Theorem itg2addnclem

Description: An alternate expression for the S.2 integral that includes an arbitrarily small but strictly positive "buffer zone" wherever the simple function is nonzero. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Oct-2017) (Revised by Brendan Leahy, 10-Mar-2018)

	Ref	Expression
Hypothesis	itg2addnclem.1	⊢ 𝐿 = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) }
Assertion	itg2addnclem	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( 𝐿 , ℝ* , < ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnclem.1	⊢ 𝐿 = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) }
2		eqid	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) }
3	2	itg2val	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
4	1	supeq1i	⊢ sup ( 𝐿 , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < )
5		xrltso	⊢ < Or ℝ*
6	5	a1i	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → < Or ℝ* )
7		simprr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
8		itg1cl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
9	8	rexrd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* )
10	9	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* )
11	7 10	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
12	11	rexlimiva	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
13	12	abssi	⊢ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ*
14		supxrcl	⊢ ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
15	13 14	mp1i	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
16		fveq1	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
17	16	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
18	16	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) )
19	17 18	ifbieq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) )
20	19	mpteq2dv	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
21	20	breq1d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
22	21	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
23		fveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
24	23	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
25	22 24	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = 𝑓 → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
26	25	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
27		breq2	⊢ ( 0 = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ 0 ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
28		breq2	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) = if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
29		id	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
30		0le0	⊢ 0 ≤ 0
31	29 30	eqbrtrdi	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ 0 )
32	31	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ 0 )
33		rpge0	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦 )
34	33	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ 𝑦 )
35		i1ff	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ )
36	35	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
37	36	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
38		rpre	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ )
39	38	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ )
40	37 39	addge01d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ 𝑦 ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) )
41	34 40	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) )
42	41	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) )
43	27 28 32 42	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) )
44	43	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) )
45	35	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ )
46	45	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
47	46	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* )
48		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
49	38	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ )
50	46 49	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ )
51		ifcl	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ ℝ )
52	48 50 51	sylancr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ ℝ )
53	52	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ ℝ* )
54		iccssxr	⊢ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ*
55		fss	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ* ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ* )
56	54 55	mpan2	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ* )
57	56	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ* )
58	57	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* )
59		xrletr	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* ∧ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∧ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
60	47 53 58 59	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ∧ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
61	44 60	mpand	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
62	61	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
63		reex	⊢ ℝ ∈ V
64	63	a1i	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ℝ ∈ V )
65		eqidd	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) )
66		id	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
67	66	feqmptd	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
68	67	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
69	64 52 58 65 68	ofrfval2	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
70	35	feqmptd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) )
71	70	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑓 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) )
72	64 46 58 71 68	ofrfval2	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
73	62 69 72	3imtr4d	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ) )
74	73	rexlimdva	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ) )
75	74	anim1d	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
76	75	reximdva	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
77	26 76	syl5bi	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
78	77	ss2abdv	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ⊆ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } )
79	78	sseld	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } → 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ) )
80		simp3r	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
81	9	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* )
82	80 81	eqeltrd	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
83	82	rexlimdv3a	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) )
84	83	abssdv	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* )
85		xrsupss	⊢ ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* → ∃ 𝑎 ∈ ℝ* ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑏 < 𝑎 → ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ) ) )
86	84 85	syl	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ* ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑏 < 𝑎 → ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ) ) )
87	6 86	supub	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } → ¬ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) < 𝑏 ) )
88	79 87	syld	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } → ¬ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) < 𝑏 ) )
89	88	imp	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } ) → ¬ sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) < 𝑏 )
90		supxrlub	⊢ ( ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } ⊆ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( 𝑏 < sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ) )
91	13 90	mpan	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ* → ( 𝑏 < sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ) )
92	91	adantl	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( 𝑏 < sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ) )
93		simprrr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
94	93	breq2d	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 < 𝑠 ↔ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
95		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
