Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tsmsxp.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tsmsxp.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd ) |
3 |
|
tsmsxp.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp ) |
4 |
|
tsmsxp.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
tsmsxp.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊 ) |
6 |
|
tsmsxp.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) |
7 |
|
tsmsxp.h |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
8 |
|
tsmsxp.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) ) |
9 |
|
tgptmd |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
10 |
3 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
11 |
10
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
12 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) = ( TopOpen ‘ 𝐺 ) |
14 |
13 1
|
tmdtopon |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ) |
15 |
11 14
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ) |
16 |
|
toponss |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → 𝑢 ⊆ 𝐵 ) |
17 |
15 12 16
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝑢 ⊆ 𝐵 ) |
18 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝑥 ∈ 𝑢 ) |
19 |
17 18
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
20 |
|
tmdmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd ) |
21 |
11 20
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
23 |
1 22
|
mndidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Mnd → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
24 |
21 23
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
25 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
26 |
1 25 22
|
mndrid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = 𝑥 ) |
27 |
21 19 26
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = 𝑥 ) |
28 |
27 18
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝑢 ) |
29 |
1 13 25
|
tmdcn2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) |
30 |
11 12 19 24 28 29
|
syl23anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) |
31 |
|
r19.29 |
⊢ ( ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
32 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑣 ) |
33 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ↔ ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ 𝑦 ∈ Fin ) ) |
34 |
33
|
simplbi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ) |
35 |
34
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ) |
36 |
|
dmss |
⊢ ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) → dom 𝑦 ⊆ dom ( 𝐴 × 𝐶 ) ) |
37 |
35 36
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ⊆ dom ( 𝐴 × 𝐶 ) ) |
38 |
|
dmxpss |
⊢ dom ( 𝐴 × 𝐶 ) ⊆ 𝐴 |
39 |
37 38
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ⊆ 𝐴 ) |
40 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ∈ Fin ) |
41 |
40
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → 𝑦 ∈ Fin ) |
42 |
|
dmfi |
⊢ ( 𝑦 ∈ Fin → dom 𝑦 ∈ Fin ) |
43 |
41 42
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ∈ Fin ) |
44 |
|
elfpw |
⊢ ( dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( dom 𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ dom 𝑦 ∈ Fin ) ) |
45 |
39 43 44
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
46 |
|
eqid |
⊢ ( .g ‘ 𝐺 ) = ( .g ‘ 𝐺 ) |
47 |
|
simpl11 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝜑 ) |
48 |
47 2
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
49 |
47 10
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
50 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
51 |
50
|
elin2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ∈ Fin ) |
52 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) |
53 |
49 20
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
54 |
53 23
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
55 |
|
hashcl |
⊢ ( 𝑏 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 ) |
56 |
51 55
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 ) |
57 |
1 46 22
|
mulgnn0z |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ♯ ‘ 𝑏 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
58 |
53 56 57
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
59 |
|
simpl32 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ) |
60 |
58 59
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑏 ) ( .g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝑡 ) |
61 |
13 1 46 48 49 51 52 54 60
|
tmdgsum2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) |
62 |
|
simp111 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝜑 ) |
63 |
62 2
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
64 |
62 3
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐺 ∈ TopGrp ) |
65 |
62 4
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
66 |
62 5
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑊 ) |
67 |
62 6
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) |
68 |
62 7
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
69 |
62 8
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) ) |
70 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ 𝐺 ) = ( -g ‘ 𝐺 ) |
71 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) |
72 |
|
simp3rl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ) |
73 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
74 |
|
simp2rr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) |
75 |
|
simp2ll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ) |
76 |
1 63 64 65 66 67 68 69 13 22 25 70 71 72 73 74 75
|
tsmsxplem1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) |
77 |
48
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
78 |
64
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TopGrp ) |
79 |
65
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
80 |
66
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑊 ) |
81 |
67
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 × 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) |
82 |
68
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝐻 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
83 |
47
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝜑 ) |
84 |
83 8
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 𝐺 tsums ( 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ ( 𝑗 𝐹 𝑘 ) ) ) ) |
85 |
|
simp3ll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) |
86 |
72
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ) |
87 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
88 |
|
simp133 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) |
89 |
|
simp3rl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) |
90 |
|
simp2ll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ) |
91 |
|
simp2rr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) |
92 |
|
simp3rr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) |
93 |
92
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ) |
94 |
|
relxp |
⊢ Rel ( 𝐴 × 𝐶 ) |
95 |
|
relss |
⊢ ( 𝑦 ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) → ( Rel ( 𝐴 × 𝐶 ) → Rel 𝑦 ) ) |
96 |
34 94 95
|
mpisyl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → Rel 𝑦 ) |
97 |
|
relssdmrn |
⊢ ( Rel 𝑦 → 𝑦 ⊆ ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) ) |
98 |
96 97
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑦 ⊆ ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) ) |
99 |
|
xpss12 |
⊢ ( ( dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ∧ ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ) → ( dom 𝑦 × ran 𝑦 ) ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) |
100 |
98 99
|
sylan9ss |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ( dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ∧ ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) |
101 |
90 91 93 100
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) |
102 |
92
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) |
103 |
|
sseq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) |
104 |
|
reseq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) |
105 |
104
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ) |
106 |
105
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) ) |
107 |
103 106
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ↔ ( 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) |
108 |
|
simp2lr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) |
109 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ Fin ) ) |
110 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑛 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑛 ∈ Fin ) ) |
111 |
|
xpss12 |
⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑛 ⊆ 𝐶 ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ) |
112 |
|
xpfi |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) |
113 |
111 112
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑛 ⊆ 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
114 |
113
|
an4s |
⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑛 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑛 ∈ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
115 |
109 110 114
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
116 |
|
elfpw |
⊢ ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ↔ ( ( 𝑏 × 𝑛 ) ⊆ ( 𝐴 × 𝐶 ) ∧ ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
117 |
115 116
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ) |
118 |
87 89 117
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑏 × 𝑛 ) ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ) |
119 |
107 108 118
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑦 ⊆ ( 𝑏 × 𝑛 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) ) |
120 |
101 119
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( 𝑏 × 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑣 ) |
121 |
|
simp3lr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) |
122 |
121
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) |
123 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝐺 Σg 𝑔 ) = ( 𝐺 Σg ℎ ) ) |
124 |
123
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ↔ ( 𝐺 Σg ℎ ) ∈ 𝑡 ) ) |
125 |
124
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ↔ ∀ ℎ ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg ℎ ) ∈ 𝑡 ) |
126 |
122 125
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ∀ ℎ ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg ℎ ) ∈ 𝑡 ) |
127 |
1 77 78 79 80 81 82 84 13 22 25 70 85 86 87 88 89 101 102 120 126
|
tsmsxplem2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
128 |
127
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
129 |
128
|
exp4a |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
130 |
129
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∩ Fin ) ∧ ( ran 𝑦 ⊆ 𝑛 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑏 ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) ( -g ‘ 𝐺 ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ ( { 𝑥 } × 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑠 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
131 |
76 130
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
132 |
131
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑠 ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑠 ↑m 𝑏 ) ( 𝐺 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑡 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
133 |
61 132
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
134 |
133
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) |
135 |
134
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( dom 𝑦 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) |
136 |
135
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( dom 𝑦 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) |
137 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑎 = dom 𝑦 → ( 𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ dom 𝑦 ⊆ 𝑏 ) ) |
138 |
137
|
rspceaimv |
⊢ ( ( dom 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( dom 𝑦 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) |
139 |
45 136 138
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) |
140 |
139
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
141 |
32 140
|
embantd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
142 |
141
|
3expia |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
143 |
142
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
144 |
143
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
145 |
144
|
impcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
146 |
145
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
147 |
31 146
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∃ 𝑡 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 ∧ ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑡 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑣 ∀ 𝑑 ∈ 𝑡 ( 𝑐 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ∈ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
148 |
30 147
|
mpan2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
149 |
148
|
3expia |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
150 |
149
|
com23 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
151 |
150
|
ralrimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) → ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
152 |
151
|
anim2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) ) |
153 |
|
eqid |
⊢ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) = ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) |
154 |
|
tgptps |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp ) |
155 |
3 154
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp ) |
156 |
4 5
|
xpexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐶 ) ∈ V ) |
157 |
1 13 153 2 155 156 6
|
eltsms |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 ( 𝐴 × 𝐶 ) ∩ Fin ) ( 𝑦 ⊆ 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ 𝑣 ) ) ) ) ) |
158 |
|
eqid |
⊢ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) |
159 |
1 13 158 2 155 4 7
|
eltsms |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( TopOpen ‘ 𝐺 ) ( 𝑥 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑏 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑎 ⊆ 𝑏 → ( 𝐺 Σg ( 𝐻 ↾ 𝑏 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) ) |
160 |
152 157 159
|
3imtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) ) ) |
161 |
160
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ⊆ ( 𝐺 tsums 𝐻 ) ) |