Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfac3 |
|- ( CHOICE <-> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) |
2 |
|
nfra1 |
|- F/ z A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) |
3 |
|
rsp |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) |
4 |
|
equid |
|- z = z |
5 |
|
neeq1 |
|- ( u = z -> ( u =/= (/) <-> z =/= (/) ) ) |
6 |
|
eqeq1 |
|- ( u = z -> ( u = z <-> z = z ) ) |
7 |
5 6
|
anbi12d |
|- ( u = z -> ( ( u =/= (/) /\ u = z ) <-> ( z =/= (/) /\ z = z ) ) ) |
8 |
7
|
rspcev |
|- ( ( z e. x /\ ( z =/= (/) /\ z = z ) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) ) |
9 |
4 8
|
mpanr2 |
|- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) ) |
11 |
10
|
preq1d |
|- ( u = z -> { ( f ` u ) , u } = { ( f ` z ) , u } ) |
12 |
|
preq2 |
|- ( u = z -> { ( f ` z ) , u } = { ( f ` z ) , z } ) |
13 |
11 12
|
eqtr2d |
|- ( u = z -> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) |
14 |
13
|
anim2i |
|- ( ( u =/= (/) /\ u = z ) -> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) |
15 |
14
|
reximi |
|- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ u = z ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) |
16 |
9 15
|
syl |
|- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) |
17 |
|
prex |
|- { ( f ` z ) , z } e. _V |
18 |
|
eqeq1 |
|- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) |
19 |
18
|
anbi2d |
|- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
20 |
19
|
rexbidv |
|- ( g = { ( f ` z ) , z } -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
21 |
17 20
|
elab |
|- ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ { ( f ` z ) , z } = { ( f ` u ) , u } ) ) |
22 |
16 21
|
sylibr |
|- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ) |
23 |
|
vex |
|- z e. _V |
24 |
23
|
prid2 |
|- z e. { ( f ` z ) , z } |
25 |
|
fvex |
|- ( f ` z ) e. _V |
26 |
25
|
prid1 |
|- ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } |
27 |
24 26
|
pm3.2i |
|- ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) |
28 |
|
eleq2 |
|- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` z ) , z } ) ) |
29 |
|
eleq2 |
|- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( f ` z ) e. v <-> ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) |
30 |
28 29
|
anbi12d |
|- ( v = { ( f ` z ) , z } -> ( ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) <-> ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) ) |
31 |
30
|
rspcev |
|- ( ( { ( f ` z ) , z } e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. { ( f ` z ) , z } /\ ( f ` z ) e. { ( f ` z ) , z } ) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) |
32 |
22 27 31
|
sylancl |
|- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) |
33 |
|
eleq1 |
|- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. z <-> ( f ` z ) e. z ) ) |
34 |
|
eleq1 |
|- ( w = ( f ` z ) -> ( w e. v <-> ( f ` z ) e. v ) ) |
35 |
34
|
anbi2d |
|- ( w = ( f ` z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) ) |
36 |
35
|
rexbidv |
|- ( w = ( f ` z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) ) |
37 |
33 36
|
anbi12d |
|- ( w = ( f ` z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) ) ) |
38 |
25 37
|
spcev |
|- ( ( ( f ` z ) e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ ( f ` z ) e. v ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
39 |
32 38
|
sylan2 |
|- ( ( ( f ` z ) e. z /\ ( z e. x /\ z =/= (/) ) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
40 |
39
|
ex |
|- ( ( f ` z ) e. z -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
41 |
3 40
|
syl8 |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
impd |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
pm2.43d |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
44 |
|
df-rex |
|- ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
45 |
|
vex |
|- v e. _V |
46 |
|
eqeq1 |
|- ( g = v -> ( g = { ( f ` u ) , u } <-> v = { ( f ` u ) , u } ) ) |
47 |
46
|
anbi2d |
|- ( g = v -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
48 |
47
|
rexbidv |
|- ( g = v -> ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
49 |
45 48
|
elab |
|- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } <-> E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) ) |
50 |
|
neeq1 |
|- ( z = u -> ( z =/= (/) <-> u =/= (/) ) ) |
51 |
|
fveq2 |
|- ( z = u -> ( f ` z ) = ( f ` u ) ) |
52 |
51
|
eleq1d |
|- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. z ) ) |
53 |
|
eleq2 |
|- ( z = u -> ( ( f ` u ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) ) |
54 |
52 53
|
bitrd |
|- ( z = u -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` u ) e. u ) ) |
55 |
50 54
|
imbi12d |
|- ( z = u -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) ) |
56 |
55
|
rspccv |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) ) ) |
57 |
|
elneq |
|- ( w e. z -> w =/= z ) |
58 |
57
|
neneqd |
|- ( w e. z -> -. w = z ) |
59 |
|
vex |
|- w e. _V |
60 |
|
neqne |
|- ( -. w = z -> w =/= z ) |
61 |
|
prel12g |
|- ( ( w e. _V /\ z e. _V /\ w =/= z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
62 |
59 23 60 61
|
mp3an12i |
|- ( -. w = z -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
63 |
|
eleq2 |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. v <-> w e. { ( f ` u ) , u } ) ) |
64 |
|
eleq2 |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( z e. v <-> z e. { ( f ` u ) , u } ) ) |
65 |
63 64
|
anbi12d |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) ) ) |
66 |
|
ancom |
|- ( ( w e. v /\ z e. v ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) |
67 |
65 66
|
bitr3di |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( w e. { ( f ` u ) , u } /\ z e. { ( f ` u ) , u } ) <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
68 |
62 67
|
sylan9bbr |
|- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ -. w = z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
69 |
58 68
|
sylan2 |
|- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ w e. z ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
70 |
69
|
adantrr |
|- ( ( v = { ( f ` u ) , u } /\ ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) ) -> ( { w , z } = { ( f ` u ) , u } <-> ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
71 |
70
|
