Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) |
2 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
3 |
2
|
zred |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
4 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
6 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
7 |
3 5 6
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
8 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
11 |
7 10
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ) |
12 |
1 11
|
sylanb |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ) |
13 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ) |
14 |
|
elfzo1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) |
15 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
17 |
14 16
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
18 |
|
elfzonn0 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℕ0 ) |
19 |
|
nn0addcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℕ0 ) |
20 |
17 18 19
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℕ0 ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℕ0 ) |
22 |
21
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) ) |
23 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ) |
24 |
|
modid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) ∧ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) = ( 𝐾 + 𝐽 ) ) |
25 |
13 22 23 24
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) = ( 𝐾 + 𝐽 ) ) |
26 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
27 |
1 26
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
29 |
28
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
30 |
|
elfzo0 |
⊢ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ) ) |
31 |
21 29 23 30
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
32 |
2
|
zcnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
33 |
32
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
34 |
|
0cnd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
35 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
36 |
35
|
zcnd |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℂ ) |
37 |
36
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ℂ ) |
38 |
|
nnne0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0 ) |
39 |
38
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝐾 ≠ 0 ) |
40 |
14 39
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ≠ 0 ) |
41 |
40
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐾 ≠ 0 ) |
42 |
33 34 37 41
|
addneintr2d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ≠ ( 0 + 𝐽 ) ) |
43 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ≠ ( 0 + 𝐽 ) ) |
44 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℂ ) |
45 |
|
addid2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℂ → ( 0 + 𝐽 ) = 𝐽 ) |
46 |
45
|
eqcomd |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℂ → 𝐽 = ( 0 + 𝐽 ) ) |
47 |
44 46
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝐽 = ( 0 + 𝐽 ) ) |
48 |
43 47
|
neeqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ≠ 𝐽 ) |
49 |
|
eldifsn |
⊢ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 + 𝐽 ) ≠ 𝐽 ) ) |
50 |
31 48 49
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
51 |
25 50
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
52 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
53 |
52
|
zcnd |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
55 |
54
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
56 |
55
|
mulm1d |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( - 1 · 𝑁 ) = - 𝑁 ) |
57 |
56
|
oveq2d |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + - 𝑁 ) ) |
58 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℤ ) |
59 |
2 35 58
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℤ ) |
60 |
59
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℂ ) |
61 |
60 54
|
jca |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) |
62 |
61
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) |
63 |
|
negsub |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + - 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
64 |
62 63
|
syl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + - 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
65 |
57 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
66 |
65
|
oveq1d |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) mod 𝑁 ) ) |
67 |
2 35 58
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℤ ) |
68 |
67
|
zred |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
69 |
68
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
70 |
52
|
zred |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
71 |
70
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
72 |
69 71
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
73 |
72
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
74 |
26
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
75 |
1 74
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
76 |
75
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
77 |
76
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
78 |
|
nnre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ ) |
79 |
78
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
80 |
79
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
81 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
82 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
83 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
84 |
83
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
85 |
84
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
86 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
87 |
6
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
88 |
86 87
|
lenltd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) ↔ ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ) ) |
89 |
88
|
biimprd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → 𝑁 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) ) ) |
90 |
87 86
|
subge0d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ↔ 𝑁 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) ) ) |
91 |
89 90
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
92 |
80 82 85 91
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
93 |
81 79
|
anim12ci |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ) |
94 |
83 83
|
jca |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
95 |
94
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
96 |
95
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
97 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → 𝐽 < 𝑁 ) |
98 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝐾 < 𝑁 ) |
99 |
97 98
|
anim12ci |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) |
100 |
93 96 99
|
jca31 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) |
101 |
|
lt2add |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
102 |
101
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) |
103 |
100 102
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) |
104 |
79 81 6
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
105 |
|
ltsubadd |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ↔ ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
106 |
104 85 85 105
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ↔ ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
107 |
103 106
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) |
108 |
92 107
|
jctird |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
109 |
108
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
110 |
14 109
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
111 |
110
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
112 |
1 111
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) ) |
113 |
112
|
imp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
114 |
113
|
impcom |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
115 |
73 77 114
|
jca31 |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) ) |
116 |
|
modid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
117 |
115 116
|
syl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
118 |
66 117
|
eqtrd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
119 |
118
|
eqcomd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) = ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) mod 𝑁 ) ) |
120 |
1 9
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
121 |
120
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
122 |
|
neg1z |
⊢ - 1 ∈ ℤ |
123 |
122
|
a1i |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → - 1 ∈ ℤ ) |
124 |
|
modcyc |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ - 1 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ) |
125 |
69 121 123 124
|
syl2an23an |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) + ( - 1 · 𝑁 ) ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ) |
126 |
119 125
|
eqtrd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ) |
127 |
126
|
eqcomd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
128 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
129 |
59 128
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
130 |
129
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
131 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
132 |
35
|
zred |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
133 |
132
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
134 |
90
|
biimprd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 ≤ ( 𝐾 + 𝐽 ) → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
135 |
88 134
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
136 |
131 133 71 135
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
137 |
136
|
impcom |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) |
138 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ) ) |
139 |
130 137 138
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
140 |
28
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
141 |
100
|
expcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) ) |
142 |
14 141
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) ) |
143 |
142
|
com12 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) ) |
144 |
143
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) ) |
145 |
1 144
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) ) |
146 |
145
|
imp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁 ) ) ) |
147 |
146 102
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) |
148 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
149 |
3 148 6
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ) |
150 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
151 |
150
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
152 |
149 151 151
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
153 |
152
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ) |
154 |
153
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ) |
155 |
1 154
|
sylbi |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) ) |
156 |
155
|
imp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) ) |
157 |
156 105
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ↔ ( 𝐾 + 𝐽 ) < ( 𝑁 + 𝑁 ) ) ) |
158 |
147 157
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) |
159 |
158
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) |
160 |
|
elfzo0 |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) < 𝑁 ) ) |
161 |
139 140 159 160
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
162 |
|
nncn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
163 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
164 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
165 |
162 163 164
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
166 |
165
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
167 |
14 166
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
168 |
167
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
169 |
168
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
170 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
171 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℂ ) |
172 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
173 |
172
|
zcnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
174 |
79 98
|
ltned |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁 ) → 𝐾 ≠ 𝑁 ) |
175 |
14 174
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ≠ 𝑁 ) |
176 |
32 173 175
|
subne0d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ≠ 0 ) |
177 |
176
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ≠ 0 ) |
178 |
177
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑁 ) ≠ 0 ) |
179 |
169 170 171 178
|
addneintr2d |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 − 𝑁 ) + 𝐽 ) ≠ ( 0 + 𝐽 ) ) |
180 |
33 37 54
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) |
181 |
180
|
adantl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) |
182 |
|
addsub |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) = ( ( 𝐾 − 𝑁 ) + 𝐽 ) ) |
183 |
181 182
|
syl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) = ( ( 𝐾 − 𝑁 ) + 𝐽 ) ) |
184 |
171 45
|
syl |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( 0 + 𝐽 ) = 𝐽 ) |
185 |
184
|
eqcomd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → 𝐽 = ( 0 + 𝐽 ) ) |
186 |
179 183 185
|
3netr4d |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ≠ 𝐽 ) |
187 |
|
eldifsn |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ ( ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ≠ 𝐽 ) ) |
188 |
161 186 187
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) − 𝑁 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
189 |
127 188
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐾 + 𝐽 ) < 𝑁 ∧ ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
190 |
51 189
|
pm2.61ian |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 + 𝐽 ) mod 𝑁 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |