Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
trgcgrg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
trgcgrg.m |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
trgcgrg.r |
⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
trgcgrg.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
trgcgrg.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
trgcgrg.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
trgcgrg.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
trgcgrg.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
trgcgrg.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
trgcgrg.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
11 |
5 6 7
|
s3cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∈ Word 𝑃 ) |
12 |
|
wrdf |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∈ Word 𝑃 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ) |
14 |
|
s3len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) = 3 |
15 |
14
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) ) = ( 0 ..^ 3 ) |
16 |
|
fzo0to3tp |
⊢ ( 0 ..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 } |
17 |
15 16
|
eqtri |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) ) = { 0 , 1 , 2 } |
18 |
17
|
feq2i |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ↔ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 : { 0 , 1 , 2 } ⟶ 𝑃 ) |
19 |
13 18
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 : { 0 , 1 , 2 } ⟶ 𝑃 ) |
20 |
19
|
fdmd |
⊢ ( 𝜑 → dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 = { 0 , 1 , 2 } ) |
21 |
20
|
raleqdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑗 ∈ dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
22 |
20 21
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∀ 𝑗 ∈ dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
23 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
24 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
25 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
26 |
|
tpssi |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ) → { 0 , 1 , 2 } ⊆ ℝ ) |
27 |
23 24 25 26
|
mp3an |
⊢ { 0 , 1 , 2 } ⊆ ℝ |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 0 , 1 , 2 } ⊆ ℝ ) |
29 |
8 9 10
|
s3cld |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∈ Word 𝑃 ) |
30 |
|
wrdf |
⊢ ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∈ Word 𝑃 → 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ) |
31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ) |
32 |
|
s3len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) = 3 |
33 |
32
|
oveq2i |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) ) = ( 0 ..^ 3 ) |
34 |
33 16
|
eqtri |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) ) = { 0 , 1 , 2 } |
35 |
34
|
feq2i |
⊢ ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) ) ⟶ 𝑃 ↔ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 : { 0 , 1 , 2 } ⟶ 𝑃 ) |
36 |
31 35
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 : { 0 , 1 , 2 } ⟶ 𝑃 ) |
37 |
1 2 3 4 28 19 36
|
iscgrgd |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∼ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ↔ ∀ 𝑖 ∈ dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∀ 𝑗 ∈ dom 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
38 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) ) |
39 |
|
s3fv0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
40 |
5 39
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
41 |
38 40
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐴 ) |
42 |
41
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) ) |
43 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) ) |
44 |
|
s3fv0 |
⊢ ( 𝐷 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐷 ) |
45 |
8 44
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐷 ) |
46 |
43 45
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐷 ) |
47 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) |
48 |
42 47
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) ) |
49 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 1 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) ) |
50 |
|
s3fv1 |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
51 |
6 50
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
52 |
49 51
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 1 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐵 ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 1 ) → ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) ) |
54 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 1 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) ) |
55 |
|
s3fv1 |
⊢ ( 𝐸 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐸 ) |
56 |
9 55
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐸 ) |
57 |
54 56
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 1 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐸 ) |
58 |
57
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 1 ) → ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) |
59 |
53 58
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 1 ) → ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) ) |
60 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) ) |
61 |
|
s3fv2 |
⊢ ( 𝐶 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐶 ) |
62 |
7 61
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐶 ) |
63 |
60 62
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 2 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐶 ) |
64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 2 ) → ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) ) |
65 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) ) |
66 |
|
s3fv2 |
⊢ ( 𝐹 ∈ 𝑃 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐹 ) |
67 |
10 66
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐹 ) |
68 |
65 67
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 2 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) = 𝐹 ) |
69 |
68
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 2 ) → ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) |
70 |
64 69
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 2 ) → ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) |
71 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
72 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
73 |
25
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
74 |
48 59 70 71 72 73
|
raltpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
75 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
76 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) ) |
77 |
76
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) ) |
78 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐴 ) |
79 |
77 78
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → 𝐴 = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
80 |
79
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) ) |
81 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) ) |
82 |
81
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) ) |
83 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 0 ) = 𝐷 ) |
84 |
82 83
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → 𝐷 = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
85 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐷 − 𝐷 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) |
86 |
80 85
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) ) |
87 |
79
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) ) |
88 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐷 − 𝐸 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) |
89 |
87 88
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) ) |
90 |
79
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) ) |
91 |
84
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( 𝐷 − 𝐹 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) |
