Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fiuncmp.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
ssid |
|- A C_ A |
3 |
|
simp2 |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> A e. Fin ) |
4 |
|
sseq1 |
|- ( t = (/) -> ( t C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
5 |
|
iuneq1 |
|- ( t = (/) -> U_ x e. t B = U_ x e. (/) B ) |
6 |
|
0iun |
|- U_ x e. (/) B = (/) |
7 |
5 6
|
eqtrdi |
|- ( t = (/) -> U_ x e. t B = (/) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( t = (/) -> ( J |`t U_ x e. t B ) = ( J |`t (/) ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
|- ( t = (/) -> ( ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J |`t (/) ) e. Comp ) ) |
10 |
4 9
|
imbi12d |
|- ( t = (/) -> ( ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( (/) C_ A -> ( J |`t (/) ) e. Comp ) ) ) |
11 |
10
|
imbi2d |
|- ( t = (/) -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( (/) C_ A -> ( J |`t (/) ) e. Comp ) ) ) ) |
12 |
|
sseq1 |
|- ( t = y -> ( t C_ A <-> y C_ A ) ) |
13 |
|
iuneq1 |
|- ( t = y -> U_ x e. t B = U_ x e. y B ) |
14 |
13
|
oveq2d |
|- ( t = y -> ( J |`t U_ x e. t B ) = ( J |`t U_ x e. y B ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( t = y -> ( ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) |
16 |
12 15
|
imbi12d |
|- ( t = y -> ( ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) ) |
17 |
16
|
imbi2d |
|- ( t = y -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) ) ) |
18 |
|
sseq1 |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> ( t C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) ) |
19 |
|
iuneq1 |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> U_ x e. t B = U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |
20 |
19
|
oveq2d |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> ( J |`t U_ x e. t B ) = ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ) |
21 |
20
|
eleq1d |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) |
22 |
18 21
|
imbi12d |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) |
23 |
22
|
imbi2d |
|- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) ) |
24 |
|
sseq1 |
|- ( t = A -> ( t C_ A <-> A C_ A ) ) |
25 |
|
iuneq1 |
|- ( t = A -> U_ x e. t B = U_ x e. A B ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( t = A -> ( J |`t U_ x e. t B ) = ( J |`t U_ x e. A B ) ) |
27 |
26
|
eleq1d |
|- ( t = A -> ( ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) |
28 |
24 27
|
imbi12d |
|- ( t = A -> ( ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( A C_ A -> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) ) |
29 |
28
|
imbi2d |
|- ( t = A -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J |`t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) ) ) |
30 |
|
rest0 |
|- ( J e. Top -> ( J |`t (/) ) = { (/) } ) |
31 |
|
0cmp |
|- { (/) } e. Comp |
32 |
30 31
|
eqeltrdi |
|- ( J e. Top -> ( J |`t (/) ) e. Comp ) |
33 |
32
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( J |`t (/) ) e. Comp ) |
34 |
33
|
a1d |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( (/) C_ A -> ( J |`t (/) ) e. Comp ) ) |
35 |
|
ssun1 |
|- y C_ ( y u. { z } ) |
36 |
|
id |
|- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A ) |
37 |
35 36
|
sstrid |
|- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A ) |
38 |
37
|
imim1i |
|- ( ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) |
39 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> J e. Top ) |
40 |
|
iunxun |
|- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) |
41 |
|
simprr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) |
42 |
|
cmptop |
|- ( ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Top ) |
43 |
|
restrcl |
|- ( ( J |`t U_ x e. y B ) e. Top -> ( J e. _V /\ U_ x e. y B e. _V ) ) |
44 |
43
|
simprd |
|- ( ( J |`t U_ x e. y B ) e. Top -> U_ x e. y B e. _V ) |
45 |
41 42 44
|
3syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. y B e. _V ) |
46 |
|
nfcv |
|- F/_ t B |
47 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ t / x ]_ B |
48 |
|
csbeq1a |
|- ( x = t -> B = [_ t / x ]_ B ) |
49 |
46 47 48
|
cbviun |
|- U_ x e. { z } B = U_ t e. { z } [_ t / x ]_ B |
50 |
|
vex |
|- z e. _V |
51 |
|
csbeq1 |
|- ( t = z -> [_ t / x ]_ B = [_ z / x ]_ B ) |
52 |
50 51
|
iunxsn |
|- U_ t e. { z } [_ t / x ]_ B = [_ z / x ]_ B |
53 |
49 52
|
eqtri |
|- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B |
54 |
51
|
oveq2d |
|- ( t = z -> ( J |`t [_ t / x ]_ B ) = ( J |`t [_ z / x ]_ B ) ) |
55 |
54
|
eleq1d |
|- ( t = z -> ( ( J |`t [_ t / x ]_ B ) e. Comp <-> ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Comp ) ) |
56 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) |
57 |
|
nfv |
|- F/ t ( J |`t B ) e. Comp |
58 |
|
nfcv |
|- F/_ x J |
59 |
|
nfcv |
|- F/_ x |`t |
60 |
58 59 47
|
nfov |
|- F/_ x ( J |`t [_ t / x ]_ B ) |
61 |
60
|
nfel1 |
|- F/ x ( J |`t [_ t / x ]_ B ) e. Comp |
62 |
48
|
oveq2d |
|- ( x = t -> ( J |`t B ) = ( J |`t [_ t / x ]_ B ) ) |
63 |
62
|
eleq1d |
|- ( x = t -> ( ( J |`t B ) e. Comp <-> ( J |`t [_ t / x ]_ B ) e. Comp ) ) |
64 |
57 61 63
|
cbvralw |
|- ( A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp <-> A. t e. A ( J |`t [_ t / x ]_ B ) e. Comp ) |
65 |
56 64
|
sylib |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> A. t e. A ( J |`t [_ t / x ]_ B ) e. Comp ) |
66 |
|
ssun2 |
|- { z } C_ ( y u. { z } ) |
67 |
|
simprl |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A ) |
68 |
66 67
|
sstrid |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> { z } C_ A ) |
69 |
50
|
snss |
|- ( z e. A <-> { z } C_ A ) |
70 |
68 69
|
sylibr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> z e. A ) |
71 |
55 65 70
|
rspcdva |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Comp ) |
72 |
|
cmptop |
|- ( ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Comp -> ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Top ) |
73 |
|
restrcl |
|- ( ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Top -> ( J e. _V /\ [_ z / x ]_ B e. _V ) ) |
