Theorem iundom2g 8936

Description: An upper bound for the cardinality of a disjoint indexed union, with explicit choice principles. depends on and should be thought of as (x). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunfo.1
iundomg.2
iundomg.3

Assertion

Ref	Expression
iundom2g

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iundom2g

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iundomg.2	. . 3
2		iundomg.3	. . . . 5
3		brdomi 7547	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8
5		f1f 5786	. . . . . . . . . . . 12
6		reldom 7542	. . . . . . . . . . . . . . 15
7	6	brrelex2i 5046	. . . . . . . . . . . . . 14
8	6	brrelexi 5045	. . . . . . . . . . . . . 14
9	7, 8	elmapd 7453	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
11	5, 10	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11
12		ssiun2 4373	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
14	13	sseld 3502	. . . . . . . . . . 11
15	11, 14	syld 44	. . . . . . . . . 10
16	15	ancrd 554	. . . . . . . . 9
17	16	eximdv 1710	. . . . . . . 8
18	4, 17	mpd 15	. . . . . . 7
19		df-rex 2813	. . . . . . 7
20	18, 19	sylibr 212	. . . . . 6
21	20	ralimiaa 2849	. . . . 5
22	2, 21	syl 16	. . . 4
23		nfv 1707	. . . . 5
24		nfiu1 4360	. . . . . 6
25		nfcv 2619	. . . . . . 7
26		nfcsb1v 3450	. . . . . . 7
27		nfcv 2619	. . . . . . 7
28	25, 26, 27	nff1 5784	. . . . . 6
29	24, 28	nfrex 2920	. . . . 5
30		csbeq1a 3443	. . . . . . 7
31		f1eq2 5782	. . . . . . 7
32	30, 31	syl 16	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2968	. . . . 5
34	23, 29, 33	cbvral 3080	. . . 4
35	22, 34	sylib 196	. . 3
36		f1eq1 5781	. . . 4
37	36	acni3 8449	. . 3
38	1, 35, 37	syl2anc 661	. 2
39		nfv 1707	. . . . . 6
40		nfcv 2619	. . . . . . 7
41	40, 26, 27	nff1 5784	. . . . . 6
42		fveq2 5871	. . . . . . . 8
43		f1eq1 5781	. . . . . . . 8
44	42, 43	syl 16	. . . . . . 7
45		f1eq2 5782	. . . . . . . 8
46	30, 45	syl 16	. . . . . . 7
47	44, 46	bitrd 253	. . . . . 6
48	39, 41, 47	cbvral 3080	. . . . 5
49		df-ne 2654	. . . . . . . 8
50		acnrcl 8444	. . . . . . . . . 10
51	1, 50	syl 16	. . . . . . . . 9
52		r19.2z 3918	. . . . . . . . . . . 12
53	7	rexlimivw 2946	. . . . . . . . . . . 12
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . 11
55	54	expcom 435	. . . . . . . . . 10
56	2, 55	syl 16	. . . . . . . . 9
57		xpexg 6602	. . . . . . . . 9
58	51, 56, 57	syl6an 545	. . . . . . . 8
59	49, 58	syl5bir 218	. . . . . . 7
60		xpeq1 5018	. . . . . . . 8
61		0xp 5085	. . . . . . . . 9
62		0ex 4582	. . . . . . . . 9
63	61, 62	eqeltri 2541	. . . . . . . 8
64	60, 63	syl6eqel 2553	. . . . . . 7
65	59, 64	pm2.61d2 160	. . . . . 6
66		iunfo.1	. . . . . . . . . 10
67	66	eleq2i 2535	. . . . . . . . 9
68		eliun 4335	. . . . . . . . 9
69	67, 68	bitri 249	. . . . . . . 8
70		r19.29 2992	. . . . . . . . . 10
71		xp1st 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	71	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14
73		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
75		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13
76	74, 75	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12
77	74	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . 13
79		f1f 5786	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14
81		xp2nd 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	81	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14
83	80, 82	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . 13
84	78, 83	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12
85		opelxpi 5036	. . . . . . . . . . . 12
86	76, 84, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
87	86	rexlimiva 2945	. . . . . . . . . 10
88	70, 87	syl 16	. . . . . . . . 9
89	88	ex 434	. . . . . . . 8
90	69, 89	syl5bi 217	. . . . . . 7
91		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
92		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
93	91, 92	opth 4726	. . . . . . . . 9
94		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	94	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
96	95	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . 13
97	96	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
98		djussxp 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99	66, 98	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
100		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	99, 100	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
103		xp1st 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
105		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14
106		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16
107		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	106, 107, 27	nff1 5784	. . . . . . . . . . . . . . 15
109		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110		f1eq1 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		f1eq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114	112, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	111, 114	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	108, 115	rspc 3204	. . . . . . . . . . . . . 14
117	104, 105, 116	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13
118	107	nfel2 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119	74	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
120	119, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
121	82, 120	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122	121	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123	118, 122	rexlimi 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	70, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125	124	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
126	69, 125	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	126	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
130	126	ralrimiv 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133	132	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	131, 133	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	rspccva 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	130, 135	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
137	136	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	137	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
139	94	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . 14
140	138, 139	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . 13
141		f1fveq 6170	. . . . . . . . . . . . 13
142	117, 129, 140, 141	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . 12
143	97, 142	bitr3d 255	. . . . . . . . . . 11
144	143	pm5.32da 641	. . . . . . . . . 10
145		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
146	99, 145	sseldi 3501	. . . . . . . . . . 11
147		xpopth 6839	. . . . . . . . . . 11
148	101, 146, 147	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
149	144, 148	bitrd 253	. . . . . . . . 9
150	93, 149	syl5bb 257	. . . . . . . 8
151	150	ex 434	. . . . . . 7
152	90, 151	dom2d 7576	. . . . . 6
153	65, 152	syl5com 30	. . . . 5
154	48, 153	syl5bir 218	. . . 4
155	154	adantld 467	. . 3
156	155	exlimdv 1724	. 2
157	38, 156	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cmap 7439  cdom 7534  AC_wacn 8340

This theorem is referenced by:  iundomg  8937  iundom  8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-dom 7538  df-acn 8344