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Theorem tsmsxplem2

Description: Lemma for tsmsxp . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses tsmsxp.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
tsmsxp.g ( 𝜑𝐺 ∈ CMnd )
tsmsxp.2 ( 𝜑𝐺 ∈ TopGrp )
tsmsxp.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
tsmsxp.c ( 𝜑𝐶𝑊 )
tsmsxp.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
tsmsxp.h ( 𝜑𝐻 : 𝐴𝐵 )
tsmsxp.1 ( ( 𝜑𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
tsmsxp.j 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
tsmsxp.z 0 = ( 0g𝐺 )
tsmsxp.p + = ( +g𝐺 )
tsmsxp.m = ( -g𝐺 )
tsmsxp.l ( 𝜑𝐿𝐽 )
tsmsxp.3 ( 𝜑0𝐿 )
tsmsxp.k ( 𝜑𝐾 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
tsmsxp.4 ( 𝜑 → ∀ 𝑐𝑆𝑑𝑇 ( 𝑐 + 𝑑 ) ∈ 𝑈 )
tsmsxp.n ( 𝜑𝑁 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) )
tsmsxp.s ( 𝜑𝐷 ⊆ ( 𝐾 × 𝑁 ) )
tsmsxp.x ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝐾 ( ( 𝐻𝑥 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 )
tsmsxp.5 ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝑆 )
tsmsxp.6 ( 𝜑 → ∀ 𝑔 ∈ ( 𝐿m 𝐾 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
Assertion tsmsxplem2 ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ∈ 𝑈 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tsmsxp.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 tsmsxp.g ( 𝜑𝐺 ∈ CMnd )
3 tsmsxp.2 ( 𝜑𝐺 ∈ TopGrp )
4 tsmsxp.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
5 tsmsxp.c ( 𝜑𝐶𝑊 )
6 tsmsxp.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
7 tsmsxp.h ( 𝜑𝐻 : 𝐴𝐵 )
8 tsmsxp.1 ( ( 𝜑𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
9 tsmsxp.j 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
10 tsmsxp.z 0 = ( 0g𝐺 )
11 tsmsxp.p + = ( +g𝐺 )
12 tsmsxp.m = ( -g𝐺 )
13 tsmsxp.l ( 𝜑𝐿𝐽 )
14 tsmsxp.3 ( 𝜑0𝐿 )
15 tsmsxp.k ( 𝜑𝐾 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
16 tsmsxp.4 ( 𝜑 → ∀ 𝑐𝑆𝑑𝑇 ( 𝑐 + 𝑑 ) ∈ 𝑈 )
17 tsmsxp.n ( 𝜑𝑁 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) )
18 tsmsxp.s ( 𝜑𝐷 ⊆ ( 𝐾 × 𝑁 ) )
19 tsmsxp.x ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝐾 ( ( 𝐻𝑥 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 )
20 tsmsxp.5 ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝑆 )
21 tsmsxp.6 ( 𝜑 → ∀ 𝑔 ∈ ( 𝐿m 𝐾 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
22 tgpgrp ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp )
23 3 22 syl ( 𝜑𝐺 ∈ Grp )
24 isabl ( 𝐺 ∈ Abel ↔ ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd ) )
25 23 2 24 sylanbrc ( 𝜑𝐺 ∈ Abel )
26 15 elin2d ( 𝜑𝐾 ∈ Fin )
27 17 elin2d ( 𝜑𝑁 ∈ Fin )
28 xpfi ( ( 𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( 𝐾 × 𝑁 ) ∈ Fin )
29 26 27 28 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐾 × 𝑁 ) ∈ Fin )
30 elfpw ( 𝐾 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝐾𝐴𝐾 ∈ Fin ) )
31 30 simplbi ( 𝐾 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝐾𝐴 )
32 15 31 syl ( 𝜑𝐾𝐴 )
33 elfpw ( 𝑁 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑁𝐶𝑁 ∈ Fin ) )
34 33 simplbi ( 𝑁 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) → 𝑁𝐶 )
35 17 34 syl ( 𝜑𝑁𝐶 )
36 xpss12 ( ( 𝐾𝐴𝑁𝐶 ) → ( 𝐾 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
37 32 35 36 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐾 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
38 6 37 fssresd ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) : ( 𝐾 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 )
39 38 29 14 fdmfifsupp ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) finSupp 0 )
40 1 10 2 29 38 39 gsumcl ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝐵 )
41 7 32 fssresd ( 𝜑 → ( 𝐻𝐾 ) : 𝐾𝐵 )
42 41 26 14 fdmfifsupp ( 𝜑 → ( 𝐻𝐾 ) finSupp 0 )
43 1 10 2 15 41 42 gsumcl ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ∈ 𝐵 )
44 1 11 12 ablpncan3 ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) )
45 25 40 43 44 syl12anc ( 𝜑 → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) )
46 2 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝐺 ∈ CMnd )
47 snfi { 𝑦 } ∈ Fin
48 27 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝑁 ∈ Fin )
49 xpfi ( ( { 𝑦 } ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ∈ Fin )
50 47 48 49 sylancr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ∈ Fin )
51 6 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
52 32 sselda ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝑦𝐴 )
53 52 snssd ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → { 𝑦 } ⊆ 𝐴 )
54 35 adantr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝑁𝐶 )
55 xpss12 ( ( { 𝑦 } ⊆ 𝐴𝑁𝐶 ) → ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
56 53 54 55 syl2anc ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
57 51 56 fssresd ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) : ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 )
58 10 fvexi 0 ∈ V
59 58 a1i ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 0 ∈ V )
60 57 50 59 fdmfifsupp ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) finSupp 0 )
61 1 10 46 50 57 60 gsumcl ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝐵 )
62 61 fmpttd ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) : 𝐾𝐵 )
63 eqid ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) = ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) )
64 ovexd ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ∈ V )
65 63 26 64 14 fsuppmptdm ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) finSupp 0 )
66 1 10 12 25 15 41 62 42 65 gsumsub ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐻𝐾 ) ∘f ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) )
67 fvexd ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐻𝑦 ) ∈ V )
68 7 32 feqresmpt ( 𝜑 → ( 𝐻𝐾 ) = ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐻𝑦 ) ) )
69 eqidd ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) = ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) )
70 15 67 64 68 69 offval2 ( 𝜑 → ( ( 𝐻𝐾 ) ∘f ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) )
71 70 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( ( 𝐻𝐾 ) ∘f ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) )