96		i1f0	⊢ ( ℝ × { 0 } ) ∈ dom ∫1
97		2rp	⊢ 2 ∈ ℝ+
98	97	ne0ii	⊢ ℝ+ ≠ ∅
99		ffvelrn	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
100		elxrge0	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
101	99 100	sylib	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
102	101	simprd	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
103	102	ralrimiva	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
104	63	a1i	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ℝ ∈ V )
105		c0ex	⊢ 0 ∈ V
106	105	a1i	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ∈ V )
107		eqidd	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) )
108	104 106 99 107 67	ofrfval2	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
109	103 108	mpbird	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
110	109	ralrimivw	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
111		r19.2z	⊢ ( ( ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
112	98 110 111	sylancr	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 )
113		fveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∫1 ‘ 𝑔 ) = ( ∫1 ‘ ( ℝ × { 0 } ) ) )
114		itg10	⊢ ( ∫1 ‘ ( ℝ × { 0 } ) ) = 0
115	113 114	eqtr2di	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) )
116	115	biantrud	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
117		fveq1	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ × { 0 } ) ‘ 𝑧 ) )
118	105	fvconst2	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( ℝ × { 0 } ) ‘ 𝑧 ) = 0 )
119	117 118	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 )
120		iftrue	⊢ ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = 0 )
121	119 120	syl	⊢ ( ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = 0 )
122	121	mpteq2dva	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) )
123	122	breq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
124	123	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
125	116 124	bitr3d	⊢ ( 𝑔 = ( ℝ × { 0 } ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
126	125	rspcev	⊢ ( ( ( ℝ × { 0 } ) ∈ dom ∫1 ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ 0 ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
127	96 112 126	sylancr	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
128		id	⊢ ( 𝑏 = -∞ → 𝑏 = -∞ )
129		mnflt	⊢ ( 0 ∈ ℝ → -∞ < 0 )
130	48 129	mp1i	⊢ ( 𝑏 = -∞ → -∞ < 0 )
131	128 130	eqbrtrd	⊢ ( 𝑏 = -∞ → 𝑏 < 0 )
132		eqeq1	⊢ ( 𝑎 = 0 → ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
133	132	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 0 → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
134	133	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 0 → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
135		breq2	⊢ ( 𝑎 = 0 → ( 𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 0 ) )
136	134 135	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 0 → ( ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 0 ) ) )
137	105 136	spcev	⊢ ( ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 0 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
138	127 131 137	syl2an	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 = -∞ ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
139	95 138	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 = -∞ ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
140		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → 𝑏 ∈ ℝ* )
141	8	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
142	141	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
143		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ* )
144		ngtmnft	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ* → ( 𝑏 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑏 ) )
145	144	biimprd	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ* → ( ¬ -∞ < 𝑏 → 𝑏 = -∞ ) )
146	145	necon1ad	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ* → ( 𝑏 ≠ -∞ → -∞ < 𝑏 ) )
147	146	imp	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → -∞ < 𝑏 )
148	143 147	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → -∞ < 𝑏 )
149		simpr	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → 𝑏 ∈ ℝ* )
150	9	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* )
151	149 150	anim12i	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* ) )
152		xrltle	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) → 𝑏 ≤ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
153	152	imp	⊢ ( ( ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ* ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑏 ≤ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
154	151 153	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → 𝑏 ≤ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
155	154	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → 𝑏 ≤ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
156		xrre	⊢ ( ( ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
157	140 142 148 155 156	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → 𝑏 ∈ ℝ )
158	127	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 0 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
159		simplrl	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
160		simplrl	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
161		simpl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
162		cnvimass	⊢ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ⊆ dom 𝑓
163	162 35	fssdm	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
164	163	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
165		simpr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 )
166		fdm	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → dom 𝑓 = ℝ )
167	166	eqcomd	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ℝ = dom 𝑓 )
168		ffun	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → Fun 𝑓 )
169		difpreima	⊢ ( Fun 𝑓 → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
170	168 169	syl	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
171		cnvimarndm	⊢ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) = dom 𝑓
172	171	difeq1i	⊢ ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) = ( dom 𝑓 ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) )
173	170 172	eqtrdi	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) = ( dom 𝑓 ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
174	167 173	difeq12d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = ( dom 𝑓 ∖ ( dom 𝑓 ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
175		cnvimass	⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ⊆ dom 𝑓
176		dfss4	⊢ ( ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ⊆ dom 𝑓 ↔ ( dom 𝑓 ∖ ( dom 𝑓 ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) = ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) )
177	175 176	mpbi	⊢ ( dom 𝑓 ∖ ( dom 𝑓 ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) = ( ◡ 𝑓 “ { 0 } )
178	174 177	eqtrdi	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) )
179	178	eleq2d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
180		ffn	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → 𝑓 Fn ℝ )
181		fniniseg	⊢ ( 𝑓 Fn ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) ) )
182		simpr	⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
183	181 182	syl6bi	⊢ ( 𝑓 Fn ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
184	180 183	syl	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
185	179 184	sylbid	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
186	35 185	syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 𝑧 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
187	186	imp	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
188	187	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
189	161 164 165 188	itg10a	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) = 0 )
190	160 189	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) = 0 )
191	159 190	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → 𝑏 < 0 )
192	158 191 137	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = 0 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
193		simprl	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
