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Theorem tsmsxp

Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. This infinite group sum version of gsumxp is also known as Fubini's theorem. The converse is not necessarily true without additional assumptions. See tsmsxplem1 for the main proof; this part mostly sets up the local assumptions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses tsmsxp.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
tsmsxp.g ( 𝜑𝐺 ∈ CMnd )
tsmsxp.2 ( 𝜑𝐺 ∈ TopGrp )
tsmsxp.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
tsmsxp.c ( 𝜑𝐶𝑊 )
tsmsxp.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
tsmsxp.h ( 𝜑𝐻 : 𝐴𝐵 )
tsmsxp.1 ( ( 𝜑𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
Assertion tsmsxp ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ⊆ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tsmsxp.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 tsmsxp.g ( 𝜑𝐺 ∈ CMnd )
3 tsmsxp.2 ( 𝜑𝐺 ∈ TopGrp )
4 tsmsxp.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
5 tsmsxp.c ( 𝜑𝐶𝑊 )
6 tsmsxp.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
7 tsmsxp.h ( 𝜑𝐻 : 𝐴𝐵 )
8 tsmsxp.1 ( ( 𝜑𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
9 tgptmd ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd )
10 3 9 syl ( 𝜑𝐺 ∈ TopMnd )
11 10 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝐺 ∈ TopMnd )
12 simp2 ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) )
13 eqid ( TopOpen ‘ 𝐺 ) = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
14 13 1 tmdtopon ( 𝐺 ∈ TopMnd → ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) )
15 11 14 syl ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) )
16 toponss ( ( ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → 𝑢𝐵 )
17 15 12 16 syl2anc ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝑢𝐵 )
18 simp3 ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝑥𝑢 )
19 17 18 sseldd ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝑥𝐵 )
20 tmdmnd ( 𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd )
21 11 20 syl ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → 𝐺 ∈ Mnd )
22 eqid ( 0g𝐺 ) = ( 0g𝐺 )
23 1 22 mndidcl ( 𝐺 ∈ Mnd → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝐵 )
24 21 23 syl ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝐵 )
25 eqid ( +g𝐺 ) = ( +g𝐺 )
26 1 25 22 mndrid ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵 ) → ( 𝑥 ( +g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) = 𝑥 )
27 21 19 26 syl2anc ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( 𝑥 ( +g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) = 𝑥 )
28 27 18 eqeltrd ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( 𝑥 ( +g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) ∈ 𝑢 )
29 1 13 25 tmdcn2 ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝐵 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ( +g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) )
30 11 12 19 24 28 29 syl23anc ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) )
31 r19.29 ( ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) )
32 simp31 ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → 𝑥𝑣 )
33 elfpw ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ↔ ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ 𝑦 ∈ Fin ) )
34 33 simplbi ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
35 34 ad2antrl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
36 dmss ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) → dom 𝑦 ⊆ dom ( 𝐴 × 𝐶 ) )
37 35 36 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ⊆ dom ( 𝐴 × 𝐶 ) )
38 dmxpss dom ( 𝐴 × 𝐶 ) ⊆ 𝐴
39 37 38 sstrdi ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦𝐴 )
40 elinel2 ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ∈ Fin )
41 40 ad2antrl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → 𝑦 ∈ Fin )
42 dmfi ( 𝑦 ∈ Fin → dom 𝑦 ∈ Fin )
43 41 42 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ∈ Fin )
44 elfpw ( dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( dom 𝑦𝐴 ∧ dom 𝑦 ∈ Fin ) )
45 39 43 44 sylanbrc ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
46 eqid ( .g𝐺 ) = ( .g𝐺 )
47 simpl11 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝜑 )
48 47 2 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd )
49 47 10 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ TopMnd )
50 simprrl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
51 50 elin2d ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝑏 ∈ Fin )
52 simpl2r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) )
53 49 20 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ Mnd )
54 53 23 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝐵 )
55 hashcl ( 𝑏 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 )
56 51 55 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 )
57 1 46 22 mulgnn0z ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) = ( 0g𝐺 ) )
58 53 56 57 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) = ( 0g𝐺 ) )
59 simpl32 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 )
60 58 59 eqeltrd ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g𝐺 ) ( 0g𝐺 ) ) ∈ 𝑡 )
61 13 1 46 48 49 51 52 54 60 tmdgsum2 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) )
62 simp111 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝜑 )
63 62 2 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd )
64 62 3 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐺 ∈ TopGrp )
65 62 4 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐴𝑉 )
66 62 5 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐶𝑊 )
67 62 6 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
68 62 7 syl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐻 : 𝐴𝐵 )
69 62 8 sylan ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) ∧ 𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
70 eqid ( -g𝐺 ) = ( -g𝐺 )
71 simp3l ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) )
72 simp3rl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 )
73 simp2rl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
74 simp2rr ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → dom 𝑦𝑏 )
75 simp2ll ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) )
76 1 63 64 65 66 67 68 69 13 22 25 70 71 72 73 74 75 tsmsxplem1 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) )
77 48 3adant3 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd )
78 64 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TopGrp )
79 65 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐴𝑉 )
80 66 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐶𝑊 )
81 67 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 )
82 68 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐻 : 𝐴𝐵 )
83 47 3adant3 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝜑 )
84 83 8 sylan ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑗𝐴 ) → ( 𝐻𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) )
