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Theorem itg2addnclem2

Description: Lemma for itg2addnc . The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017)

Ref Expression
Hypotheses itg2addnc.f1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
itg2addnc.f2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
Assertion itg2addnclem2 ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 itg2addnc.f1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
2 itg2addnc.f2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
3 rge0ssre ⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
4 fss ⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
5 2 3 4 sylancl ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
6 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
7 6 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
8 rpre ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → 𝑣 ∈ ℝ )
9 3re ⊢ 3 ∈ ℝ
10 3ne0 ⊢ 3 ≠ 0
11 9 10 pm3.2i ⊢ ( 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 )
12 redivcl ⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
13 12 3expb ⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ ∧ ( 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
14 8 11 13 sylancl ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
15 14 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
16 rpcnne0 ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0 ) )
17 3cn ⊢ 3 ∈ ℂ
18 17 10 pm3.2i ⊢ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 )
19 divne0 ⊢ ( ( ( 𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
20 16 18 19 sylancl ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
21 20 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
22 7 15 21 redivcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
23 reflcl ⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
24 22 23 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
25 peano2rem ⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
26 24 25 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
27 26 15 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
28 i1ff ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
29 28 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
30 29 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
31 27 30 ifcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
32 31 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
33 fzfi ⊢ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∈ Fin
34 ovex ⊢ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V
35 eqid ⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
36 34 35 fnmpti ⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) Fn ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
37 dffn4 ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) Fn ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
38 36 37 mpbi ⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
39 fofi ⊢ ( ( ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin )
40 33 38 39 mp2an ⊢ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin
41 i1frn ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ∈ Fin )
42 41 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ℎ ∈ Fin )
43 unfi ⊢ ( ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin ) → ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin )
44 40 42 43 sylancr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin )
45 3nn ⊢ 3 ∈ ℕ
46 nnrp ⊢ ( 3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+ )
47 45 46 ax-mp ⊢ 3 ∈ ℝ+
48 rpdivcl ⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
49 47 48 mpan2 ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
50 49 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
51 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
52 51 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
53 elrege0 ⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
54 52 53 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
55 54 simprd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
56 7 50 55 divge0d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) )
57 flge0nn0 ⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℕ0 )
58 22 56 57 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℕ0 )
59 58 nn0ge0d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
60 59 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
61 28 frnd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ⊆ ℝ )
62 i1f0rn ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran ℎ )
63 elex2 ⊢ ( 0 ∈ ran ℎ → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
64 62 63 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
65 n0 ⊢ ( ran ℎ ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
66 64 65 sylibr ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ≠ ∅ )
67 fimaxre2 ⊢ ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 )
68 61 41 67 syl2anc ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 )
69 61 66 68 3jca ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) )
70 69 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) )
71 ffn ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ℎ Fn ℝ )
72 28 71 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ )
73 dffn3 ⊢ ( ℎ Fn ℝ ↔ ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
74 72 73 sylib ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
75 74 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
76 75 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ )
77 suprub ⊢ ( ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) )
78 70 76 77 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) )
79 suprcl ⊢ ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
80 61 66 68 79 syl3anc ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
81 80 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
82 letr ⊢ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) )
83 27 30 81 82 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) )
84 26 81 50 lemuldivd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
85 1red ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
86 81 15 21 redivcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
87 24 85 86 lesubaddd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
88 84 87 bitrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
89 peano2re ⊢ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
90 86 89 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
91 ceige ⊢ ( ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
92 90 91 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
93 ceicl ⊢ ( ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
94 90 93 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
95 94 zred ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
96 letr ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
97 24 90 95 96 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
98 92 97 mpan2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
99 88 98 sylbid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
100 83 99 syld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
101 78 100 mpan2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
102 101 adantrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
103 102 imp ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
104 22 flcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
105 104 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
106 0zd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → 0 ∈ ℤ )
107 94 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
108 elfz ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ) )
109 105 106 107 108 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ) )
110 60 103 109 mpbir2and ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
111 eqid ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) )
112 oveq1 ⊢ ( 𝑡 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( 𝑡 − 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) )
113 112 oveq1d ⊢ ( 𝑡 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
114 113 rspceeqv ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
115 110 111 114 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
116 ovex ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V
117 35 elrnmpt ⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
118 116 117 ax-mp ⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
119 115 118 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
120 elun1 ⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
121 119 120 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
122 elun2 ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
123 76 122 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
124 123 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
125 121 124 ifclda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
126 125 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
127 126 frnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
128 ssfi ⊢ ( ( ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin ∧ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ Fin )
129 44 127 128 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ Fin )
130 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
131 130 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } }
132 unrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) }
133 inrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) }
134 133 ineq1i ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } )
135 inrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) }
136 134 135 eqtri ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) }
137 unrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) }
138 137 ineq1i ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
139 inrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) }
140 138 139 eqtri ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) }
141 136 140 uneq12i ⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) } )
142 eqcom ⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
143 fvex ⊢ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ V