194		simpr	⊢ ( ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → 𝑏 ∈ ℝ )
195	193 194	anim12i	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) )
196	63	a1i	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ℝ ∈ V )
197		fvex	⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ∈ V
198	197	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ∈ V )
199		ovex	⊢ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ V
200	199 105	ifex	⊢ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V
201	200	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V )
202	35	feqmptd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ) )
203	202	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) ) )
204		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
205	196 198 201 203 204	offval2	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
206		ovif2	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) )
207	171 166	syl5eq	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) = ℝ )
208	207	difeq1d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
209	170 208	eqtrd	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) = ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
210	209	eleq2d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑢 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
211	35 210	syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑢 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
212	211	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑢 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
213		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → 𝑢 ∈ ℝ )
214	213	biantrurd	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
215		eldif	⊢ ( 𝑢 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
216	214 215	bitr4di	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ 𝑢 ∈ ( ℝ ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
217	212 216	bitr4d	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
218	217	con2bid	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
219		fniniseg	⊢ ( 𝑓 Fn ℝ → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 ) ) )
220	35 180 219	3syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 ) ) )
221	220	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 ) ) )
222	218 221	bitr3d	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 ) ) )
223		oveq1	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) = ( 0 − 0 ) )
224		0m0e0	⊢ ( 0 − 0 ) = 0
225	223 224	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) = 0 )
226	225	adantl	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = 0 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) = 0 )
227	222 226	syl6bi	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) = 0 ) )
228	227	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) = 0 )
229	228	ifeq2da	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
230	206 229	syl5eq	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
231	230	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
232	205 231	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
233		simpll	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
234	199	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ V )
235		1ex	⊢ 1 ∈ V
236	235 105	ifex	⊢ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ∈ V
237	236	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ∈ V )
238		fconstmpt	⊢ ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
239	238	a1i	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
240		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) )
241	196 234 237 239 240	offval2	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) )
242		ovif2	⊢ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 1 ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 0 ) )
243		resubcl	⊢ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
244	8 243	sylan	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
245	244	adantr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
246		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
247		i1fima	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol )
248		mblvol	⊢ ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
249	247 248	syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
250		neldifsn	⊢ ¬ 0 ∈ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } )
251		i1fima2	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
252	250 251	mpan2	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
253	249 252	eqeltrrd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
254		remulcl	⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℝ )
255	246 253 254	sylancr	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℝ )
256	255	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℝ )
257		2cnd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℂ )
258	253	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
259	258	recnd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℂ )
260		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
261	260	a1i	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 2 ≠ 0 )
262		simpr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 )
263	257 259 261 262	mulne0d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ≠ 0 )
264	245 256 263	redivcld	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
265	264	recnd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
266	265	mulid1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 1 ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
267	265	mul01d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 0 ) = 0 )
268	266 267	ifeq12d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 1 ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) )
269	242 268	syl5eq	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) )
270	269	mpteq2dv	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
271	241 270	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
272		eqid	⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) )
273	272	i1f1	⊢ ( ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
274	247 252 273	syl2anc	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
275	274	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
276	275 264	i1fmulc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
277	271 276	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
278		i1fsub	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
279	233 277 278	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
280	232 279	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
281		iftrue	⊢ ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
282		iftrue	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
283	282	breq2d	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
284	283 282	ifbieq1d	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
285		iftrue	⊢ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
286	284 285	sylan9eqr	⊢ ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
287	281 286	eqtr4d	⊢ ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
288		iffalse	⊢ ( ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
289		ianor	⊢ ( ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ↔ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∨ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
290	283	ifbid	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
291		iffalse	⊢ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
292	290 291	sylan9eqr	⊢ ( ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
293	292	ex	⊢ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 ) )
294		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
295		eqid	⊢ 0 = 0
296		eqeq1	⊢ ( if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) → ( if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ↔ if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 ) )
297		eqeq1	⊢ ( 0 = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) → ( 0 = 0 ↔ if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 ) )
298	296 297	ifboth	⊢ ( ( if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ∧ 0 = 0 ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
