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Theorem pgpfac1lem4

Description: Lemma for pgpfac1 . (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses pgpfac1.k 𝐾 = ( mrCls ‘ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
pgpfac1.s 𝑆 = ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } )
pgpfac1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
pgpfac1.o 𝑂 = ( od ‘ 𝐺 )
pgpfac1.e 𝐸 = ( gEx ‘ 𝐺 )
pgpfac1.z 0 = ( 0g𝐺 )
pgpfac1.l = ( LSSum ‘ 𝐺 )
pgpfac1.p ( 𝜑𝑃 pGrp 𝐺 )
pgpfac1.g ( 𝜑𝐺 ∈ Abel )
pgpfac1.n ( 𝜑𝐵 ∈ Fin )
pgpfac1.oe ( 𝜑 → ( 𝑂𝐴 ) = 𝐸 )
pgpfac1.u ( 𝜑𝑈 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
pgpfac1.au ( 𝜑𝐴𝑈 )
pgpfac1.w ( 𝜑𝑊 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
pgpfac1.i ( 𝜑 → ( 𝑆𝑊 ) = { 0 } )
pgpfac1.ss ( 𝜑 → ( 𝑆 𝑊 ) ⊆ 𝑈 )
pgpfac1.2 ( 𝜑 → ∀ 𝑤 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑤𝑈𝐴𝑤 ) → ¬ ( 𝑆 𝑊 ) ⊊ 𝑤 ) )
pgpfac1.c ( 𝜑𝐶 ∈ ( 𝑈 ∖ ( 𝑆 𝑊 ) ) )
pgpfac1.mg · = ( .g𝐺 )
Assertion pgpfac1lem4 ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑆𝑡 ) = { 0 } ∧ ( 𝑆 𝑡 ) = 𝑈 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pgpfac1.k 𝐾 = ( mrCls ‘ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
2 pgpfac1.s 𝑆 = ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } )
3 pgpfac1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
4 pgpfac1.o 𝑂 = ( od ‘ 𝐺 )
5 pgpfac1.e 𝐸 = ( gEx ‘ 𝐺 )
6 pgpfac1.z 0 = ( 0g𝐺 )
7 pgpfac1.l = ( LSSum ‘ 𝐺 )
8 pgpfac1.p ( 𝜑𝑃 pGrp 𝐺 )
9 pgpfac1.g ( 𝜑𝐺 ∈ Abel )
10 pgpfac1.n ( 𝜑𝐵 ∈ Fin )
11 pgpfac1.oe ( 𝜑 → ( 𝑂𝐴 ) = 𝐸 )
12 pgpfac1.u ( 𝜑𝑈 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
13 pgpfac1.au ( 𝜑𝐴𝑈 )
14 pgpfac1.w ( 𝜑𝑊 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
15 pgpfac1.i ( 𝜑 → ( 𝑆𝑊 ) = { 0 } )
16 pgpfac1.ss ( 𝜑 → ( 𝑆 𝑊 ) ⊆ 𝑈 )
17 pgpfac1.2 ( 𝜑 → ∀ 𝑤 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑤𝑈𝐴𝑤 ) → ¬ ( 𝑆 𝑊 ) ⊊ 𝑤 ) )
18 pgpfac1.c ( 𝜑𝐶 ∈ ( 𝑈 ∖ ( 𝑆 𝑊 ) ) )
19 pgpfac1.mg · = ( .g𝐺 )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 pgpfac1lem2 ( 𝜑 → ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ ( 𝑆 𝑊 ) )
21 ablgrp ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp )
22 9 21 syl ( 𝜑𝐺 ∈ Grp )
23 3 subgacs ( 𝐺 ∈ Grp → ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∈ ( ACS ‘ 𝐵 ) )
24 acsmre ( ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∈ ( ACS ‘ 𝐵 ) → ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∈ ( Moore ‘ 𝐵 ) )
25 22 23 24 3syl ( 𝜑 → ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∈ ( Moore ‘ 𝐵 ) )
26 3 subgss ( 𝑈 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → 𝑈𝐵 )
27 12 26 syl ( 𝜑𝑈𝐵 )
28 27 13 sseldd ( 𝜑𝐴𝐵 )
29 1 mrcsncl ( ( ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∈ ( Moore ‘ 𝐵 ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
30 25 28 29 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
31 2 30 eqeltrid ( 𝜑𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
32 7 lsmcom ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑊 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑆 𝑊 ) = ( 𝑊 𝑆 ) )
33 9 31 14 32 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑆 𝑊 ) = ( 𝑊 𝑆 ) )
34 20 33 eleqtrd ( 𝜑 → ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ ( 𝑊 𝑆 ) )
35 eqid ( -g𝐺 ) = ( -g𝐺 )
36 35 7 14 31 lsmelvalm ( 𝜑 → ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ ( 𝑊 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑤𝑊𝑠𝑆 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ) )
37 34 36 mpbid ( 𝜑 → ∃ 𝑤𝑊𝑠𝑆 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) )
38 eqid ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) )
39 3 19 38 1 cycsubg2 ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } ) = ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
40 22 28 39 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐾 ‘ { 𝐴 } ) = ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
41 2 40 syl5eq ( 𝜑𝑆 = ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
42 41 rexeqdv ( 𝜑 → ( ∃ 𝑠𝑆 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ) )
43 ovex ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ V
44 43 rgenw 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ V
45 oveq2 ( 𝑠 = ( 𝑘 · 𝐴 ) → ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
46 45 eqeq2d ( 𝑠 = ( 𝑘 · 𝐴 ) → ( ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
47 38 46 rexrnmptw ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ V → ( ∃ 𝑠 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
48 44 47 ax-mp ( ∃ 𝑠 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