92 |
90 91
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) |
93 |
86 89 92
|
3anbi123d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
94 |
75 93
|
bitr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) ) ) |
95 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
96 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 1 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) ) |
97 |
96
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) ) |
98 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐵 ) |
99 |
97 98
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → 𝐵 = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
100 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) ) |
101 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 1 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) ) |
102 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) ) |
103 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 1 ) = 𝐸 ) |
104 |
102 103
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → 𝐸 = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
105 |
104
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐸 − 𝐷 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) |
106 |
100 105
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) ) |
107 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) ) |
108 |
104
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐸 − 𝐸 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) |
109 |
107 108
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) ) |
110 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) ) |
111 |
104
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( 𝐸 − 𝐹 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) |
112 |
110 111
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) |
113 |
106 109 112
|
3anbi123d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
114 |
95 113
|
bitr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 1 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ) ) |
115 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
116 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 2 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) ) |
117 |
116
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) ) |
118 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐶 ) |
119 |
117 118
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → 𝐶 = ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
120 |
119
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) ) |
121 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 2 → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) ) |
122 |
121
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) ) |
123 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 2 ) = 𝐹 ) |
124 |
122 123
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → 𝐹 = ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) ) |
125 |
124
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐹 − 𝐷 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) |
126 |
120 125
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ) ) |
127 |
119
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) ) |
128 |
124
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐹 − 𝐸 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) |
129 |
127 128
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ) ) |
130 |
119
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) ) |
131 |
124
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( 𝐹 − 𝐹 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) |
132 |
130 131
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ↔ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) |
133 |
126 129 132
|
3anbi123d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ↔ ( ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐴 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐷 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐵 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐸 ) ∧ ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐶 ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − 𝐹 ) ) ) ) |
134 |
115 133
|
bitr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 2 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ) ) |
135 |
94 114 134 71 72 73
|
raltpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ) ) ) |
136 |
|
an33rean |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) ) |
137 |
|
eqid |
⊢ ( Itv ‘ 𝐺 ) = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
138 |
1 2 137 4 5 8
|
tgcgrtriv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ) |
139 |
1 2 137 4 6 9
|
tgcgrtriv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ) |
140 |
1 2 137 4 7 10
|
tgcgrtriv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) |
141 |
138 139 140
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ) |
142 |
141
|
biantrurd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) ) ) |
143 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) |
144 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) |
145 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
146 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
147 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
148 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
149 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
150 |
1 2 137 145 146 147 148 149 144
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) |
151 |
144 150
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ) |
152 |
143 151
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ) ) |
153 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) |
154 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) |
155 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
156 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
157 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
158 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
159 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
160 |
1 2 137 155 156 157 158 159 154
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) |
161 |
154 160
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ) |
162 |
153 161
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ↔ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ) |
163 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) |
164 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
165 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
166 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
167 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
168 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
169 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) |
170 |
1 2 137 164 165 166 167 168 169
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) |
171 |
170 169
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) |
172 |
163 171
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ↔ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) |
173 |
152 162 172
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) |
174 |
142 173
|
bitr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ) ∧ ( ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) |
175 |
136 174
|
syl5bb |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐶 ) = ( 𝐹 − 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) |
176 |
135 175
|
bitr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∀ 𝑗 ∈ { 0 , 1 , 2 } ( ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑖 ) − ( 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
177 |
22 37 176
|
3bitr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ∼ 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ↔ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) ) ) ) |