299	294 295 298	sylancl	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
300	293 299	pm2.61d1	⊢ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
301	300 299	jaoi	⊢ ( ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∨ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
302	289 301	sylbi	⊢ ( ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
303	288 302	eqtr4d	⊢ ( ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
304	287 303	pm2.61i	⊢ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 )
305		eleq1w	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
306		fveq2	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
307	306	oveq1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
308	305 307	ifbieq1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
309		eqid	⊢ ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
310		ovex	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∈ V
311	310 105	ifex	⊢ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V
312	308 309 311	fvmpt	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) = if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
313	312	breq2d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( 0 ≤ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) ↔ 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
314	313 312	ifbieq1d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → if ( 0 ≤ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , 0 ) = if ( 0 ≤ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) , 0 ) )
315	304 314	eqtr4id	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , 0 ) )
316	315	mpteq2ia	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 0 ≤ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) , 0 ) )
317	316	i1fpos	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑢 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑢 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
318	280 317	syl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
319	195 318	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
320	195 264	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
321	8	ad2antrl	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
322	321 194 243	syl2an	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
323	322	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
324	255	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℝ )
325	324	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℝ )
326		simprl	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
327		simprr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
328	141	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
329	327 328	posdifd	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 0 < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) )
330	326 329	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 0 < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) )
331	330	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) )
332	253	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
333	332	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ )
334		mblss	⊢ ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol → ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ )
335		ovolge0	⊢ ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ⊆ ℝ → 0 ≤ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
336	247 334 335	3syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 0 ≤ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
337		ltlen	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ↔ ( 0 ≤ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ) )
338	48 253 337	sylancr	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ↔ ( 0 ≤ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ) )
339	338	biimprd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( 0 ≤ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
340	336 339	mpand	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 → 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
341	340	ad2antrl	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 → 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
342	341	imp	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
343	342	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
344		2pos	⊢ 0 < 2
345		mulgt0	⊢ ( ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ∧ ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) → 0 < ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
346	246 344 345	mpanl12	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → 0 < ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
347	333 343 346	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
348	323 325 331 347	divgt0d	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 0 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
349	320 348	elrpd	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ )
350		simprl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 )
351	350	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 )
352		ffn	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → 𝐹 Fn ℝ )
353	35 180	syl	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ )
354	353	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑓 Fn ℝ )
355		simpr	⊢ ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) → 𝑓 Fn ℝ )
356		simpl	⊢ ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) → 𝐹 Fn ℝ )
357	63	a1i	⊢ ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) → ℝ ∈ V )
358		inidm	⊢ ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ
359		eqidd	⊢ ( ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
360		eqidd	⊢ ( ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
361	355 356 357 357 358 359 360	ofrfval	⊢ ( ( 𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑓 Fn ℝ ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
362	352 354 361	syl2an	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
363	362	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
364		simpl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 )
365	364	anim2i	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) )
366	365 194	anim12i	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) )
367		breq1	⊢ ( 0 = if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
368		breq1	⊢ ( ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
369		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
370	369	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
371	370 100	sylib	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
372	371	simprd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
373	372	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∧ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ) → 0 ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
374		oveq1	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
375	374	breq1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
376		oveq1	⊢ ( 0 = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) → ( 0 + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
377	376	breq1d	⊢ ( 0 = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) → ( ( 0 + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ↔ ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
378	35	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ )
379	378	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
380	379	recnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
381	244	recnd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℂ )
382	381	adantr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ∈ ℂ )
383	255	recnd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℂ )
384	383	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ∈ ℂ )
385	382 384 263	divcld	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
386	385	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
387	386	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
388	380 387	npcand	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
389	388	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