49 42 48 bitrdi ( 𝜑 → ( ∃ 𝑠𝑆 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
50 49 rexbidv ( 𝜑 → ( ∃ 𝑤𝑊𝑠𝑆 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
51 37 50 mpbid ( 𝜑 → ∃ 𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
52 rexcom ( ∃ 𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑤𝑊 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
53 51 52 sylib ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑤𝑊 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
54 22 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → 𝐺 ∈ Grp )
55 3 subgss ( 𝑊 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → 𝑊𝐵 )
56 14 55 syl ( 𝜑𝑊𝐵 )
57 56 adantr ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑊𝐵 )
58 57 sselda ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → 𝑤𝐵 )
59 simplr ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
60 28 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → 𝐴𝐵 )
61 3 19 mulgcl ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ 𝐵 )
62 54 59 60 61 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ 𝐵 )
63 pgpprm ( 𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ )
64 prmz ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ )
65 8 63 64 3syl ( 𝜑𝑃 ∈ ℤ )
66 18 eldifad ( 𝜑𝐶𝑈 )
67 27 66 sseldd ( 𝜑𝐶𝐵 )
68 3 19 mulgcl ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵 ) → ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ 𝐵 )
69 22 65 67 68 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ 𝐵 )
70 69 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ 𝐵 )
71 eqid ( +g𝐺 ) = ( +g𝐺 )
72 3 71 35 grpsubadd ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑤𝐵 ∧ ( 𝑘 · 𝐴 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 · 𝐶 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = ( 𝑃 · 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = 𝑤 ) )
73 54 58 62 70 72 syl13anc ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → ( ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = ( 𝑃 · 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = 𝑤 ) )
74 eqcom ( ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = ( 𝑃 · 𝐶 ) )
75 eqcom ( 𝑤 = ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) = 𝑤 )
76 73 74 75 3bitr4g ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑤𝑊 ) → ( ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ 𝑤 = ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
77 76 rexbidva ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) → ( ∃ 𝑤𝑊 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑤𝑊 𝑤 = ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ) )
78 risset ( ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ↔ ∃ 𝑤𝑊 𝑤 = ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) )
79 77 78 bitr4di ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℤ ) → ( ∃ 𝑤𝑊 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) )
80 79 rexbidva ( 𝜑 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑤𝑊 ( 𝑃 · 𝐶 ) = ( 𝑤 ( -g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) )
81 53 80 mpbid ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 )
82 8 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝑃 pGrp 𝐺 )
83 9 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ Abel )
84 10 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝐵 ∈ Fin )
85 11 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑂𝐴 ) = 𝐸 )
86 12 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝑈 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
87 13 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝐴𝑈 )
88 14 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) )
89 15 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑆𝑊 ) = { 0 } )
90 16 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑆 𝑊 ) ⊆ 𝑈 )
91 17 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑤𝑈𝐴𝑤 ) → ¬ ( 𝑆 𝑊 ) ⊊ 𝑤 ) )
92 18 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝑈 ∖ ( 𝑆 𝑊 ) ) )
93 simprl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
94 simprr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 )
95 eqid ( 𝐶 ( +g𝐺 ) ( ( 𝑘 / 𝑃 ) · 𝐴 ) ) = ( 𝐶 ( +g𝐺 ) ( ( 𝑘 / 𝑃 ) · 𝐴 ) )
96 1 2 3 4 5 6 7 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 19 93 94 95 pgpfac1lem3 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 · 𝐶 ) ( +g𝐺 ) ( 𝑘 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑆𝑡 ) = { 0 } ∧ ( 𝑆 𝑡 ) = 𝑈 ) )
97 81 96 rexlimddv ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑆𝑡 ) = { 0 } ∧ ( 𝑆 𝑡 ) = 𝑈 ) )