / 3 ) − 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) )
270	210 255 269	3brtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) )
271	52 190 191 270	leadd1dd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
272	191	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
273	187	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℂ )
274	229	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
275	273 274	addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) ∈ ℂ )
276	272 273 274	addassd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) ) )
277	272 275 276	comraddd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) = ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) + 𝑦 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
278	271 277	breqtrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) )
279	98 189	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ )
280	52 191	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
281	191 187	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
282	281 189	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ∈ ℝ )
283		letr	⊢ ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
284	279 280 282 283	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
285	278 284	mpan2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
286	285	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) )
287	98 187 191	lesubaddd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) )
288	98 281 189	leadd1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
289	287 288	bitrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
290	289	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) + ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) + 𝑦 ) ) )
291	286 290	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) − ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
292	186 291	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
293	292	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
294	293	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
295	182 294	sylbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
296	295	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
297	296	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
298	297	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
299	173	oveq2d	⊢ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) )
300	183	subidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 )
301	300	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) = 0 )
302	299 301	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 )
303	302	pm2.24d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
304	303	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
305	304	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
306	166 169 298 305	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ ¬ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
307	156 157 163 306	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → if ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑧 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑧 ) ) ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
308	155 307	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
309	308	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
310	309	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
311	122	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ V )
312		ovex	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ∈ V
313	124 312	ifex	⊢ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ V
314	313	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ V )
315	2	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
316	51 315	sseldi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
317	4	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
318	51 317	sseldi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
319	316 318	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
320		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
321	4	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
322	311 315 317 129 321	offval2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
323	311 314 319 320 322	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
324	323	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) )
325		ovex	⊢ ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ V
326	124 325	ifex	⊢ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ V
327	326	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ V )
328		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) )
329	311 327 317 328 321	ofrfval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
330	329	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ≤ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) )
331	310 324 330	3imtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
332	331	impr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 )
333		oveq2	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑦 / 3 ) → ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) )
334	333	ifeq2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑦 / 3 ) → if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) = if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) )
335	334	mpteq2dv	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑦 / 3 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) )
336	335	breq1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑦 / 3 ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
337	336	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + ( 𝑦 / 3 ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 )
338	140 332 337	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 )
339	36	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
340	51 339	sseldi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
341	14	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ+ )
342	340 341	rerpdivcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
343		reflcl	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
344		peano2rem	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
345	342 343 344	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
346	58	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 3 ) ∈ ℝ )
347	345 346	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ∈ ℝ )
348	97	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
349	347 348	ifcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
350	349	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
351	348	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
352	350 351	pncan3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
353	352	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
354	348 349	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ )
355		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
356	96	feqmptd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
357	356	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℎ = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
358	123 348 349 357 355	offval2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
359	123 349 354 355 358	offval2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f + ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) − if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
360	353 359 357	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f + ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ℎ )
361	360	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∫1 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f + ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( ∫1 ‘ ℎ ) )
362	6 10	itg1add	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∫1 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f + ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
363	361 362	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
364	363	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
365		fvex	⊢ ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ V
366		fvex	⊢ ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ V
367		iba	⊢ ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
368		iba	⊢ ( 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
369	367 368	bi2anan9	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ↔ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) )
370	369	bicomd	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ) )
371		oveq12	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑡 + 𝑢 ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
372	371	eqeq2d	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
373	370 372	anbi12d	⊢ ( ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) )
374	365 366 373	spc2ev	⊢ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
375	139 338 364 374	syl21anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
376		fveq1	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) )
377	376	eqeq1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
378	376	oveq1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) = ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) )
379	377 378	ifbieq2d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) = if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) )
380	379	mpteq2dv	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) )
381	380	breq1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
382	381	rexbidv	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
383		fveq2	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
384	383	eqeq2d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
385	382 384	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
386	385	anbi1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ↔ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ) )
387	386	anbi1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
388	387	2exbidv	⊢ ( 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
389		fveq1	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) )
390	389	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
391	389	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) = ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) )
392	390 391	ifbieq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) = if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) )
393	392	mpteq2dv	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) )
394	393	breq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
395	394	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) )
396		fveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
397	396	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
398	395 397	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
399	398	anbi2d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ↔ ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) )
400	399	anbi1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
401	400	2exbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
402	388 401	rspc2ev	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ ( ℎ ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑦 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑦 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
403	7 11 375 402	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
404		eqeq1	⊢ ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ( 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ↔ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
405	404	anbi2d	⊢ ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ( ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
406	405	2exbidv	⊢ ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
407	406	2rexbidv	⊢ ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∫1 ‘ ℎ ) = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
408	403 407	syl5ibrcom	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ) ) → ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
409	408	rexlimdvaa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) → ( 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) ) )
410	409	impd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
411	410	rexlimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )
412		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
413	412	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
414		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
415	413 414	bitri	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
416		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
417	416	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
418		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
419	417 418	bitri	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
420	419	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
421		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
422	421	2exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
423	415 420 422	3bitrri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) )
424	411 423	syl6ibr	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ ℎ ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( ℎ ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝐹 ∘f + 𝐺 ) ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ ℎ ) ) → ∃ 𝑡 ∃ 𝑢 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑐 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑡 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑑 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑑 ) ) ) ∘r ≤ 𝐺 ∧ 𝑢 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑠 = ( 𝑡 + 𝑢 ) ) ) )