Theorem itg2addnclem2

Description: Lemma for itg2addnc . The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
	itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
Assertion	itg2addnclem2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f1	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn )
2		itg2addnc.f2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
3		rge0ssre	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
4		fss	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
5	2 3 4	sylancl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
6	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
7	6	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
8		rpre	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → 𝑣 ∈ ℝ )
9		3re	⊢ 3 ∈ ℝ
10		3ne0	⊢ 3 ≠ 0
11	9 10	pm3.2i	⊢ ( 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 )
12		redivcl	⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
13	12	3expb	⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ ∧ ( 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
14	8 11 13	sylancl	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
15	14	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
16		rpcnne0	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0 ) )
17		3cn	⊢ 3 ∈ ℂ
18	17 10	pm3.2i	⊢ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 )
19		divne0	⊢ ( ( ( 𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0 ) ∧ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
20	16 18 19	sylancl	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
21	20	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
22	7 15 21	redivcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
23		reflcl	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
24	22 23	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
25		peano2rem	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
26	24 25	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
27	26 15	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
28		i1ff	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
29	28	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ℎ : ℝ ⟶ ℝ )
30	29	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
31	27 30	ifcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
32	31	fmpttd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
33		fzfi	⊢ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∈ Fin
34		ovex	⊢ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V
35		eqid	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
36	34 35	fnmpti	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) Fn ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
37		dffn4	⊢ ( ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) Fn ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
38	36 37	mpbi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
39		fofi	⊢ ( ( ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) : ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) –onto→ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin )
40	33 38 39	mp2an	⊢ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin
41		i1frn	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ∈ Fin )
42	41	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ℎ ∈ Fin )
43		unfi	⊢ ( ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin ) → ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin )
44	40 42 43	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin )
45		0zd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → 0 ∈ ℤ )
46	28	frnd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ⊆ ℝ )
47		i1f0rn	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran ℎ )
48		elex2	⊢ ( 0 ∈ ran ℎ → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
49	47 48	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
50		n0	⊢ ( ran ℎ ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ )
51	49 50	sylibr	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ≠ ∅ )
52		fimaxre2	⊢ ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 )
53	46 41 52	syl2anc	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 )
54		suprcl	⊢ ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
55	46 51 53 54	syl3anc	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
56	55	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ )
57	56 15 21	redivcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
58		peano2re	⊢ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
59	57 58	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
60		ceicl	⊢ ( ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
61	59 60	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
62	61	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
63	22	flcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
65		3nn	⊢ 3 ∈ ℕ
66		nnrp	⊢ ( 3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+ )
67	65 66	ax-mp	⊢ 3 ∈ ℝ+
68		rpdivcl	⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
69	67 68	mpan2	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
70	69	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
71	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
72	71	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
73		elrege0	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
74	72 73	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
75	74	simprd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
76	7 70 75	divge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) )
77		flge0nn0	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℕ0 )
78	22 76 77	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℕ0 )
79	78	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
80	79	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → 0 ≤ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
81	46 51 53	3jca	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) )
82	81	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) )
83		ffn	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ℎ Fn ℝ )
84	28 83	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ )
85		dffn3	⊢ ( ℎ Fn ℝ ↔ ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
86	84 85	sylib	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
87	86	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ℎ : ℝ ⟶ ran ℎ )
88	87	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ )
89		suprub	⊢ ( ( ( ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) )
90	82 88 89	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) )
91		letr	⊢ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) )
92	27 30 56 91	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) )
93	26 56 70	lemuldivd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
94		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
95	24 94 57	lesubaddd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
96	93 95	bitrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
97		ceige	⊢ ( ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
98	59 97	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
99	61	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
100		letr	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
101	24 59 99 100	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∧ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
102	98 101	mpan2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
103	96 102	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
104	92 103	syld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≤ sup ( ran ℎ , ℝ , < ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
105	90 104	mpan2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
106	105	adantrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
107	106	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
108	45 62 64 80 107	elfzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) )
109		eqid	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) )
110		oveq1	⊢ ( 𝑡 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( 𝑡 − 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) )
111	110	oveq1d	⊢ ( 𝑡 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
112	111	rspceeqv	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
113	108 109 112	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
114		ovex	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V
115	35	elrnmpt	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ V → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
116	114 115	ax-mp	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) )
117	113 116	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
118		elun1	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
119	117 118	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
120		elun2	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ran ℎ → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
121	88 120	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
122	121	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
123	119 122	ifclda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
124	123	fmpttd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
125	124	frnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) )
