| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
evlslem2.p |
|- P = ( I mPoly R ) |
| 2 |
|
evlslem2.b |
|- B = ( Base ` P ) |
| 3 |
|
evlslem2.m |
|- .x. = ( .r ` S ) |
| 4 |
|
evlslem2.z |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
| 5 |
|
evlslem2.d |
|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
| 6 |
|
evlslem2.i |
|- ( ph -> I e. W ) |
| 7 |
|
evlslem2.r |
|- ( ph -> R e. CRing ) |
| 8 |
|
evlslem2.s |
|- ( ph -> S e. CRing ) |
| 9 |
|
evlslem2.e1 |
|- ( ph -> E e. ( P GrpHom S ) ) |
| 10 |
|
evlslem2.e2 |
|- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 11 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
| 12 |
|
eqid |
|- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P ) |
| 13 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
| 14 |
5 13
|
rabex2 |
|- D e. _V |
| 15 |
14
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> D e. _V ) |
| 16 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
| 17 |
7 16
|
syl |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
| 18 |
1 6 17
|
mplringd |
|- ( ph -> P e. Ring ) |
| 19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring ) |
| 20 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
| 21 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> I e. W ) |
| 22 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> R e. Ring ) |
| 23 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B ) |
| 24 |
1 20 2 5 23
|
mplelf |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x : D --> ( Base ` R ) ) |
| 25 |
24
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( x ` j ) e. ( Base ` R ) ) |
| 26 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> j e. D ) |
| 27 |
1 5 4 20 21 22 2 25 26
|
mplmon2cl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B ) |
| 28 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> I e. W ) |
| 29 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> R e. Ring ) |
| 30 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B ) |
| 31 |
1 20 2 5 30
|
mplelf |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y : D --> ( Base ` R ) ) |
| 32 |
31
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( y ` i ) e. ( Base ` R ) ) |
| 33 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> i e. D ) |
| 34 |
1 5 4 20 28 29 2 32 33
|
mplmon2cl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B ) |
| 35 |
14
|
mptex |
|- ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V |
| 36 |
|
funmpt |
|- Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) |
| 37 |
|
fvex |
|- ( 0g ` P ) e. _V |
| 38 |
35 36 37
|
3pm3.2i |
|- ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) |
| 39 |
38
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) ) |
| 40 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B ) |
| 41 |
1 2 4 40
|
mplelsfi |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y finSupp .0. ) |
| 42 |
41
|
fsuppimpd |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin ) |
| 43 |
1 20 2 5 40
|
mplelf |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y : D --> ( Base ` R ) ) |
| 44 |
|
ssidd |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) ) |
| 45 |
14
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. _V ) |
| 46 |
4
|
fvexi |
|- .0. e. _V |
| 47 |
46
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> .0. e. _V ) |
| 48 |
43 44 45 47
|
suppssr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` j ) = .0. ) |
| 49 |
48
|
ifeq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = if ( k = j , .0. , .0. ) ) |
| 50 |
|
ifid |
|- if ( k = j , .0. , .0. ) = .0. |
| 51 |
49 50
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = .0. ) |
| 52 |
51
|
mpteq2dv |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> .0. ) ) |
| 53 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
| 54 |
17 53
|
syl |
|- ( ph -> R e. Grp ) |
| 55 |
1 5 4 12 6 54
|
mpl0 |
|- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) ) |
| 56 |
|
fconstmpt |
|- ( D X. { .0. } ) = ( k e. D |-> .0. ) |
| 57 |
55 56
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( k e. D |-> .0. ) ) |
| 58 |
57
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( 0g ` P ) = ( k e. D |-> .0. ) ) |
| 59 |
52 58
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( 0g ` P ) ) |
| 60 |
59 45
|
suppss2 |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( y supp .0. ) ) |
| 61 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( y supp .0. ) ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 62 |
39 42 60 61
|
syl12anc |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 63 |
62
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. y e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 64 |
|
fveq1 |
|- ( y = x -> ( y ` j ) = ( x ` j ) ) |
| 65 |
64
|
ifeq1d |
|- ( y = x -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) |
| 66 |
65
|
mpteq2dv |
|- ( y = x -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) |
| 67 |
66
|
mpteq2dv |
|- ( y = x -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) |
| 68 |
67
|
breq1d |
|- ( y = x -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) <-> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) ) |
| 69 |
68
|
cbvralvw |
|- ( A. y e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) <-> A. x e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 70 |
63 69
|
sylib |
|- ( ph -> A. x e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 71 |
70
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 72 |
71
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 73 |
|
equequ2 |
|- ( i = j -> ( k = i <-> k = j ) ) |
| 74 |
|
fveq2 |
|- ( i = j -> ( y ` i ) = ( y ` j ) ) |
| 75 |
73 74
|
ifbieq1d |
|- ( i = j -> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) = if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) |
| 76 |
75
|
mpteq2dv |
|- ( i = j -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) |
| 77 |
76
|
cbvmptv |
|- ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) |
| 78 |
62
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 79 |
77 78
|
eqbrtrid |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 80 |
2 11 12 15 15 19 27 34 72 79
|
gsumdixp |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 81 |
80
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 82 |
|
ringcmn |
|- ( P e. Ring -> P e. CMnd ) |
| 83 |
18 82
|
syl |
|- ( ph -> P e. CMnd ) |
| 84 |
83
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. CMnd ) |
| 85 |
|
crngring |
|- ( S e. CRing -> S e. Ring ) |
| 86 |
8 85
|
syl |
|- ( ph -> S e. Ring ) |
| 87 |
86
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> S e. Ring ) |
| 88 |
|
ringmnd |
|- ( S e. Ring -> S e. Mnd ) |
| 89 |
87 88
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> S e. Mnd ) |
| 90 |
14 14
|
xpex |
|- ( D X. D ) e. _V |
| 91 |
90
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( D X. D ) e. _V ) |
| 92 |
|
ghmmhm |
|- ( E e. ( P GrpHom S ) -> E e. ( P MndHom S ) ) |
| 93 |
9 92
|
syl |
|- ( ph -> E e. ( P MndHom S ) ) |
| 94 |
93
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E e. ( P MndHom S ) ) |
| 95 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> P e. Ring ) |
| 96 |
27
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B ) |
| 97 |
34
|
adantrl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B ) |
| 98 |
2 11
|
ringcl |
|- ( ( P e. Ring /\ ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B /\ ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B ) |
| 99 |
95 96 97 98
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B ) |
| 100 |
99
|
ralrimivva |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. j e. D A. i e. D ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B ) |
| 101 |
|
eqid |
|- ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) |
| 102 |
101
|
fmpo |
|- ( A. j e. D A. i e. D ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B <-> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) : ( D X. D ) --> B ) |
| 103 |
100 102
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) : ( D X. D ) --> B ) |
| 104 |
14 14
|
mpoex |
|- ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V |
| 105 |
101
|
mpofun |
|- Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) |
| 106 |
104 105 37
|
3pm3.2i |
|- ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) |
| 107 |
106
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) ) |
| 108 |
72
|
fsuppimpd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin ) |
| 109 |
79
|
fsuppimpd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin ) |
| 110 |
|
xpfi |
|- ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin ) -> ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin ) |
| 111 |
108 109 110
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin ) |
| 112 |
2 12 11 19 27 34 15 15
|
evlslem4 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) |
| 113 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin /\ ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 114 |
107 111 112 113
|
syl12anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) |
| 115 |
2 12 84 89 91 94 103 114
|
gsummhm |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 116 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> I e. W ) |
| 117 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> R e. CRing ) |
| 118 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
| 119 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> j e. D ) |
| 120 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> i e. D ) |
| 121 |
25
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( x ` j ) e. ( Base ` R ) ) |
| 122 |
32
|
adantrl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( y ` i ) e. ( Base ` R ) ) |
| 123 |
1 5 4 20 116 117 11 118 119 120 121 122
|
mplmon2mul |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) |
| 124 |
123
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) ) |
| 125 |
10
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 126 |
124 125
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 127 |
126
|
3impb |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D /\ i e. D ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 128 |
127
|
mpoeq3dva |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 129 |
128
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 130 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 131 |
|
eqid |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` S ) |
| 132 |
2 131
|
ghmf |
|- ( E e. ( P GrpHom S ) -> E : B --> ( Base ` S ) ) |
| 133 |
9 132
|
syl |
|- ( ph -> E : B --> ( Base ` S ) ) |
| 134 |
133
|
feqmptd |
|- ( ph -> E = ( z e. B |-> ( E ` z ) ) ) |
| 135 |
134
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E = ( z e. B |-> ( E ` z ) ) ) |
| 136 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 137 |
99 130 135 136
|
fmpoco |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 138 |
137
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 139 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) |
| 140 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) |
| 141 |
27 139 135 140
|
fmptco |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 142 |
141
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) = ( S gsum ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 143 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) |
| 144 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) |
| 145 |
34 143 135 144
|
fmptco |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 146 |
145
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( S gsum ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 147 |
142 146
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsum ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 148 |
|
eqid |
|- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S ) |
| 149 |
133
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> E : B --> ( Base ` S ) ) |
| 150 |
149 27
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) e. ( Base ` S ) ) |
| 151 |
133
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> E : B --> ( Base ` S ) ) |
| 152 |
151 34
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. ( Base ` S ) ) |
| 153 |
14
|
mptex |
|- ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V |
| 154 |
|
funmpt |
|- Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) |
| 155 |
|
fvex |
|- ( 0g ` S ) e. _V |
| 156 |
153 154 155
|
3pm3.2i |
|- ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) |
| 157 |
156
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) ) |
| 158 |
|
ssidd |
|- ( ph -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 159 |
12 148
|
ghmid |
|- ( E e. ( P GrpHom S ) -> ( E ` ( 0g ` P ) ) = ( 0g ` S ) ) |
| 160 |
9 159
|
syl |
|- ( ph -> ( E ` ( 0g ` P ) ) = ( 0g ` S ) ) |
| 161 |
14
|
mptex |
|- ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. _V |
| 162 |
161
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. _V ) |
| 163 |
37
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0g ` P ) e. _V ) |
| 164 |
158 160 162 163
|
suppssfv |
|- ( ph -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 165 |
164
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 166 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) /\ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) -> ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) ) |
| 167 |
157 108 165 166
|
syl12anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) ) |
| 168 |
14
|
mptex |
|- ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V |
| 169 |
|
funmpt |
|- Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) |
| 170 |
168 169 155
|
3pm3.2i |
|- ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) |
| 171 |
170
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) ) |
| 172 |
|
ssidd |
|- ( ph -> ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 173 |
14
|
mptex |
|- ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. _V |
| 174 |
173
|
a1i |
|- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. _V ) |
| 175 |
172 160 174 163
|
suppssfv |
|- ( ph -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 176 |
175
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) |
| 177 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) /\ ( ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) -> ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) ) |
| 178 |
171 109 176 177
|
syl12anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) ) |
| 179 |
131 3 148 15 15 87 150 152 167 178
|
gsumdixp |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsum ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 180 |
147 179
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsum ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 181 |
129 138 180
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 182 |
81 115 181
|
3eqtr2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 183 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> I e. W ) |
| 184 |
17
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. Ring ) |
| 185 |
1 5 4 2 183 184 23
|
mplcoe4 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x = ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 186 |
1 5 4 2 183 184 30
|
mplcoe4 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y = ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) |
| 187 |
185 186
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) = ( ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 188 |
187
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( E ` ( ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 189 |
185
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 190 |
27
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) : D --> B ) |
| 191 |
2 12 84 89 15 94 190 72
|
gsummhm |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsum ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 192 |
189 191
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` x ) = ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 193 |
186
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 194 |
34
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) : D --> B ) |
| 195 |
2 12 84 89 15 94 194 79
|
gsummhm |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsum ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 196 |
193 195
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` y ) = ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) |
| 197 |
192 196
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( E ` x ) .x. ( E ` y ) ) = ( ( S gsum ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsum ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) ) |
| 198 |
182 188 197
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( E ` x ) .x. ( E ` y ) ) ) |