Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
knoppndvlem15.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) ) |
2 |
|
knoppndvlem15.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 ↑ 𝑛 ) · ( 𝑇 ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 𝑛 ) · 𝑦 ) ) ) ) ) |
3 |
|
knoppndvlem15.w |
⊢ 𝑊 = ( 𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑖 ∈ ℕ0 ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑖 ) ) |
4 |
|
knoppndvlem15.a |
⊢ 𝐴 = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · 𝑀 ) |
5 |
|
knoppndvlem15.b |
⊢ 𝐵 = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · ( 𝑀 + 1 ) ) |
6 |
|
knoppndvlem15.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( - 1 (,) 1 ) ) |
7 |
|
knoppndvlem15.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0 ) |
8 |
|
knoppndvlem15.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
9 |
|
knoppndvlem15.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
10 |
|
knoppndvlem15.1 |
⊢ ( 𝜑 → 1 < ( 𝑁 · ( abs ‘ 𝐶 ) ) ) |
11 |
6
|
knoppndvlem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ 𝐶 ) < 1 ) ) |
12 |
11
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
14 |
13
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
15 |
14 7
|
reexpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
16 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
17 |
16
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
18 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
19 |
18
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 ) |
20 |
15 17 19
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
22 |
9
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
23 |
17 22
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
24 |
23 14
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
24 21
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
26 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
27 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 1 ) |
29 |
6 9 10
|
knoppndvlem12 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) ≠ 1 ∧ 1 < ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) |
30 |
29
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → 1 < ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) |
31 |
26 21 25 28 30
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) |
32 |
25 31
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) |
33 |
|
gt0ne0 |
⊢ ( ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ≠ 0 ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ≠ 0 ) |
35 |
21 25 34
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
21 35
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
20 36
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · 𝑀 ) ) |
39 |
7
|
nn0zd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ ) |
40 |
9 39 8
|
knoppndvlem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
41 |
38 40
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
42 |
1 2 9 12 41 7
|
knoppcnlem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ ) |
44 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
45 |
8
|
peano2zd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ) |
46 |
9 39 45
|
knoppndvlem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ - 𝐽 ) / 2 ) · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
47 |
44 46
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
48 |
1 2 9 12 47 7
|
knoppcnlem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
49 |
48
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ ) |
50 |
43 49
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ∈ ℂ ) |
51 |
50
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ∈ ℝ ) |
52 |
1 2 47 12 9
|
knoppndvlem5 |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
53 |
52
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
54 |
1 2 41 12 9
|
knoppndvlem5 |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
55 |
54
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
56 |
53 55
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
56
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
58 |
51 57
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
50 56
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
60 |
59
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
61 |
20 35
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ∈ ℝ ) ) |
62 |
|
remulcl |
⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
63 |
61 62
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
20 63
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) ) |
65 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
66 |
64 65
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
67 |
20
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
68 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
69 |
35
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
70 |
67 68 69
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · 1 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
71 |
67
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · 1 ) = ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ) |
72 |
71
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · 1 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
73 |
66
|
leidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
74 |
72 73
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · 1 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
75 |
70 74
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
76 |
20 35
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
77 |
20
|
leidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ≤ ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ) |
78 |
43 49
|
abssubd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
79 |
1 2 4 5 6 7 8 9
|
knoppndvlem10 |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ) |
80 |
78 79
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ) |
81 |
80
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
82 |
77 81
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
83 |
1 2 4 5 6 7 8 9 10
|
knoppndvlem14 |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) |
84 |
20 57 51 76 82 83
|
le2subd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) − ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
85 |
37 66 58 75 84
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
86 |
50 56
|
abs2difd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
87 |
37 58 60 85 86
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
88 |
50 56
|
abssubd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) ) |
89 |
87 88
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) ) |
90 |
1 2 3 5 6 7 45 9
|
knoppndvlem6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) ) |
91 |
|
elnn0uz |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℕ0 ↔ 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
92 |
7 91
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
93 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
94 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
95 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
96 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
97 |
96
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
98 |
1 2 93 94 95 97
|
knoppcnlem3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
99 |
98
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
100 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐽 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) |
101 |
92 99 100
|
fsumm1 |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) |
102 |
90 101
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) |
103 |
1 2 3 4 6 7 8 9
|
knoppndvlem6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) |
104 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
105 |
1 2 93 94 104 97
|
knoppcnlem3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
106 |
105
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
107 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐽 → ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) |
108 |
92 106 107
|
fsumm1 |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) |
109 |
103 108
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) |
110 |
102 109
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
111 |
53 55 43 49
|
subadd4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) = ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
112 |
111
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) − ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) + ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) ) ) = ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
113 |
110 112
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
114 |
113
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fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) ) |
115 |
114
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝑖 ) − Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝑖 ) ) − ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ‘ 𝐽 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ‘ 𝐽 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
116 |
89 115
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breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( abs ‘ 𝐶 ) ↑ 𝐽 ) / 2 ) · ( 1 − ( 1 / ( ( ( 2 · 𝑁 ) · ( abs ‘ 𝐶 ) ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( 𝑊 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑊 ‘ 𝐴 ) ) ) ) |