390		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
391	389 390	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
392	391	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ¬ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
393	288	pm2.24d	⊢ ( ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ¬ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 → ( 0 + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
394	393	impcom	⊢ ( ( ¬ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ∧ ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( 0 + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
395	394	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ¬ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ) ∧ ¬ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( 0 + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
396	375 377 392 395	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∧ ¬ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ) → ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
397	367 368 373 396	ifbothda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) → if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
398	397	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
399	366 398	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
400	399	ralimdva	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
401	363 400	sylbid	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
402	351 401	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
403		ovex	⊢ ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∈ V
404	105 403	ifex	⊢ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ∈ V
405	404	a1i	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ∈ V )
406		eqidd	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) )
407	104 405 99 406 67	ofrfval2	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
408	407	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ≤ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
409	402 408	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
410		oveq2	⊢ ( 𝑦 = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) → ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) = ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
411	410	ifeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) → if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) = if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
412	411	mpteq2dv	⊢ ( 𝑦 = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) )
413	412	breq1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
414	413	rspcev	⊢ ( ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
415	349 409 414	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 )
416		fveq2	⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) = 𝑔 → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) )
417	416	eqcoms	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) )
418	417	biantrud	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
419		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
420	419	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑧 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
421		fveq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) )
422	310 105	ifex	⊢ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V
423		eqid	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
424	423	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
425	422 424	mpan2	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ‘ 𝑧 ) = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
426	421 425	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
427	426	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 ↔ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 ) )
428	426	oveq1d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) = ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) )
429	427 428	ifbieq2d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) = if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) )
430	420 429	mpteq2da	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) )
431	430	breq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
432	431	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
433	418 432	bitr3d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) )
434	433	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 , 0 , ( if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
435	319 415 434	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
436		simplrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
437	199	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ V )
438	235 105	ifex	⊢ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ∈ V
439	438	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ∈ V )
440		fconstmpt	⊢ ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
441	440	a1i	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
442		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) )
443	196 437 439 441 442	offval2	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) )
444		ovif2	⊢ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 1 ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 0 ) )
445	266 267	ifeq12d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 1 ) , ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · 0 ) ) = if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) )
446	444 445	syl5eq	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) )
447	446	mpteq2dv	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
448	443 447	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
449		eqid	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) )
450	449	i1f1	⊢ ( ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
451	247 252 450	syl2anc	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
452	451	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
453	452 264	i1fmulc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
454	448 453	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
455		i1fsub	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
456	233 454 455	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
457		itg1cl	⊢ ( ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ∈ ℝ )
458	456 457	syl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ∈ ℝ )
459	458	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ∈ ℝ )
460	318	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 )
461		itg1cl	⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
462	460 461	syl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
463		simplrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
464		simpr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → 𝑏 ∈ ℝ )
465	8	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ )
466	97	a1i	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → 2 ∈ ℝ+ )
467	464 465 466	ltdiv1d	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑏 / 2 ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) )
468		recn	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ )
469	468	2halvesd	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( ( 𝑏 / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) = 𝑏 )
470	469	oveq1d	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑏 / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) − ( 𝑏 / 2 ) ) = ( 𝑏 − ( 𝑏 / 2 ) ) )
471	468	halfcld	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 𝑏 / 2 ) ∈ ℂ )
472	471 471	pncand	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑏 / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) − ( 𝑏 / 2 ) ) = ( 𝑏 / 2 ) )
473	470 472	eqtr3d	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 𝑏 − ( 𝑏 / 2 ) ) = ( 𝑏 / 2 ) )
474	473	breq1d	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( ( 𝑏 − ( 𝑏 / 2 ) ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ↔ ( 𝑏 / 2 ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) )
475	474	adantl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 − ( 𝑏 / 2 ) ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ↔ ( 𝑏 / 2 ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) )
