Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lkrlsp.d |
โข ๐ท = ( Scalar โ ๐ ) |
2 |
|
lkrlsp.o |
โข 0 = ( 0g โ ๐ท ) |
3 |
|
lkrlsp.v |
โข ๐ = ( Base โ ๐ ) |
4 |
|
lkrlsp.n |
โข ๐ = ( LSpan โ ๐ ) |
5 |
|
lkrlsp.p |
โข โ = ( LSSum โ ๐ ) |
6 |
|
lkrlsp.f |
โข ๐น = ( LFnl โ ๐ ) |
7 |
|
lkrlsp.k |
โข ๐พ = ( LKer โ ๐ ) |
8 |
|
lveclmod |
โข ( ๐ โ LVec โ ๐ โ LMod ) |
9 |
8
|
3ad2ant1 |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ LMod ) |
10 |
|
simp2r |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐บ โ ๐น ) |
11 |
|
eqid |
โข ( LSubSp โ ๐ ) = ( LSubSp โ ๐ ) |
12 |
6 7 11
|
lkrlss |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐บ โ ๐น ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
13 |
9 10 12
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
14 |
|
simp2l |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ ๐ ) |
15 |
3 11 4
|
lspsncl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
16 |
9 14 15
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
17 |
11 5
|
lsmcl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( LSubSp โ ๐ ) โง ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
18 |
9 13 16 17
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
19 |
3 11
|
lssss |
โข ( ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) โ ( LSubSp โ ๐ ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) โ ๐ ) |
20 |
18 19
|
syl |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) โ ๐ ) |
21 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ โ LVec ) |
22 |
21 8
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ โ LMod ) |
23 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ข โ ๐ ) |
24 |
1
|
lmodring |
โข ( ๐ โ LMod โ ๐ท โ Ring ) |
25 |
22 24
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ท โ Ring ) |
26 |
|
simpl2r |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐บ โ ๐น ) |
27 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ท ) = ( Base โ ๐ท ) |
28 |
1 27 3 6
|
lflcl |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ๐บ โ ๐น โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
29 |
21 26 23 28
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
30 |
1
|
lvecdrng |
โข ( ๐ โ LVec โ ๐ท โ DivRing ) |
31 |
21 30
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ท โ DivRing ) |
32 |
|
simpl2l |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
33 |
1 27 3 6
|
lflcl |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ๐บ โ ๐น โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
34 |
21 26 32 33
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
35 |
|
simpl3 |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) |
36 |
|
eqid |
โข ( invr โ ๐ท ) = ( invr โ ๐ท ) |
37 |
27 2 36
|
drnginvrcl |
โข ( ( ๐ท โ DivRing โง ( ๐บ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
38 |
31 34 35 37
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
39 |
|
eqid |
โข ( .r โ ๐ท ) = ( .r โ ๐ท ) |
40 |
27 39
|
ringcl |
โข ( ( ๐ท โ Ring โง ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ท ) ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
41 |
25 29 38 40
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ท ) ) |
42 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐ ) = ( ยท๐ โ ๐ ) |
43 |
3 1 42 27
|
lmodvscl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ ) |
44 |
22 41 32 43
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ ) |
45 |
|
eqid |
โข ( +g โ ๐ ) = ( +g โ ๐ ) |
46 |
|
eqid |
โข ( -g โ ๐ ) = ( -g โ ๐ ) |
47 |
3 45 46
|
lmodvnpcan |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐ข โ ๐ โง ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ( +g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) = ๐ข ) |
48 |
22 23 44 47
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ( +g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) = ๐ข ) |
49 |
11
|
lsssssubg |
โข ( ๐ โ LMod โ ( LSubSp โ ๐ ) โ ( SubGrp โ ๐ ) ) |
50 |
22 49
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( LSubSp โ ๐ ) โ ( SubGrp โ ๐ ) ) |
51 |
13
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
52 |
50 51
|
sseldd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( SubGrp โ ๐ ) ) |
53 |
16
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( LSubSp โ ๐ ) ) |