126		ssfi	⊢ ( ( ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ∈ Fin ∧ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ( ran ( 𝑡 ∈ ( 0 ... - ( ⌊ ‘ - ( ( sup ( ran ℎ , ℝ , < ) / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝑡 − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∪ ran ℎ ) ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ Fin )
127	44 125 126	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ Fin )
128		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
129	128	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } }
130		unrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) }
131		inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) }
132	131	ineq1i	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } )
133		inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) }
134	132 133	eqtri	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) }
135		unrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) }
136	135	ineq1i	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
137		inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) }
138	136 137	eqtri	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) }
139	134 138	uneq12i	⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) } )
140		eqcom	⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
141		fvex	⊢ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ V
142	114 141	ifex	⊢ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ V
143	142	elsn	⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 𝑡 )
144		ianor	⊢ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
145		nne	⊢ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 )
146	145	orbi2i	⊢ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ↔ ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) )
147	144 146	bitr2i	⊢ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ↔ ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
148	147	anbi1i	⊢ ( ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
149	148	orbi2i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
150		eqif	⊢ ( 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
151	149 150	bitr4i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ 𝑡 = if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
152	140 143 151	3bitr4i	⊢ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
153	152	rabbii	⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ∧ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∨ ( ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) ∧ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) }
154	130 139 153	3eqtr4ri	⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } = ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) )
155	129 154	eqtri	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) )
156		eldifi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
157	32	frnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ⊆ ℝ )
158	157	sseld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) )
159	156 158	syl5	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → 𝑡 ∈ ℝ ) )
160	159	imdistani	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) )
161		rabiun	⊢ { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
162		cnvimarndm	⊢ ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = dom ℎ
163		iunid	⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } = ran ℎ
164	163	imaeq2i	⊢ ( ◡ ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } ) = ( ◡ ℎ “ ran ℎ )
165		imaiun	⊢ ( ◡ ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑡 } ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
166	164 165	eqtr3i	⊢ ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
167	162 166	eqtr3i	⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } )
168	28	fdmd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → dom ℎ = ℝ )
169	167 168	eqtr3id	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ )
170	169	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ )
171		rabeq	⊢ ( ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
172	170 171	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
173	161 172	eqtr3id	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
174		fniniseg	⊢ ( ℎ Fn ℝ → ( 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ) ) )
175	28 83 174	3syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ) ) )
176	175	simplbda	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 )
177	176	breq2d	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
178	177	rabbidva	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
179		inrab2	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 }
180		imassrn	⊢ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ran ◡ ℎ
181		dfdm4	⊢ dom ℎ = ran ◡ ℎ
182	181 168	eqtr3id	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ran ◡ ℎ = ℝ )
183	180 182	sseqtrid	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ )
184		sseqin2	⊢ ( ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ ↔ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) )
185	183 184	sylib	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) )
186		rabeq	⊢ ( ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
187	185 186	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
188	179 187	eqtrid	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
189	178 188	eqtr4d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
190	189	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
191	26	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
192	46	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ran ℎ ⊆ ℝ )
193	192	sselda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
194	193	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
195	69	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
196	191 194 195	lemuldivd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
197	24	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
198		1red	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
199	14	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
200	20	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
201	194 199 200	redivcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
202	197 198 201	lesubaddd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ≤ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
203	7	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
204		peano2re	⊢ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
205	201 204	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
206		reflcl	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
207	205 206	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
208		peano2re	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
209	207 208	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
210	203 209 195	ltdivmuld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
211	22	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
212		flflp1	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
213	211 205 212	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) )
214	199 209	remulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
215	214	rexrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
216		elioomnf	⊢ ( ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ* → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
217	215 216	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
218	203	biantrurd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
219	217 218	bitr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) )
220	210 213 219	3bitr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ≤ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
221	196 202 220	3bitrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
222	221	rabbidva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
223	2	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
224	223	cnveqd	⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐹 = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
225	224	imaeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
226		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
227	226	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) }
228	225 227	eqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
229	228	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) } )
230	222 229	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) )
231		mbfima	⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
232	1 5 231	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
233	232	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( -∞ (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
234	230 233	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
235	46	sseld	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( 𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ ) )
236	235	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ ) )
237	236	imdistani	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) )
238		i1fmbf	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ ∈ MblFn )
239	238 28	jca	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) )
