Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
scmatscm.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
scmatscm.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
3 |
|
scmatscm.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
scmatscm.t |
⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) |
5 |
|
scmatscm.m |
⊢ × = ( .r ‘ 𝐴 ) |
6 |
|
scmatscm.c |
⊢ 𝑆 = ( 𝑁 ScMat 𝑅 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 1r ‘ 𝐴 ) |
8 |
1 2 3 7 4 6
|
scmatscmid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) |
9 |
8
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) |
10 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
12 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
13 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
15 |
2
|
matring |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ Ring ) |
16 |
3 7
|
ringidcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ 𝐵 ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ 𝐵 ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ 𝐵 ) |
19 |
18
|
anim1ci |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ 𝐵 ) ) |
20 |
1 2 3 4
|
matvscl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ) |
21 |
14 19 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
21
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ) |
24 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) |
25 |
2 3 5
|
matmulcell |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) ) |
26 |
12 23 24 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) ) |
27 |
13
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ) |
28 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ) |
29 |
27 28
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ) |
30 |
29
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
32 |
2 1 4 31
|
matsc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑁 , 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝑦 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
33 |
30 32
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑁 , 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝑦 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
34 |
|
eqeq12 |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘 ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑘 ) ) |
35 |
34
|
ifbid |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘 ) → if ( 𝑥 = 𝑦 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
36 |
35
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘 ) ) → if ( 𝑥 = 𝑦 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
37 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
38 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
40 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ 𝑁 ) |
41 |
|
vex |
⊢ 𝑐 ∈ V |
42 |
|
fvex |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V |
43 |
41 42
|
ifex |
⊢ if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V |
44 |
43
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V ) |
45 |
33 36 39 40 44
|
ovmpod |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
46 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) |
47 |
46
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) |
48 |
47
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) ) |
49 |
|
ovif |
⊢ ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) |
50 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
51 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑗 ∈ 𝑁 ) |
52 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → 𝑚 ∈ 𝐵 ) |
53 |
52
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑚 ∈ 𝐵 ) |
54 |
2 1 3 40 51 53
|
matecld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ∈ 𝐾 ) |
55 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
56 |
1 55 31
|
ringlz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ∈ 𝐾 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
57 |
50 54 56
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
58 |
57
|
ifeq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
59 |
49 58
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
60 |
59
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
61 |
60
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( if ( 𝑖 = 𝑘 , 𝑐 , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) ) |
62 |
|
ringmnd |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd ) |
63 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑅 ∈ Mnd ) |
64 |
63
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Mnd ) |
65 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
66 |
65
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
67 |
|
equcom |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖 ) |
68 |
|
ifbi |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑘 = 𝑖 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
69 |
67 68
|
ax-mp |
⊢ if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑘 = 𝑖 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
70 |
69
|
mpteq2i |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑘 = 𝑖 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) |
71 |
1
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐾 ↔ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
72 |
71
|
biimpi |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐾 → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
73 |
72
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
74 |
73
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
75 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
76 |
2 75 3 40 51 53
|
matecld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
77 |
75 55
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
78 |
50 74 76 77
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
79 |
78
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑁 ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
80 |
31 64 66 38 70 79
|
gsummpt1n0 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑘 , ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) |
81 |
48 61 80
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) 𝑘 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) ) = ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) |
82 |
|
csbov2g |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) ) |
83 |
|
csbov1g |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) |
84 |
|
csbvarg |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝑘 = 𝑖 ) |
85 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ( ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ 𝑘 𝑚 𝑗 ) = ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) |
86 |
83 85
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) = ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) |
87 |
86
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
88 |
82 87
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
89 |
88
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
90 |
89
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ⦋ 𝑖 / 𝑘 ⦌ ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑘 𝑚 𝑗 ) ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
91 |
26 81 90
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
92 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → 𝑐 ∈ 𝐾 ) |
93 |
92
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ) |
94 |
93
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ) |
95 |
2 3 1 4 55
|
matvscacell |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
96 |
12 94 24 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑐 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑚 𝑗 ) ) ) |
97 |
91 96
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) ) |
98 |
97
|
ralrimivva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) ) |
99 |
15
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ Ring ) |
100 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ) |
101 |
3 5
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Ring ∧ ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) ∈ 𝐵 ) |
102 |
99 100 52 101
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) ∈ 𝐵 ) |
103 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
104 |
1 2 3 4
|
matvscl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ∈ 𝐵 ) |
105 |
103 93 104
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ∈ 𝐵 ) |
106 |
2 3
|
eqmat |
⊢ ( ( ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) ) ) |
107 |
102 105 106
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) 𝑗 ) = ( 𝑖 ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) 𝑗 ) ) ) |
108 |
98 107
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) |
109 |
10 108
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) |
110 |
109
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) ) |
111 |
110
|
ralrimdva |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ 𝐵 ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) ) |
112 |
111
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = ( 𝑐 ∗ ( 1r ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐾 ∀ 𝑚 ∈ 𝐵 ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) ) |
113 |
9 112
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐾 ∀ 𝑚 ∈ 𝐵 ( 𝐶 × 𝑚 ) = ( 𝑐 ∗ 𝑚 ) ) |