74 |
73
|
simprd |
|- ( ( J |`t [_ z / x ]_ B ) e. Top -> [_ z / x ]_ B e. _V ) |
75 |
71 72 74
|
3syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> [_ z / x ]_ B e. _V ) |
76 |
53 75
|
eqeltrid |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. { z } B e. _V ) |
77 |
|
unexg |
|- ( ( U_ x e. y B e. _V /\ U_ x e. { z } B e. _V ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. _V ) |
78 |
45 76 77
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. _V ) |
79 |
40 78
|
eqeltrid |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) |
80 |
|
resttop |
|- ( ( J e. Top /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top ) |
81 |
39 79 80
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top ) |
82 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
83 |
82
|
restin |
|- ( ( J e. Top /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( J |`t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) ) |
84 |
39 79 83
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( J |`t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) ) |
85 |
84
|
unieqd |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = U. ( J |`t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) ) |
86 |
|
inss2 |
|- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ U. J |
87 |
86 1
|
sseqtrri |
|- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ X |
88 |
1
|
restuni |
|- ( ( J e. Top /\ ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ X ) -> ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = U. ( J |`t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) ) |
89 |
39 87 88
|
sylancl |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = U. ( J |`t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) ) |
90 |
85 89
|
eqtr4d |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) |
91 |
53
|
uneq2i |
|- ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) = ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) |
92 |
40 91
|
eqtri |
|- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) |
93 |
92
|
ineq1i |
|- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) i^i U. J ) |
94 |
|
indir |
|- ( ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) |
95 |
93 94
|
eqtri |
|- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) |
96 |
90 95
|
eqtrdi |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) |
97 |
|
inss1 |
|- ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. y B |
98 |
|
ssun1 |
|- U_ x e. y B C_ ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) |
99 |
98 40
|
sseqtrri |
|- U_ x e. y B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B |
100 |
97 99
|
sstri |
|- ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B |
101 |
100
|
a1i |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |
102 |
|
restabs |
|- ( ( J e. Top /\ ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) ) |
103 |
39 101 79 102
|
syl3anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) ) |
104 |
82
|
restin |
|- ( ( J e. Top /\ U_ x e. y B e. _V ) -> ( J |`t U_ x e. y B ) = ( J |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) ) |
105 |
39 45 104
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. y B ) = ( J |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) ) |
106 |
103 105
|
eqtr4d |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J |`t U_ x e. y B ) ) |
107 |
106 41
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) e. Comp ) |
108 |
|
inss1 |
|- ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ [_ z / x ]_ B |
109 |
|
ssun2 |
|- U_ x e. { z } B C_ ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) |
110 |
109 40
|
sseqtrri |
|- U_ x e. { z } B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B |
111 |
53 110
|
eqsstrri |
|- [_ z / x ]_ B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B |
112 |
108 111
|
sstri |
|- ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B |
113 |
112
|
a1i |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |
114 |
|
restabs |
|- ( ( J e. Top /\ ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) |
115 |
39 113 79 114
|
syl3anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) |
116 |
82
|
restin |
|- ( ( J e. Top /\ [_ z / x ]_ B e. _V ) -> ( J |`t [_ z / x ]_ B ) = ( J |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) |
117 |
39 75 116
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t [_ z / x ]_ B ) = ( J |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) |
118 |
115 117
|
eqtr4d |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J |`t [_ z / x ]_ B ) ) |
119 |
118 71
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) e. Comp ) |
120 |
|
eqid |
|- U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |
121 |
120
|
uncmp |
|- ( ( ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top /\ U. ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) /\ ( ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) e. Comp /\ ( ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) |`t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) |
122 |
81 96 107 119 121
|
syl22anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) |
123 |
122
|
exp32 |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) |
124 |
123
|
a2d |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) |
125 |
38 124
|
syl5 |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) |
126 |
125
|
a2i |
|- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) |
127 |
126
|
a1i |
|- ( y e. Fin -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J |`t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J |`t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) ) |
128 |
11 17 23 29 34 127
|
findcard2 |
|- ( A e. Fin -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) ) |
129 |
3 128
|
mpcom |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) |
130 |
2 129
|
mpi |
|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J |`t B ) e. Comp ) -> ( J |`t U_ x e. A B ) e. Comp ) |