Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oms.m |
|- M = ( toOMeas ` R ) |
2 |
|
oms.o |
|- ( ph -> Q e. V ) |
3 |
|
oms.r |
|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) ) |
4 |
|
omssubaddlem.a |
|- ( ph -> A C_ U. Q ) |
5 |
|
omssubaddlem.m |
|- ( ph -> ( M ` A ) e. RR ) |
6 |
|
omssubaddlem.e |
|- ( ph -> E e. RR+ ) |
7 |
6
|
rpred |
|- ( ph -> E e. RR ) |
8 |
5 7
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( M ` A ) + E ) e. RR ) |
9 |
8
|
rexrd |
|- ( ph -> ( ( M ` A ) + E ) e. RR* ) |
10 |
|
omsf |
|- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) ) -> ( toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) ) |
11 |
2 3 10
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) ) |
12 |
1
|
feq1i |
|- ( M : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) ) |
13 |
11 12
|
sylibr |
|- ( ph -> M : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) ) |
14 |
3
|
fdmd |
|- ( ph -> dom R = Q ) |
15 |
14
|
unieqd |
|- ( ph -> U. dom R = U. Q ) |
16 |
4 15
|
sseqtrrd |
|- ( ph -> A C_ U. dom R ) |
17 |
2
|
uniexd |
|- ( ph -> U. Q e. _V ) |
18 |
4 17
|
jca |
|- ( ph -> ( A C_ U. Q /\ U. Q e. _V ) ) |
19 |
|
ssexg |
|- ( ( A C_ U. Q /\ U. Q e. _V ) -> A e. _V ) |
20 |
|
elpwg |
|- ( A e. _V -> ( A e. ~P U. dom R <-> A C_ U. dom R ) ) |
21 |
18 19 20
|
3syl |
|- ( ph -> ( A e. ~P U. dom R <-> A C_ U. dom R ) ) |
22 |
16 21
|
mpbird |
|- ( ph -> A e. ~P U. dom R ) |
23 |
13 22
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
24 |
|
elxrge0 |
|- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` A ) ) ) |
25 |
24
|
simprbi |
|- ( ( M ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( M ` A ) ) |
26 |
23 25
|
syl |
|- ( ph -> 0 <_ ( M ` A ) ) |
27 |
6
|
rpge0d |
|- ( ph -> 0 <_ E ) |
28 |
5 7 26 27
|
addge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( M ` A ) + E ) ) |
29 |
|
elxrge0 |
|- ( ( ( M ` A ) + E ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( M ` A ) + E ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
30 |
9 28 29
|
sylanbrc |
|- ( ph -> ( ( M ` A ) + E ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
31 |
1
|
fveq1i |
|- ( M ` A ) = ( ( toOMeas ` R ) ` A ) |
32 |
|
omsfval |
|- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ A C_ U. Q ) -> ( ( toOMeas ` R ) ` A ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) ) |
33 |
2 3 4 32
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( toOMeas ` R ) ` A ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) ) |
34 |
31 33
|
syl5req |
|- ( ph -> inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) = ( M ` A ) ) |
35 |
5 6
|
ltaddrpd |
|- ( ph -> ( M ` A ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
36 |
34 35
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
37 |
|
iccssxr |
|- ( 0 [,] +oo ) C_ RR* |
38 |
|
xrltso |
|- < Or RR* |
39 |
|
soss |
|- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( < Or RR* -> < Or ( 0 [,] +oo ) ) ) |
40 |
37 38 39
|
mp2 |
|- < Or ( 0 [,] +oo ) |
41 |
40
|
a1i |
|- ( ph -> < Or ( 0 [,] +oo ) ) |
42 |
|
omscl |
|- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. ~P U. dom R ) -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) |
43 |
2 3 22 42
|
syl3anc |
|- ( ph -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) |
44 |
|
xrge0infss |
|- ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) -> E. e e. ( 0 [,] +oo ) ( A. t e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) -. t < e /\ A. t e. ( 0 [,] +oo ) ( e < t -> E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < t ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ph -> E. e e. ( 0 [,] +oo ) ( A. t e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) -. t < e /\ A. t e. ( 0 [,] +oo ) ( e < t -> E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < t ) ) ) |
46 |
41 45
|
infglb |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ` A ) + E ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) < ( ( M ` A ) + E ) ) -> E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
47 |
30 36 46
|
mp2and |
|- ( ph -> E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < ( ( M ` A ) + E ) ) |
48 |
|
eqid |
|- ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) |
49 |
|
esumex |
|- sum* w e. x ( R ` w ) e. _V |
50 |
48 49
|
elrnmpti |
|- ( u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } u = sum* w e. x ( R ` w ) ) |
51 |
50
|
anbi1i |
|- ( ( u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) <-> ( E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
52 |
|
r19.41v |
|- ( E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) <-> ( E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
53 |
51 52
|
bitr4i |
|- ( ( u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
54 |
53
|
exbii |
|- ( E. u ( u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) <-> E. u E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
55 |
|
df-rex |
|- ( E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < ( ( M ` A ) + E ) <-> E. u ( u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
56 |
|
rexcom4 |
|- ( E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } E. u ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) <-> E. u E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
57 |
54 55 56
|
3bitr4i |
|- ( E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < ( ( M ` A ) + E ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } E. u ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
58 |
|
breq1 |
|- ( u = sum* w e. x ( R ` w ) -> ( u < ( ( M ` A ) + E ) <-> sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) ) |
59 |
58
|
biimpa |
|- ( ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) -> sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
60 |
59
|
exlimiv |
|- ( E. u ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) -> sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
61 |
60
|
reximi |
|- ( E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } E. u ( u = sum* w e. x ( R ` w ) /\ u < ( ( M ` A ) + E ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
62 |
57 61
|
sylbi |
|- ( E. u e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } |-> sum* w e. x ( R ` w ) ) u < ( ( M ` A ) + E ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |
63 |
47 62
|
syl |
|- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ _om ) } sum* w e. x ( R ` w ) < ( ( M ` A ) + E ) ) |