Metamath Proof Explorer

Theorem dmdbr5ati

Description: Dual modular pair property in terms of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2005) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses sumdmdi.1 
|- A e. CH
sumdmdi.2 
|- B e. CH
Assertion dmdbr5ati 
|- ( A MH* B <-> A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sumdmdi.1 
 |-  A e. CH
2 sumdmdi.2 
 |-  B e. CH
3 dmdi4 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH* B -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
4 1 2 3 mp3an12 
 |-  ( x e. CH -> ( A MH* B -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
5 atelch 
 |-  ( x e. HAtoms -> x e. CH )
6 4 5 syl11 
 |-  ( A MH* B -> ( x e. HAtoms -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
7 6 a1dd 
 |-  ( A MH* B -> ( x e. HAtoms -> ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) )
8 7 ralrimiv 
 |-  ( A MH* B -> A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
9 chjcom 
 |-  ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B vH x ) = ( x vH B ) )
10 2 5 9 sylancr 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( B vH x ) = ( x vH B ) )
11 10 ineq1d 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = ( ( x vH B ) i^i ( B vH A ) ) )
12 1 2 chjcomi 
 |-  ( A vH B ) = ( B vH A )
13 12 ineq2i 
 |-  ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( x vH B ) i^i ( B vH A ) )
14 11 13 eqtr4di 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
15 14 adantr 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
16 12 sseq2i 
 |-  ( x C_ ( A vH B ) <-> x C_ ( B vH A ) )
17 16 notbii 
 |-  ( -. x C_ ( A vH B ) <-> -. x C_ ( B vH A ) )
18 2 1 atabs2i 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( -. x C_ ( B vH A ) -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = B ) )
19 18 imp 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( B vH A ) ) -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = B )
20 17 19 sylan2b 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( B vH x ) i^i ( B vH A ) ) = B )
21 15 20 eqtr3d 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = B )
22 chjcl 
 |-  ( ( x e. CH /\ B e. CH ) -> ( x vH B ) e. CH )
23 5 2 22 sylancl 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( x vH B ) e. CH )
24 chincl 
 |-  ( ( ( x vH B ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) e. CH )
25 23 1 24 sylancl 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( x vH B ) i^i A ) e. CH )
26 chub2 
 |-  ( ( B e. CH /\ ( ( x vH B ) i^i A ) e. CH ) -> B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
27 2 25 26 sylancr 
 |-  ( x e. HAtoms -> B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
28 27 adantr 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( A vH B ) ) -> B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
29 21 28 eqsstrd 
 |-  ( ( x e. HAtoms /\ -. x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
30 29 ex 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( -. x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
31 30 biantrud 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) /\ ( -. x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) ) )
32 pm4.83 
 |-  ( ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) /\ ( -. x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) <-> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
33 31 32 bitrdi 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
34 33 ralbiia 
 |-  ( A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
35 1 2 sumdmdlem2 
 |-  ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )
36 34 35 sylbi 
 |-  ( A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )
37 1 2 sumdmdi 
 |-  ( ( A +H B ) = ( A vH B ) <-> A MH* B )
38 36 37 sylib 
 |-  ( A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) -> A MH* B )
39 8 38 impbii 
 |-  ( A MH* B <-> A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
40 2 1 chub2i 
 |-  B C_ ( A vH B )
41 40 biantru 
 |-  ( x C_ ( A vH B ) <-> ( x C_ ( A vH B ) /\ B C_ ( A vH B ) ) )
42 1 2 chjcli 
 |-  ( A vH B ) e. CH
43 chlub 
 |-  ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( ( x C_ ( A vH B ) /\ B C_ ( A vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( A vH B ) ) )
44 2 42 43 mp3an23 
 |-  ( x e. CH -> ( ( x C_ ( A vH B ) /\ B C_ ( A vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( A vH B ) ) )
45 41 44 syl5bb 
 |-  ( x e. CH -> ( x C_ ( A vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( A vH B ) ) )
46 ssid 
 |-  ( x vH B ) C_ ( x vH B )
47 46 biantrur 
 |-  ( ( x vH B ) C_ ( A vH B ) <-> ( ( x vH B ) C_ ( x vH B ) /\ ( x vH B ) C_ ( A vH B ) ) )
48 ssin 
 |-  ( ( ( x vH B ) C_ ( x vH B ) /\ ( x vH B ) C_ ( A vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
49 47 48 bitri 
 |-  ( ( x vH B ) C_ ( A vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
50 45 49 bitrdi 
 |-  ( x e. CH -> ( x C_ ( A vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) ) )
51 50 biimpa 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
52 inss1 
 |-  ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH B )
53 51 52 jctil 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH B ) /\ ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) ) )
54 eqss 
 |-  ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( x vH B ) <-> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( x vH B ) /\ ( x vH B ) C_ ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) ) )
55 53 54 sylibr 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( x vH B ) )
56 55 sseq1d 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
57 2 22 mpan2 
 |-  ( x e. CH -> ( x vH B ) e. CH )
58 57 1 24 sylancl 
 |-  ( x e. CH -> ( ( x vH B ) i^i A ) e. CH )
59 2 58 26 sylancr 
 |-  ( x e. CH -> B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
60 59 biantrud 
 |-  ( x e. CH -> ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) )
61 chjcl 
 |-  ( ( ( ( x vH B ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) e. CH )
62 58 2 61 sylancl 
 |-  ( x e. CH -> ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) e. CH )
63 chlub 
 |-  ( ( x e. CH /\ B e. CH /\ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) e. CH ) -> ( ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
64 2 63 mp3an2 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) e. CH ) -> ( ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
65 62 64 mpdan 
 |-  ( x e. CH -> ( ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ B C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
66 60 65 bitrd 
 |-  ( x e. CH -> ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
67 66 adantr 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( x vH B ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
68 56 67 bitr4d 
 |-  ( ( x e. CH /\ x C_ ( A vH B ) ) -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
69 68 pm5.74da 
 |-  ( x e. CH -> ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( x C_ ( A vH B ) -> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) )
70 5 69 syl 
 |-  ( x e. HAtoms -> ( ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> ( x C_ ( A vH B ) -> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) ) )
71 70 ralbiia 
 |-  ( A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) <-> A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
72 39 71 bitri 
 |-  ( A MH* B <-> A. x e. HAtoms ( x C_ ( A vH B ) -> x C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )