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Theorem cdleme7e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme7ga and cdleme7 . (Contributed by NM, 8-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme4.l
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme4.j
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme4.m
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme4.a
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme4.h
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme4.u
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme4.f
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme4.g
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme7.v
|- V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
Assertion cdleme7e
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G =/= ( 0. ` K ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme4.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme4.j
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme4.m
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme4.a
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme4.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme4.u
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme4.f
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme4.g
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
9 cdleme7.v
 |-  V = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
10 simp11l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
11 10 hllatd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat )
12 simp2ll
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A )
13 eqid
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14 13 4 atbase
 |-  ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) )
15 12 14 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. ( Base ` K ) )
16 hlop
 |-  ( K e. HL -> K e. OP )
17 eqid
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
18 13 17 op0cl
 |-  ( K e. OP -> ( 0. ` K ) e. ( Base ` K ) )
19 10 16 18 3syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( 0. ` K ) e. ( Base ` K ) )
20 13 2 latjcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ R e. ( Base ` K ) /\ ( 0. ` K ) e. ( Base ` K ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) e. ( Base ` K ) )
21 11 15 19 20 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) e. ( Base ` K ) )
22 simp12l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
23 simp13l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
24 13 2 4 hlatjcl
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
25 10 22 23 24 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
26 simp11
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
27 simp2rl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S e. A )
28 1 2 3 4 5 6 7 13 cdleme1b
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
29 26 22 23 27 28 syl13anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
30 13 2 4 hlatjcl
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) )
31 10 12 27 30 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) )
32 simp11r
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
33 13 5 lhpbase
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
34 32 33 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
35 13 3 latmcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
36 11 31 34 35 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
37 13 2 latjcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ F e. ( Base ` K ) /\ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
38 11 29 36 37 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
39 13 3 latmcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) )
40 11 25 38 39 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) )
41 8 40 eqeltrid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. ( Base ` K ) )
42 13 2 latjcl
 |-  ( ( K e. Lat /\ R e. ( Base ` K ) /\ G e. ( Base ` K ) ) -> ( R .\/ G ) e. ( Base ` K ) )
43 11 15 41 42 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ G ) e. ( Base ` K ) )
44 13 1 3 latmle2
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
45 11 25 34 44 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
46 6 45 eqbrtrid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> U .<_ W )
47 simp2lr
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. R .<_ W )
48 nbrne2
 |-  ( ( U .<_ W /\ -. R .<_ W ) -> U =/= R )
49 48 necomd
 |-  ( ( U .<_ W /\ -. R .<_ W ) -> R =/= U )
50 46 47 49 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R =/= U )
51 simp12
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
52 simp31
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
53 1 2 3 4 5 6 lhpat2
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A )
54 26 51 23 52 53 syl112anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> U e. A )
55 eqid
 |-  ( 
56 2 55 4 atcvr1
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ U e. A ) -> ( R =/= U <-> R ( 
57 10 12 54 56 syl3anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R =/= U <-> R ( 
58 50 57 mpbid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R ( 
59 hlol
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
60 10 59 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. OL )
61 13 2 17 olj01
 |-  ( ( K e. OL /\ R e. ( Base ` K ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) = R )
62 60 15 61 syl2anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) = R )
63 simp2l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
64 simp2r
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
65 simp32
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
66 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme5
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ G ) = ( P .\/ Q ) )
67 26 22 23 63 64 65 66 syl132anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ G ) = ( P .\/ Q ) )
68 1 2 3 4 5 6 cdleme4
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
69 26 22 23 63 65 68 syl131anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
70 67 69 eqtrd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ G ) = ( R .\/ U ) )
71 58 62 70 3brtr4d
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) ( 
72 13 55 cvrne
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( R .\/ ( 0. ` K ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( R .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) /\ ( R .\/ ( 0. ` K ) ) (  ( R .\/ ( 0. ` K ) ) =/= ( R .\/ G ) )
73 10 21 43 71 72 syl31anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) =/= ( R .\/ G ) )
74 oveq2
 |-  ( ( 0. ` K ) = G -> ( R .\/ ( 0. ` K ) ) = ( R .\/ G ) )
75 74 necon3i
 |-  ( ( R .\/ ( 0. ` K ) ) =/= ( R .\/ G ) -> ( 0. ` K ) =/= G )
76 73 75 syl
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( 0. ` K ) =/= G )
77 76 necomd
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G =/= ( 0. ` K ) )