240	239	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) )
241		mbfimasn	⊢ ( ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
242	241	3expa	⊢ ( ( ( ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ : ℝ ⟶ ℝ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
243	240 242	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
244	237 243	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
245		inmbl	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
246	234 244 245	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
247	190 246	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
248	247	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
249		finiunmbl	⊢ ( ( ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
250	42 248 249	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
251	173 250	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
252		unrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) }
253	28	feqmptd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
254	253	cnveqd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ◡ ℎ = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
255	254	imaeq1d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) 0 ) ) )
256		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
257	256	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( -∞ (,) 0 ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) }
258	255 257	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } )
259	254	imaeq1d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( 0 (,) +∞ ) ) )
260	256	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ ( 0 (,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) }
261	259 260	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } )
262	258 261	uneq12d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) } ) )
263	28	ffvelcdmda	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
264		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
265		lttri2	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
266	264 265	mpan2	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
267		ibar	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
268		andi	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
269		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
270		elioomnf	⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ) )
271		elioopnf	⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
272	270 271	orbi12d	⊢ ( 0 ∈ ℝ* → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
273	269 272	ax-mp	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ↔ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ) ∨ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) )
274	268 273	bitr4i	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) )
275	267 274	bitrdi	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) < 0 ∨ 0 < ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
276	266 275	bitrd	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
277	263 276	syl	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) ) )
278	277	rabbidva	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( -∞ (,) 0 ) ∨ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 (,) +∞ ) ) } )
279	252 262 278	3eqtr4a	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } )
280		i1fima	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∈ dom vol )
281		i1fima	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
282		unmbl	⊢ ( ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
283	280 281 282	syl2anc	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ℎ “ ( -∞ (,) 0 ) ) ∪ ( ◡ ℎ “ ( 0 (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
284	279 283	eqeltrrd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol )
285	284	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol )
286		inmbl	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
287	251 285 286	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
288	287	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol )
289	24	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℂ )
290	289	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℂ )
291		1cnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ )
292		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℝ )
293	14	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
294	20	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 )
295	292 293 294	redivcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
296	295	recnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℂ )
297	290 291 296	subadd2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
298		eqcom	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) )
299		recn	⊢ ( 𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ )
300	299	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑡 ∈ ℂ )
301	26	recnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
302	301	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
303	14	recnd	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
304	303	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
305	300 302 304 294	divmul3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
306	298 305	bitrid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) = ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
307	297 306	bitr3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
308	307	rabbidva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } )
309		imaundi	⊢ ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
310	224	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ◡ 𝐹 = ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
311		zre	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
312	311	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
313	14	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
314	312 313	remulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
315	314	rexrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* )
316		peano2z	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℤ )
317	316	zred	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
318	317	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
319	313 318	remulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
320	319	rexrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
321		zcn	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℂ )
322	321	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℂ )
323	303	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℂ )
324	322 323	mulcomd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) = ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) )
325	69	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
326	311	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) )
327	326	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) )
328	312 318 325 327	ltmul2dd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
329	324 328	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
330		snunioo	⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) → ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
331	315 320 329 330	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
332	310 331	imaeq12d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
333	309 332	eqtr3id	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
334	226	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) }
335	5	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
336	335	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
337	336	3biant1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
338	337	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
339	311	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
340	336	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
341	69	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
342	339 340 341	lemuldivd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
343	317	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
344	340 343 341	ltdivmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
345	344	bicomd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) )
346	342 345	anbi12d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
347	338 346	bitr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
348		elico2	⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
349	314 320 348	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
350	349	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) < ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
351		eqcom	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) )
352	22	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
353		flbi	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
354	352 353	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) = ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
355	351 354	bitrid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
356	347 350 355	3bitr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
357	356	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
358	357	rabbidva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
359	334 358	eqtrid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
360	333 359	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } )
361	1	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → 𝐹 ∈ MblFn )
362	5	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
363		mbfimasn	⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
364	361 362 314 363	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
365		mbfima	⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
366	1 5 365	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
367	366	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol )
368		unmbl	⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) ∈ dom vol )
369	364 367 368	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) ( ( 𝑣 / 3 ) · ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ) ) ) ∈ dom vol )
370	360 369	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
371		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
372	352	flcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
373	372	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℤ )
374	371 373	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ )
375	374	stoic1a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
376	375	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
377	376	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
378		rabeq0	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
379	377 378	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } = ∅ )
380		0mbl	⊢ ∅ ∈ dom vol
381	379 380	eqeltrdi	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
382	370 381	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) } ∈ dom vol )
383	308 382	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∈ dom vol )
384		inmbl	⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∈ dom vol ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
385	288 383 384	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
386		rabiun	⊢ { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
387		rabeq	⊢ ( ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ℝ → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
388	169 387	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
389	386 388	eqtr3id	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
390	389	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
391	177	notbid	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) → ( ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
392	391	rabbidva	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
393		inrab2	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 }
394		rabeq	⊢ ( ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
395	185 394	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
396	393 395	eqtrid	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) = { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
397	392 396	eqtr4d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
398	397	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) )
399		imaundi	⊢ ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) )
400	14 20	jca	⊢ ( 𝑣 ∈ ℝ+ → ( ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) )
401		redivcl	⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
402	401	3expb	⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑣 / 3 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
403	400 402	sylan2	⊢ ( ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
404	403	ancoms	⊢ ( ( 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
405	404	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
406	405 204	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
407		peano2re	⊢ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
408		reflcl	⊢ ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
409	406 407 408	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
410	14	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ )
411	409 410	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
412	411	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* )
413		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
414	413	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → +∞ ∈ ℝ* )
415		ltpnf	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ )
416	411 415	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ )
417		snunioo	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) < +∞ ) → ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) )
418	412 414 416 417	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) )
419	418	imaeq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ∪ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
420	399 419	eqtr3id	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
421	224	imaeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) )
422	226	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) }
423	421 422	eqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } )
424	423	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } )
425	406 407	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
426	425	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
427		flflp1	⊢ ( ( ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
428	426 352 427	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
429	411	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
430		elicopnf	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
431	429 430	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
432	336	biantrurd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
433	409	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
434	69	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 / 3 ) ∈ ℝ+ )
435	433 336 434	lemuldivd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
436	431 432 435	3bitr2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
437	406	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) ∈ ℝ )
438	352 23	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ∈ ℝ )
439		1red	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
440	437 438 439	ltadd1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) + 1 ) ) )
441	428 436 440	3bitr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ) )
442	295 439 438	ltaddsubd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) < ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ) )
443	441 442	bitrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ) )
444	438 25	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ )
445	292 444 434	ltdivmul2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) ↔ 𝑡 < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ) )
446	444 293	remulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ )
447	292 446	ltnled	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑡 < ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
448	443 445 447	3bitrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) ↔ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 ) )
449	448	rabbidva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) [,) +∞ ) } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
450	420 424 449	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } )
451	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → 𝐹 ∈ MblFn )
452		mbfimasn	⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
453	451 335 411 452	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol )
454		mbfima	⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
455	1 5 454	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
456	455	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol )
457		unmbl	⊢ ( ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ∈ dom vol ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
458	453 456 457	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ◡ 𝐹 “ { ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ◡ 𝐹 “ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝑡 / ( 𝑣 / 3 ) ) + 1 ) + 1 ) ) · ( 𝑣 / 3 ) ) (,) +∞ ) ) ) ∈ dom vol )
459	450 458	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
460	237 459	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol )
461		inmbl	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∈ dom vol ∧ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
462	460 244 461	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ 𝑡 } ∩ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ) ∈ dom vol )
463	398 462	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ ) → { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
464	463	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
465		finiunmbl	⊢ ( ( ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
466	42 464 465	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ { 𝑥 ∈ ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
467	390 466	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
468	254	imaeq1d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) )
469	256	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } }
470	141	elsn	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 )
471	470	rabbii	⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 }
472	469 471	eqtri	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 }
473	468 472	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } )
474		i1fima	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ∈ dom vol )
475	473 474	eqeltrrd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol )
476	475	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol )
477		unmbl	⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ∈ dom vol ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
478	467 476 477	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
479	478	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol )
480	254	imaeq1d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) )
481	256	mptpreima	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } }
482	141	elsn	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } ↔ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 )
483		eqcom	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 𝑡 ↔ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
484	482 483	bitri	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } ↔ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
485	484	rabbii	⊢ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑡 } } = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
486	481 485	eqtri	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) }
487	480 486	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
488	487	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ◡ ℎ “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } )
489	488 243	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol )
490		inmbl	⊢ ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∈ dom vol ∧ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∈ dom vol ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol )
491	479 489 490	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol )
492		unmbl	⊢ ( ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∈ dom vol ∧ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ∈ dom vol ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
493	385 491 492	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
494	160 493	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) } ) ∪ ( ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 } ) ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = ( ℎ ‘ 𝑥 ) } ) ) ∈ dom vol )
495	155 494	eqeltrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol )
496		mblvol	⊢ ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) )
497	495 496	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) )
498		eldifsn	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑡 ≠ 0 ) )
499	158	anim1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑡 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑡 ≠ 0 ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
500	498 499	biimtrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
501	500	imdistani	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) )
502	129	a1i	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } )
503	468 469	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ { 0 } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } )
504	502 503	ineq12d	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } ) )
505		inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } } ∩ { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } } ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) }
506	504 505	eqtrdi	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } )
507	506	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } )
508	145	biimpri	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
509	508	intnand	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → ¬ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
510	509	iffalsed	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) )
511		eqtr	⊢ ( ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
512	510 511	mpancom	⊢ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
513	512	adantl	⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) = 0 )
514		simpll	⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → 𝑡 ≠ 0 )
515	514	necomd	⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → 0 ≠ 𝑡 )
516	513 515	eqnetrd	⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 ) → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 )
517	516	ex	⊢ ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
518		orcom	⊢ ( ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ∨ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
519		ianor	⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∨ ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
520		imor	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) ↔ ( ¬ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ∨ ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
521	518 519 520	3bitr4i	⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) )
522	143	necon3bbii	⊢ ( ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ↔ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 )
523	470 522	imbi12i	⊢ ( ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } → ¬ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
524	521 523	bitri	⊢ ( ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) ↔ ( ( ℎ ‘ 𝑥 ) = 0 → if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ≠ 𝑡 ) )
525	517 524	sylibr	⊢ ( ( 𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
526	525	ralrimiva	⊢ ( 𝑡 ≠ 0 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
527		rabeq0	⊢ ( { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ¬ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) )
528	526 527	sylibr	⊢ ( 𝑡 ≠ 0 → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ )
529	528	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → { 𝑥 ∈ ℝ ∣ ( if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ∈ { 𝑡 } ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 } ) } = ∅ )
530	507 529	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ )
531		imassrn	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
532		dfdm4	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) )
533	142 128	dmmpti	⊢ dom ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ℝ
534	532 533	eqtr3i	⊢ ran ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) = ℝ
535	531 534	sseqtri	⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ
536		reldisj	⊢ ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ℝ → ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ ↔ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) ) )
537	535 536	ax-mp	⊢ ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ∩ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ∅ ↔ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
538	530 537	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
539		ffun	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → Fun ℎ )
540		difpreima	⊢ ( Fun ℎ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
541	539 540	syl	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
542		fdm	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → dom ℎ = ℝ )
543	162 542	eqtrid	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) = ℝ )
544	543	difeq1d	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ( ◡ ℎ “ ran ℎ ) ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
545	541 544	eqtrd	⊢ ( ℎ : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
546	28 545	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
547	546	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ ℎ “ { 0 } ) ) )
548	538 547	sseqtrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) )
549		imassrn	⊢ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ran ◡ ℎ
550	549 182	sseqtrid	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
551	550	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
552		i1fima	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol )
553		mblvol	⊢ ( ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) )
554	552 553	syl	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) )
555		neldifsn	⊢ ¬ 0 ∈ ( ran ℎ ∖ { 0 } )
556		i1fima2	⊢ ( ( ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
557	555 556	mpan2	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
558	554 557	eqeltrrd	⊢ ( ℎ ∈ dom ∫1 → ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
559	558	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
560		ovolsscl	⊢ ( ( ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ⊆ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ◡ ℎ “ ( ran ℎ ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
561	548 551 559 560	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0 ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
562	501 561	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
563	497 562	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑡 ∈ ( ran ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) “ { 𝑡 } ) ) ∈ ℝ )
564	32 127 495 563	i1fd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) ≤ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ∧ ( ℎ ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) , ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) / ( 𝑣 / 3 ) ) ) − 1 ) · ( 𝑣 / 3 ) ) , ( ℎ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ dom ∫1 )