54 |
50 53
|
sseldd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( SubGrp โ ๐ ) ) |
55 |
3 46
|
lmodvsubcl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐ข โ ๐ โง ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ ) โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ๐ ) |
56 |
22 23 44 55
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ๐ ) |
57 |
|
eqid |
โข ( -g โ ๐ท ) = ( -g โ ๐ท ) |
58 |
1 57 3 46 6
|
lflsub |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐บ โ ๐น โง ( ๐ข โ ๐ โง ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) ) |
59 |
22 26 23 44 58
|
syl112anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) ) |
60 |
1 27 39 3 42 6
|
lflmul |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐บ โ ๐น โง ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ๐ โ ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) = ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
61 |
22 26 41 32 60
|
syl112anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) = ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
62 |
27 39
|
ringass |
โข ( ( ๐ท โ Ring โง ( ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ท ) ) ) โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
63 |
25 29 38 34 62
|
syl13anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
64 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐ท ) = ( 1r โ ๐ท ) |
65 |
27 2 39 64 36
|
drnginvrl |
โข ( ( ๐ท โ DivRing โง ( ๐บ โ ๐ ) โ ( Base โ ๐ท ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( 1r โ ๐ท ) ) |
66 |
31 34 35 65
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( 1r โ ๐ท ) ) |
67 |
66
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( 1r โ ๐ท ) ) ) |
68 |
27 39 64
|
ringridm |
โข ( ( ๐ท โ Ring โง ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( 1r โ ๐ท ) ) = ( ๐บ โ ๐ข ) ) |
69 |
25 29 68
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( 1r โ ๐ท ) ) = ( ๐บ โ ๐ข ) ) |
70 |
67 69
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ( .r โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐บ โ ๐ข ) ) |
71 |
61 63 70
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) = ( ๐บ โ ๐ข ) ) |
72 |
71
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ข ) ) ) |
73 |
1
|
lmodfgrp |
โข ( ๐ โ LMod โ ๐ท โ Grp ) |
74 |
22 73
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ท โ Grp ) |
75 |
27 2 57
|
grpsubid |
โข ( ( ๐ท โ Grp โง ( ๐บ โ ๐ข ) โ ( Base โ ๐ท ) ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ข ) ) = 0 ) |
76 |
74 29 75
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( -g โ ๐ท ) ( ๐บ โ ๐ข ) ) = 0 ) |
77 |
59 72 76
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = 0 ) |
78 |
3 1 2 6 7
|
ellkr |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ๐บ โ ๐น ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ๐ โง ( ๐บ โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = 0 ) ) ) |
79 |
21 26 78
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ๐ โง ( ๐บ โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ) = 0 ) ) ) |
80 |
56 77 79
|
mpbir2and |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) ) |
81 |
3 42 1 27 4 22 41 32
|
lspsneli |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) |
82 |
45 5
|
lsmelvali |
โข ( ( ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( SubGrp โ ๐ ) โง ( ๐ โ { ๐ } ) โ ( SubGrp โ ๐ ) ) โง ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ๐พ โ ๐บ ) โง ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ( +g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) ) |
83 |
52 54 80 81 82
|
syl22anc |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ( ( ๐ข ( -g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) ( +g โ ๐ ) ( ( ( ๐บ โ ๐ข ) ( .r โ ๐ท ) ( ( invr โ ๐ท ) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ( ยท๐ โ ๐ ) ๐ ) ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) ) |
84 |
48 83
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ข โ ๐ ) โ ๐ข โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) ) |
85 |
20 84
|
eqelssd |
โข ( ( ๐ โ LVec โง ( ๐ โ ๐ โง ๐บ โ ๐น ) โง ( ๐บ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐พ โ ๐บ ) โ ( ๐ โ { ๐ } ) ) = ๐ ) |