476		rehalfcl	⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 𝑏 / 2 ) ∈ ℝ )
477	476	adantl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( 𝑏 / 2 ) ∈ ℝ )
478	8	rehalfcld	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ∈ ℝ )
479	478	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ∈ ℝ )
480	464 477 479	ltsubaddd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 − ( 𝑏 / 2 ) ) < ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ↔ 𝑏 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) ) )
481	467 475 480	3bitr2d	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑏 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) ) )
482	481	adantr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑏 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) ) )
483	482	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑏 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) ) )
484	463 483	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
485	452 264	itg1mulc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) )
486	448	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( ( ℝ × { ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) } ) ∘f · ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
487	449	itg11	⊢ ( ( ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
488	247 252 487	syl2anc	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) = ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
489	488	oveq2d	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
490	489	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
491	252	recnd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℂ )
492	491	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ∈ ℂ )
493	265 492	mulcomd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) = ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
494	249	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) = ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) )
495	494	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) = ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) )
496	259 382	mulcomd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
497	495 496	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
498	497	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
499	492 382 384 263	divassd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) = ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
500	382 257 259 261 262	divcan5rd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) )
501	498 499 500	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( vol ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) · ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) )
502	490 493 501	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) · ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) )
503	485 486 502	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) )
504	503	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) ) )
505		itg1sub	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
506	233 454 505	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
507	8	recnd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ )
508	507	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ )
509	468	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
510	508 509 257 261	divsubdird	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) − ( 𝑏 / 2 ) ) )
511	510	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) − ( 𝑏 / 2 ) ) ) )
512	507	adantr	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ )
513	512	halfcld	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ∈ ℂ )
514	471	adantl	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( 𝑏 / 2 ) ∈ ℂ )
515	512 513 514	subsubd	⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) − ( 𝑏 / 2 ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
516	515	adantr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) − ( 𝑏 / 2 ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
517	507	2halvesd	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) )
518	517	oveq1d	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) )
519	507	halfcld	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ∈ ℂ )
520	519 519	pncand	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) )
521	518 520	eqtr3d	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) )
522	521	oveq1d	⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) + ( 𝑏 / 2 ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
523	522	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) ) + ( 𝑏 / 2 ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
524	511 516 523	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) = ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / 2 ) ) )
525	504 506 524	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
526	525	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) / 2 ) + ( 𝑏 / 2 ) ) )
527	484 526	breqtrrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
528	456	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
529		id	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) )
530	529	adantlrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) )
531	233 36	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ℝ )
532	264	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
533	531 532	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
534	533	leidd	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
535	534	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
536	285	breq2d	⊢ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
537	536	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
538	535 537	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
539	533	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
540	48	a1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
541	48	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 0 ∈ ℝ )
542	533 541	ltnled	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
543	542	biimpar	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) < 0 )
544	539 540 543	ltled	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ 0 )
545		iffalse	⊢ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
546	545	breq2d	⊢ ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ 0 ) )
547	546	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ 0 ) )
548	544 547	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
549	538 548	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
550	530 549	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
551	550	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
552		iftrue	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) = ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) )
553	552	oveq2d	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) )
554		iba	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ↔ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) )
555	554	bicomd	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ↔ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ) )
556	555	ifbid	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
557	553 556	breq12d	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
558	557	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ≤ if ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
559	551 558	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
560	35	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ )
561	170	eleq2d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
562		eldif	⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
563	561 562	bitrdi	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
564	563	notbid	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ ¬ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
565	564	adantr	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ↔ ¬ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ) )
566		pm4.53	⊢ ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∨ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) )
567	207	eleq2d	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