144 116 143 ifex ⊢ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ V
145 144 elsn ⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑡 )
146 ianor ⊢ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
147 nne ⊢ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 )
148 147 orbi2i ⊢ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) )
149 146 148 bitr2i ⊢ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ↔ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
150 149 anbi1i ⊢ ( ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
151 150 orbi2i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
152 eqif ⊢ ( 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
153 151 152 bitr4i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
154 142 145 153 3bitr4i ⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
155 154 rabbii ⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) }
156 132 141 155 3eqtr4ri ⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } = ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) )
157 131 156 eqtri ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) )
158 eldifi ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
159 32 frnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ℝ )
160 159 sseld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) )
161 158 160 syl5 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → 𝑡 ∈ ℝ ) )
162 161 imdistani ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) )
163 rabiun ⊢ { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
164 cnvimarndm ⊢ ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = dom ℎ
165 iunid ⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } = ran ℎ
166 165 imaeq2i ⊢ ( ◡ ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } ) = ( ◡ ℎ “ ran ℎ )
167 imaiun ⊢ ( ◡ ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
168 166 167 eqtr3i ⊢ ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
169 164 168 eqtr3i ⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
170 28 fdmd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → dom ℎ = ℝ )
171 169 170 syl5eqr ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ )
172 171 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ )
173 rabeq ⊢ ( ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
174 172 173 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
175 163 174 syl5eqr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
176 fniniseg ⊢ ( ℎ Fn ℝ → ( 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ) ) )
177 28 71 176 3syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ) ) )
178 177 simplbda ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 )
179 178 breq2d ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
180 179 rabbidva ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
181 inrab2 ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 }
182 imassrn ⊢ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ran ◡ ℎ
183 dfdm4 ⊢ dom ℎ = ran ◡ ℎ
184 183 170 syl5eqr ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ◡ ℎ = ℝ )
185 182 184 sseqtrid ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ )
186 sseqin2 ⊢ ( ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ ↔ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) )
187 185 186 sylib ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) )
188 rabeq ⊢ ( ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
189 187 188 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
190 181 189 syl5eq ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
191 180 190 eqtr4d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
192 191 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
193 26 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
194 61 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ℎ ⊆ ℝ )
195 194 sselda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
196 195 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
197 49 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
198 193 196 197 lemuldivd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
199 24 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
200 1red ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
201 14 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
202 20 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
203 196 201 202 redivcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
204 199 200 203 lesubaddd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
205 7 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
206 peano2re ⊢ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
207 203 206 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
208 reflcl ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
209 207 208 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
210 peano2re ⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
211 209 210 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
212 205 211 197 ltdivmuld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
213 22 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
214 flflp1 ⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
215 213 207 214 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
216 201 211 remulcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
217 216 rexrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
218 elioomnf ⊢ ( ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ* → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
219 217 218 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
220 205 biantrurd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
221 219 220 bitr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
222 212 215 221 3bitr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
223 198 204 222 3bitrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
224 223 rabbidva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
225 2 feqmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
226 225 cnveqd ⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐹 = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
227 226 imaeq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
228 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
229 228 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) }
230 227 229 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
231 230 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
232 224 231 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
233 mbfima ⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
234 1 5 233 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
235 234 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
236 232 235 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
237 61 sseld ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( 𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ ) )
238 237 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ ) )
239 238 imdistani ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) )
240 i1fmbf ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ ∈ MblFn )
241 240 28 jca ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) )
242 241 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) )
243 mbfimasn ⊢ ( ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
244 243 3expa ⊢ ( ( ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
245 242 244 sylan ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
246 239 245 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
247 inmbl ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
248 236 246 247 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
249 192 248 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
250 249 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
251 finiunmbl ⊢ ( ( ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
252 42 250 251 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
253 175 252 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
254 unrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) }
255 28 feqmptd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
256 255 cnveqd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ◡ ℎ = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
257 256 imaeq1d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) 0 ) ) )
258 eqid ⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
259 258 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) 0 ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) }
260 257 259 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } )
261 256 imaeq1d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( 0 (,) +∞ ) ) )
262 258 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( 0 (,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) }
263 261 262 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } )
264 260 263 uneq12d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } ) )
265 28 ffvelrnda ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
266 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
267 lttri2 ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
268 266 267 mpan2 ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
269 ibar ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
270 andi ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
271 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ*
272 elioomnf ⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ) )
273 elioopnf ⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
274 272 273 orbi12d ⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
275 271 274 ax-mp ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
276 270 275 bitr4i ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) )
277 269 276 bitrdi ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
278 268 277 bitrd ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
279 265 278 syl ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
280 279 rabbidva ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) } )
281 254 264 280 3eqtr4a ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } )
282 i1fima ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∈ dom vol )