72 cmnmnd ( 𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd )
73 46 72 syl ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝐺 ∈ Mnd )
74 simpr ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → 𝑦𝐾 )
75 51 adantr ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
76 52 adantr ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → 𝑦𝐴 )
77 54 sselda ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → 𝑧𝐶 )
78 75 76 77 fovrnd ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
79 78 fmpttd ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) : 𝑁𝐵 )
80 eqid ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) = ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
81 ovexd ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ∈ V )
82 80 48 81 59 fsuppmptdm ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) finSupp 0 )
83 1 10 46 48 79 82 gsumcl ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) ∈ 𝐵 )
84 velsn ( 𝑤 ∈ { 𝑦 } ↔ 𝑤 = 𝑦 )
85 ovres ( ( 𝑤 ∈ { 𝑦 } ∧ 𝑧𝑁 ) → ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑤 𝐹 𝑧 ) )
86 84 85 sylanbr ( ( 𝑤 = 𝑦𝑧𝑁 ) → ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑤 𝐹 𝑧 ) )
87 oveq1 ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
88 87 adantr ( ( 𝑤 = 𝑦𝑧𝑁 ) → ( 𝑤 𝐹 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
89 86 88 eqtrd ( ( 𝑤 = 𝑦𝑧𝑁 ) → ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
90 89 mpteq2dva ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) = ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) )
91 90 oveq2d ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) )
92 1 91 gsumsn ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐾 ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑤 ∈ { 𝑦 } ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) )
93 73 74 83 92 syl3anc ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑤 ∈ { 𝑦 } ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) )
94 47 a1i ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → { 𝑦 } ∈ Fin )
95 1 10 46 94 48 57 60 gsumxp ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑤 ∈ { 𝑦 } ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑤 ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) )
96 ovres ( ( 𝑦𝐾𝑧𝑁 ) → ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
97 96 adantll ( ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) ∧ 𝑧𝑁 ) → ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) )
98 97 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) = ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) )
99 98 oveq2d ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 𝐹 𝑧 ) ) ) )
100 93 95 99 3eqtr4d ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) )
101 100 mpteq2dva ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) = ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) )
102 101 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) )
103 1 10 2 26 27 38 39 gsumxp ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝑧𝑁 ↦ ( 𝑦 ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) 𝑧 ) ) ) ) ) )
104 102 103 eqtr4d ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) )
105 104 oveq2d ( 𝜑 → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) )
106 66 71 105 3eqtr3d ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) )
107 oveq2 ( 𝑔 = ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg 𝑔 ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) )
108 107 eleq1d ( 𝑔 = ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑇 ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) ∈ 𝑇 ) )
109 fveq2 ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐻𝑥 ) = ( 𝐻𝑦 ) )
110 sneq ( 𝑥 = 𝑦 → { 𝑥 } = { 𝑦 } )
111 110 xpeq1d ( 𝑥 = 𝑦 → ( { 𝑥 } × 𝑁 ) = ( { 𝑦 } × 𝑁 ) )
112 111 reseq2d ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) )
113 112 oveq2d ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) )
114 109 113 oveq12d ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐻𝑥 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) )
115 114 eleq1d ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝐻𝑥 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 ↔ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 ) )
116 115 rspccva ( ( ∀ 𝑥𝐾 ( ( 𝐻𝑥 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿𝑦𝐾 ) → ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 )
117 19 116 sylan ( ( 𝜑𝑦𝐾 ) → ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝐿 )
118 117 fmpttd ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) : 𝐾𝐿 )
119 13 15 elmapd ( 𝜑 → ( ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐿m 𝐾 ) ↔ ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) : 𝐾𝐿 ) )
120 118 119 mpbird ( 𝜑 → ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ( 𝐿m 𝐾 ) )
121 108 21 120 rspcdva ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑦𝐾 ↦ ( ( 𝐻𝑦 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑦 } × 𝑁 ) ) ) ) ) ) ∈ 𝑇 )
122 106 121 eqeltrrd ( 𝜑 → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝑇 )
123 oveq1 ( 𝑐 = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) → ( 𝑐 + 𝑑 ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + 𝑑 ) )
124 123 eleq1d ( 𝑐 = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑐 + 𝑑 ) ∈ 𝑈 ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + 𝑑 ) ∈ 𝑈 ) )
125 oveq2 ( 𝑑 = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + 𝑑 ) = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) )
126 125 eleq1d ( 𝑑 = ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + 𝑑 ) ∈ 𝑈 ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ 𝑈 ) )
127 124 126 rspc2va ( ( ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ∈ 𝑆 ∧ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ∈ 𝑇 ) ∧ ∀ 𝑐𝑆𝑑𝑇 ( 𝑐 + 𝑑 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ 𝑈 )
128 20 122 16 127 syl21anc ( 𝜑 → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) + ( ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝐾 × 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ 𝑈 )
129 45 128 eqeltrrd ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝐾 ) ) ∈ 𝑈 )