85 simp3ll ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) )
86 72 3adant3r ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 )
87 simp2rl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
88 simp133 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 )
89 simp3rl ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) )
90 simp2ll ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) )
91 simp2rr ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → dom 𝑦𝑏 )
92 simp3rr ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) )
93 92 simpld ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ran 𝑦𝑛 )
94 relxp Rel ( 𝐴 × 𝐶 )
95 relss ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) → ( Rel ( 𝐴 × 𝐶 ) → Rel 𝑦 ) )
96 34 94 95 mpisyl ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → Rel 𝑦 )
97 relssdmrn ( Rel 𝑦𝑦 ⊆ ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) )
98 96 97 syl ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ⊆ ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) )
99 xpss12 ( ( dom 𝑦𝑏 ∧ ran 𝑦𝑛 ) → ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) )
100 98 99 sylan9ss ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ( dom 𝑦𝑏 ∧ ran 𝑦𝑛 ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) )
101 90 91 93 100 syl12anc ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) )
102 92 simprd ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 )
103 sseq2 ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝑦𝑧𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) )
104 reseq2 ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐹𝑧 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) )
105 104 oveq2d ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) )
106 105 eleq1d ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) )
107 103 106 imbi12d ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ↔ ( 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) ) )
108 simp2lr ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) )
109 elfpw ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin ) )
110 elfpw ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑛𝐶𝑛 ∈ Fin ) )
111 xpss12 ( ( 𝑏𝐴𝑛𝐶 ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) )
112 xpfi ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin )
113 111 112 anim12i ( ( ( 𝑏𝐴𝑛𝐶 ) ∧ ( 𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) )
114 113 an4s ( ( ( 𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑛𝐶𝑛 ∈ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) )
115 109 110 114 syl2anb ( ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) )
116 elfpw ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ↔ ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) )
117 115 116 sylibr ( ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) )
118 87 89 117 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) )
119 107 108 118 rspcdva ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) )
120 101 119 mpd ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 )
121 simp3lr ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) )
122 121 simprd ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 )
123 oveq2 ( 𝑔 = → ( 𝐺 Σg 𝑔 ) = ( 𝐺 Σg ) )
124 123 eleq1d ( 𝑔 = → ( ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ↔ ( 𝐺 Σg ) ∈ 𝑡 ) )
125 124 cbvralvw ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ↔ ∀ ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg ) ∈ 𝑡 )
126 122 125 sylib ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg ) ∈ 𝑡 )
127 1 77 78 79 80 81 82 84 13 22 25 70 85 86 87 88 89 101 102 120 126 tsmsxplem2 ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
128 127 3exp ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
129 128 exp4a ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
130 129 3imp1 ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦𝑛 ∧ ∀ 𝑥𝑏 ( ( 𝐻𝑥 ) ( -g𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
131 76 130 rexlimddv ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
132 131 3expa ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
133 61 132 rexlimddv ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
134 133 anassrs ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦𝑏 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 )
135 134 expr ( ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( dom 𝑦𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) )
136 135 ralrimiva ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( dom 𝑦𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) )
137 sseq1 ( 𝑎 = dom 𝑦 → ( 𝑎𝑏 ↔ dom 𝑦𝑏 ) )
138 137 rspceaimv ( ( dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( dom 𝑦𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) )
139 45 136 138 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) )
140 139 rexlimdvaa ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
141 32 140 embantd ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
142 141 3expia ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
143 142 anassrs ( ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
144 143 rexlimdva ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
145 144 impcomd ( ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
146 145 rexlimdva ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
147 31 146 syl5 ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐𝑣𝑑𝑡 ( 𝑐 ( +g𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
148 30 147 mpan2d ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥𝑢 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) )
149 148 3expia ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑥𝑢 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
150 149 com23 ( ( 𝜑𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ( 𝑥𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
151 150 ralrimdva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) )
152 151 anim2d ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐵 ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑥𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
153 eqid ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) = ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin )
154 tgptps ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp )
155 3 154 syl ( 𝜑𝐺 ∈ TopSp )
156 4 5 xpexd ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐶 ) ∈ V )
157 1 13 153 2 155 156 6 eltsms ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ↔ ( 𝑥𝐵 ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ) )
158 eqid ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin )
159 1 13 158 2 155 4 7 eltsms ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) ↔ ( 𝑥𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) )
160 152 157 159 3imtr4d ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) ) )
161 160 ssrdv ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ⊆ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) )