283 i1fima ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
284 unmbl ⊢ ( ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
285 282 283 284 syl2anc ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
286 281 285 eqeltrrd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol )
287 286 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol )
288 inmbl ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
289 253 287 288 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
290 289 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
291 24 recnd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℂ )
292 291 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℂ )
293 1cnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ )
294 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
295 14 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
296 20 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
297 294 295 296 redivcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
298 297 recnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℂ )
299 292 293 298 subadd2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
300 eqcom ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) )
301 recn ⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ )
302 301 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℂ )
303 26 recnd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
304 303 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
305 14 recnd ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
306 305 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
307 302 304 306 296 divmul3d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
308 300 307 syl5bb ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
309 299 308 bitr3d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
310 309 rabbidva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } )
311 imaundi ⊢ ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
312 226 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ◡ 𝐹 = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
313 zre ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
314 313 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
315 14 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
316 314 315 remulcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
317 316 rexrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* )
318 peano2z ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℤ )
319 318 zred ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
320 319 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
321 315 320 remulcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
322 321 rexrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
323 zcn ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℂ )
324 323 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℂ )
325 305 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
326 324 325 mulcomd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
327 49 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
328 313 ltp1d ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) )
329 328 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) )
330 314 320 327 329 ltmul2dd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
331 326 330 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
332 snunioo ⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) → ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
333 317 322 331 332 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
334 312 333 imaeq12d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
335 311 334 syl5eqr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
336 228 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) }
337 5 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
338 337 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
339 338 3biant1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
340 339 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
341 313 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
342 338 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
343 49 ad4antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
344 341 342 343 lemuldivd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
345 319 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
346 342 345 343 ltdivmuld ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
347 346 bicomd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
348 344 347 anbi12d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
349 340 348 bitr3d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
350 elico2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
351 316 322 350 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
352 351 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
353 eqcom ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) )
354 22 adantlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
355 flbi ⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
356 354 355 sylan ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
357 353 356 syl5bb ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
358 349 352 357 3bitr4d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
359 358 an32s ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
360 359 rabbidva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
361 336 360 syl5eq ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
362 335 361 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
363 1 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → 𝐹 ∈ MblFn )
364 5 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
365 mbfimasn ⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
366 363 364 316 365 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
367 mbfima ⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
368 1 5 367 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
369 368 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
370 unmbl ⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) ∈ dom vol )
371 366 369 370 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) ∈ dom vol )
372 362 371 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
373 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
374 354 flcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
375 374 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
376 373 375 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ )
377 376 stoic1a ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
378 377 an32s ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
379 378 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
380 rabeq0 ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
381 379 380 sylibr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = ∅ )
382 0mbl ⊢ ∅ ∈ dom vol
383 381 382 eqeltrdi ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
384 372 383 pm2.61dan ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
385 310 384 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∈ dom vol )
386 inmbl ⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∈ dom vol ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
387 290 385 386 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
388 rabiun ⊢ { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
389 rabeq ⊢ ( ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
390 171 389 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
391 388 390 syl5eqr ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
392 391 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
393 179 notbid ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
394 393 rabbidva ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
395 inrab2 ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 }
396 rabeq ⊢ ( ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
397 187 396 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
398 395 397 syl5eq ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
399 394 398 eqtr4d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
400 399 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
401 imaundi ⊢ ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) )
402 14 20 jca ⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) )
403 redivcl ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
404 403 3expb ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
405 402 404 sylan2 ⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
406 405 ancoms ⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
407 406 adantll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
408 407 206 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
409 peano2re ⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
410 reflcl ⊢ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
411 408 409 410 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
412 14 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
413 411 412 remulcld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
414 413 rexrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* )
415 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ*
416 415 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → +∞ ∈ ℝ* )
417 ltpnf ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ )
418 413 417 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ )
419 snunioo ⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ ) → ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) )
420 414 416 418 419 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) )
421 420 imaeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
422 401 421 syl5eqr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
423 226 imaeq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
424 228 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) }
425 423 424 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } )
426 425 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } )
427 408 409 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
428 427 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
429 flflp1 ⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