568	567	biimpar	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) )
569	568	pm2.24d	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
570	181	simplbda	⊢ ( ( 𝑓 Fn ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
571	570	ex	⊢ ( 𝑓 Fn ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
572	180 571	syl	⊢ ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
573	572	adantr	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
574	569 573	jaod	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∨ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
575	566 574	syl5bi	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ran 𝑓 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 0 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
576	565 575	sylbid	⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 ) )
577	576	imp	⊢ ( ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
578	560 577	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) = 0 )
579	578	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) = ( 0 − 0 ) )
580	579 224	eqtrdi	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) = 0 )
581	580 30	eqbrtrdi	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) ≤ 0 )
582		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
583	582	oveq2d	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) )
584	289 288	sylbir	⊢ ( ( ¬ 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∨ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
585	584	olcs	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
586	583 585	breq12d	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) ≤ 0 ) )
587	586	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − 0 ) ≤ 0 ) )
588	581 587	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
589	559 588	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
590	589	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) )
591	63	a1i	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ℝ ∈ V )
592		ovex	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ V
593	592	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ V )
594	422	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V )
595		fvex	⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ V
596	595	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ V )
597	199 105	ifex	⊢ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V
598	597	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ∈ V )
599	70	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑓 = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) )
600		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
601	591 596 598 599 600	offval2	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
602		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) = ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
603	591 593 594 601 602	ofrfval2	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ≤ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
604	590 603	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) )
605		itg1le	⊢ ( ( ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∘r ≤ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ≤ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
606	528 460 604 605	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑓 ∘f − ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) , ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ≤ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
607	436 459 462 527 606	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
608	607	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
609	608	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) )
610		fvex	⊢ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ∈ V
611		eqeq1	⊢ ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
612	611	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
613	612	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
614		breq2	⊢ ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( 𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
615	613 614	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) ) )
616	610 615	spcev	⊢ ( ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) , ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) − ( ( ( ∫1 ‘ 𝑓 ) − 𝑏 ) / ( 2 · ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ) ) ) , 0 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
617	435 609 616	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ◡ 𝑓 “ ( ran 𝑓 ∖ { 0 } ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
618	192 617	pm2.61dane	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
619	618	expr	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝑏 ∈ ℝ → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
620	619	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝑏 ∈ ℝ → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
621	620	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → ( 𝑏 ∈ ℝ → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
622	157 621	mpd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 ≠ -∞ ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
623	139 622	pm2.61dane	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
624	623	ex	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 < ( ∫1 ‘ 𝑓 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
625	94 624	sylbid	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 < 𝑠 → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
626	625	imp	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
627	626	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
628	627	rexlimdvaa	⊢ ( ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
629	628	expimpd	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑏 < 𝑠 ∧ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
630	629	ancomsd	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
631	630	exlimdv	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( ∃ 𝑠 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) → ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) ) )
632		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ↔ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) )
633	632	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
634	633	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ) )
635	634	rexab	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 ↔ ∃ 𝑠 ( ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑠 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑠 ) )
636		eqeq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ↔ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) )
637	636	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
638	637	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ) )
639	638	rexab	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 < 𝑎 ↔ ∃ 𝑎 ( ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑎 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) ∧ 𝑏 < 𝑎 ) )
640	631 635 639	3imtr4g	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( ∃ 𝑠 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } 𝑏 < 𝑠 → ∃ 𝑎 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 < 𝑎 ) )
641	92 640	sylbid	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ) → ( 𝑏 < sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) → ∃ 𝑎 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 < 𝑎 ) )
642	641	impr	⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 < sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } 𝑏 < 𝑎 )
643	6 15 89 642	eqsupd	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑔 ∈ dom ∫1 ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ( 𝑧 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) = 0 , 0 , ( ( 𝑔 ‘ 𝑧 ) + 𝑦 ) ) ) ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑔 ) ) } , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
644	4 643	syl5eq	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → sup ( 𝐿 , ℝ* , < ) = sup ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ) } , ℝ* , < ) )
645	3 644	eqtr4d	⊢ ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) = sup ( 𝐿 , ℝ* , < ) )