pm5.32da |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) <-> ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
72 |
23
|
preleq |
|- ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ { w , z } = { ( f ` u ) , u } ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) ) |
73 |
71 72
|
syl6bir |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) ) ) |
74 |
51
|
eqeq2d |
|- ( z = u -> ( w = ( f ` z ) <-> w = ( f ` u ) ) ) |
75 |
74
|
biimparc |
|- ( ( w = ( f ` u ) /\ z = u ) -> w = ( f ` z ) ) |
76 |
73 75
|
syl6 |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( ( w e. z /\ ( f ` u ) e. u ) /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
77 |
76
|
exp4c |
|- ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( w e. z -> ( ( f ` u ) e. u -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
com13 |
|- ( ( f ` u ) e. u -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
79 |
56 78
|
syl8 |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( w e. z -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
com4r |
|- ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) ) |
81 |
80
|
imp |
|- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( u =/= (/) -> ( v = { ( f ` u ) , u } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
imp4a |
|- ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
com3l |
|- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
84 |
83
|
rexlimiv |
|- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ v = { ( f ` u ) , u } ) -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) |
85 |
49 84
|
sylbi |
|- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( w e. z /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) |
86 |
85
|
expd |
|- ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( w e. z -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
com13 |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( w e. z -> ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) ) ) |
88 |
87
|
imp4b |
|- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
89 |
88
|
exlimdv |
|- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v ( v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } /\ ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
90 |
44 89
|
syl5bi |
|- ( ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ w e. z ) -> ( E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
91 |
90
|
expimpd |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
92 |
91
|
alrimiv |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) ) |
93 |
|
mo2icl |
|- ( A. w ( ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> w = ( f ` z ) ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
94 |
92 93
|
syl |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
95 |
43 94
|
jctird |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) ) |
96 |
|
df-reu |
|- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
97 |
|
df-eu |
|- ( E! w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
98 |
96 97
|
bitri |
|- ( E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( E. w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) /\ E* w ( w e. z /\ E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
99 |
95 98
|
syl6ibr |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
100 |
99
|
expd |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
101 |
2 100
|
ralrimi |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
102 |
|
vex |
|- f e. _V |
103 |
102
|
rnex |
|- ran f e. _V |
104 |
|
p0ex |
|- { (/) } e. _V |
105 |
103 104
|
unex |
|- ( ran f u. { (/) } ) e. _V |
106 |
|
vex |
|- x e. _V |
107 |
105 106
|
unex |
|- ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V |
108 |
107
|
pwex |
|- ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) e. _V |
109 |
|
ssun1 |
|- ( ran f u. { (/) } ) C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) |
110 |
|
fvrn0 |
|- ( f ` u ) e. ( ran f u. { (/) } ) |
111 |
109 110
|
sselii |
|- ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) |
112 |
|
elun2 |
|- ( u e. x -> u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
113 |
|
prssi |
|- ( ( ( f ` u ) e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) /\ u e. ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
114 |
111 112 113
|
sylancr |
|- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
115 |
|
prex |
|- { ( f ` u ) , u } e. _V |
116 |
115
|
elpw |
|- ( { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } C_ ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
117 |
114 116
|
sylibr |
|- ( u e. x -> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
118 |
|
eleq1 |
|- ( g = { ( f ` u ) , u } -> ( g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) <-> { ( f ` u ) , u } e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) ) |
119 |
117 118
|
syl5ibrcom |
|- ( u e. x -> ( g = { ( f ` u ) , u } -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) ) |
120 |
119
|
adantld |
|- ( u e. x -> ( ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) ) |
121 |
120
|
rexlimiv |
|- ( E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) -> g e. ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) ) |
122 |
121
|
abssi |
|- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } C_ ~P ( ( ran f u. { (/) } ) u. x ) |
123 |
108 122
|
ssexi |
|- { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } e. _V |
124 |
|
rexeq |
|- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
125 |
124
|
reubidv |
|- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
126 |
125
|
imbi2d |
|- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
127 |
126
|
ralbidv |
|- ( y = { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) ) ) |
128 |
123 127
|
spcev |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. { g | E. u e. x ( u =/= (/) /\ g = { ( f ` u ) , u } ) } ( z e. v /\ w e. v ) ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
129 |
101 128
|
syl |
|- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
130 |
129
|
exlimiv |
|- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
131 |
130
|
alimi |
|- ( A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |
132 |
1 131
|
sylbi |
|- ( CHOICE -> A. x E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) ) |