430 428 354 429 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
431 413 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
432 elicopnf ⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
433 431 432 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
434 338 biantrurd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
435 411 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
436 49 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
437 435 338 436 lemuldivd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
438 433 434 437 3bitr2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
439 408 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
440 354 23 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
441 1red ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
442 439 440 441 ltadd1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
443 430 438 442 3bitr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
444 297 441 440 ltaddsubd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ) )
445 443 444 bitrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ) )
446 440 25 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
447 294 446 436 ltdivmul2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ↔ 𝑡 < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
448 446 295 remulcld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
449 294 448 ltnled ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
450 445 447 449 3bitrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
451 450 rabbidva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
452 422 426 451 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
453 1 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐹 ∈ MblFn )
454 mbfimasn ⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
455 453 337 413 454 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
456 mbfima ⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
457 1 5 456 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
458 457 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
459 unmbl ⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
460 455 458 459 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
461 452 460 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
462 239 461 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
463 inmbl ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
464 462 246 463 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
465 400 464 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
466 465 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
467 finiunmbl ⊢ ( ( ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
468 42 466 467 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
469 392 468 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
470 256 imaeq1d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) )
471 258 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } }
472 143 elsn ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 )
473 472 rabbii ⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 }
474 471 473 eqtri ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 }
475 470 474 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } )
476 i1fima ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ∈ dom vol )
477 475 476 eqeltrrd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol )
478 477 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol )
479 unmbl ⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
480 469 478 479 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
481 480 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
482 256 imaeq1d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) )
483 258 mptpreima ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } }
484 143 elsn ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 )
485 eqcom ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ↔ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
486 484 485 bitri ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } ↔ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
487 486 rabbii ⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
488 483 487 eqtri ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
489 482 488 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
490 489 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
491 490 245 eqeltrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
492 inmbl ⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol )
493 481 491 492 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol )
494 unmbl ⊢ ( ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
495 387 493 494 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
496 162 495 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
497 157 496 eqeltrid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
498 mblvol ⊢ ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) )
499 497 498 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) )
500 eldifsn ⊢ ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑡 ≠ 0 ) )
501 160 anim1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑡 ≠ 0 ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
502 500 501 syl5bi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
503 502 imdistani ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
504 131 a1i ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } )
505 470 471 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } )
506 504 505 ineq12d ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } ) )
507 inrab ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) }
508 506 507 eqtrdi ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } )
509 508 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } )
510 147 biimpri ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
511 510 intnand ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
512 511 iffalsed ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
513 eqtr ⊢ ( ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
514 512 513 mpancom ⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
515 514 adantl ⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
516 simpll ⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → 𝑡 ≠ 0 )
517 516 necomd ⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → 0 ≠ 𝑡 )
518 515 517 eqnetrd ⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 )
519 518 ex ⊢ ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
520 orcom ⊢ ( ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ∨ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
521 ianor ⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
522 imor ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) ↔ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ∨ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
523 520 521 522 3bitr4i ⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
524 145 necon3bbii ⊢ ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 )
525 472 524 imbi12i ⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
526 523 525 bitri ⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
527 519 526 sylibr ⊢ ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
528 527 ralrimiva ⊢ ( 𝑡 ≠ 0 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
529 rabeq0 ⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
530 528 529 sylibr ⊢ ( 𝑡 ≠ 0 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ )
531 530 ad2antll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ )
532 509 531 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ )
533 imassrn ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
534 dfdm4 ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
535 144 130 dmmpti ⊢ dom ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ℝ
536 534 535 eqtr3i ⊢ ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ℝ
537 533 536 sseqtri ⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ
538 reldisj ⊢ ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ → ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ ↔ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) ) )
539 537 538 ax-mp ⊢ ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ ↔ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
540 532 539 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
541 ffun ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → Fun ℎ )
542 difpreima ⊢ ( Fun ℎ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
543 541 542 syl ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
544 fdm ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → dom ℎ = ℝ )
545 164 544 syl5eq ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = ℝ )
546 545 difeq1d ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
547 543 546 eqtrd ⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
548 28 547 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
549 548 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
550 540 549 sseqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) )
551 imassrn ⊢ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ran ◡ ℎ
552 551 184 sseqtrid ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
553 552 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
554 i1fima ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol )
555 mblvol ⊢ ( ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) )
556 554 555 syl ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) )
557 neldifsn ⊢ ¬ 0 ∈ ( ran ℎ ∖ { 0 } )
558 i1fima2 ⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
559 557 558 mpan2 ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
560 556 559 eqeltrrd ⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
561 560 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
562 ovolsscl ⊢ ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
563 550 553 561 562 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
564 503 563 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
565 499 564 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
566 32 129 497 565 i1fd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )