Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1red |
⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℝ ) |
2 |
|
1cnd |
⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℂ ) |
3 |
|
relogcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 1 ∈ ℂ ) |
7 |
|
rpcnne0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) |
8 |
7
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) |
9 |
|
divdir |
⊢ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) + ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
10 |
5 6 8 9
|
syl3anc |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) + ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
11 |
10
|
mpteq2dva |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) + ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) |
12 |
|
simpr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
13 |
4 12
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
14 |
|
rpreccl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
15 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
16 |
15
|
rpred |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
17 |
8
|
simpld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
cxp1d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ↑𝑐 1 ) = 𝑥 ) |
19 |
18
|
oveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( 𝑥 ↑𝑐 1 ) ) = ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) |
20 |
19
|
mpteq2dva |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( 𝑥 ↑𝑐 1 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) ) |
21 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
22 |
|
cxploglim |
⊢ ( 1 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( 𝑥 ↑𝑐 1 ) ) ) ⇝𝑟 0 ) |
23 |
21 22
|
mp1i |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( 𝑥 ↑𝑐 1 ) ) ) ⇝𝑟 0 ) |
24 |
20 23
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 0 ) |
25 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
26 |
|
divrcnv |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( 1 / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 0 ) |
27 |
25 26
|
mp1i |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( 1 / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 0 ) |
28 |
13 16 24 27
|
rlimadd |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 𝑥 ) + ( 1 / 𝑥 ) ) ) ⇝𝑟 ( 0 + 0 ) ) |
29 |
11 28
|
eqbrtrd |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 ( 0 + 0 ) ) |
30 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
31 |
29 30
|
breqtrdi |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ⇝𝑟 0 ) |
32 |
|
peano2re |
⊢ ( ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ → ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
33 |
4 32
|
syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
34 |
33 12
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
35 |
34
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
36 |
|
rprege0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) ) |
37 |
36
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) ) |
38 |
|
flge0nn0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 ) |
39 |
|
faccl |
⊢ ( ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℕ ) |
40 |
37 38 39
|
3syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℕ ) |
41 |
40
|
nnrpd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ+ ) |
42 |
|
relogcl |
⊢ ( ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ+ → ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
41 42
|
syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
44 |
43 12
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
45 |
44
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
46 |
5 45
|
subcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
47 |
|
logfacbnd3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ) |
49 |
43
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
50 |
49
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
51 |
7
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) |
52 |
51
|
simpld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
53 |
5
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
54 |
|
subcl |
⊢ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
55 |
53 25 54
|
sylancl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
56 |
52 55
|
mulcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
50 56
|
subcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
58 |
57
|
abscld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
4
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
60 |
59 32
|
syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
61 |
|
rpregt0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) ) |
62 |
61
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) ) |
63 |
|
lediv1 |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ) |
64 |
58 60 62 63
|
syl3anc |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ) |
65 |
48 64
|
mpbid |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) |
66 |
51
|
simprd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
67 |
55 52 66
|
divcan3d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) / 𝑥 ) = ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) |
68 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) / 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
69 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ∈ ℂ ∧ ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) = ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) / 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
70 |
56 50 51 69
|
syl3anc |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) = ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) / 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
71 |
45
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
72 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
73 |
53 71 72
|
sub32d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − 1 ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
74 |
68 70 73
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
75 |
74
|
fveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − 1 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
76 |
56 50
|
subcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
77 |
76 52 66
|
absdivd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) / ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
78 |
56 50
|
abssubd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ) |
79 |
36
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) ) |
80 |
|
absid |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
81 |
79 80
|
syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
82 |
78 81
|
oveq12d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) − ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) / ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
83 |
75 77 82
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − 1 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) − ( 𝑥 · ( ( log ‘ 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
84 |
35
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
85 |
84
|
subid1d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) − 0 ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) |
86 |
85
|
fveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) − 0 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ) |
87 |
|
log1 |
⊢ ( log ‘ 1 ) = 0 |
88 |
|
simprr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 1 ≤ 𝑥 ) |
89 |
12
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
90 |
|
logleb |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
91 |
21 89 90
|
sylancr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
92 |
88 91
|
mpbid |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
93 |
87 92
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
94 |
59 93
|
ge0p1rpd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
95 |
94 89
|
rpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
96 |
|
rprege0 |
⊢ ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ+ → ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) ) |
97 |
|
absid |
⊢ ( ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) |
98 |
95 96 97
|
3syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) |
99 |
86 98
|
eqtrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) − 0 ) ) = ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) ) |
100 |
65 83 99
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) − 1 ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) + 1 ) / 𝑥 ) − 0 ) ) ) |
101 |
1 2 31 35 46 100
|
rlimsqzlem |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ⇝𝑟 1 ) |
102 |
101
|
mptru |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( ( log ‘ ( ! ‘ ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ⇝𝑟 1 |