Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssrab |
|- ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } <-> ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) |
2 |
|
eleq2 |
|- ( x = U. y -> ( P e. x <-> P e. U. y ) ) |
3 |
|
eqeq1 |
|- ( x = U. y -> ( x = (/) <-> U. y = (/) ) ) |
4 |
2 3
|
orbi12d |
|- ( x = U. y -> ( ( P e. x \/ x = (/) ) <-> ( P e. U. y \/ U. y = (/) ) ) ) |
5 |
|
simprl |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> y C_ ~P A ) |
6 |
|
sspwuni |
|- ( y C_ ~P A <-> U. y C_ A ) |
7 |
5 6
|
sylib |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> U. y C_ A ) |
8 |
|
vuniex |
|- U. y e. _V |
9 |
8
|
elpw |
|- ( U. y e. ~P A <-> U. y C_ A ) |
10 |
7 9
|
sylibr |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> U. y e. ~P A ) |
11 |
|
neq0 |
|- ( -. U. y = (/) <-> E. z z e. U. y ) |
12 |
|
eluni2 |
|- ( z e. U. y <-> E. x e. y z e. x ) |
13 |
|
r19.29 |
|- ( ( A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) /\ E. x e. y z e. x ) -> E. x e. y ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) ) |
14 |
|
n0i |
|- ( z e. x -> -. x = (/) ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) -> -. x = (/) ) |
16 |
|
simpl |
|- ( ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) -> ( P e. x \/ x = (/) ) ) |
17 |
16
|
ord |
|- ( ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) -> ( -. P e. x -> x = (/) ) ) |
18 |
15 17
|
mt3d |
|- ( ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) -> P e. x ) |
19 |
|
simpl |
|- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) ) -> x e. y ) |
20 |
|
elunii |
|- ( ( P e. x /\ x e. y ) -> P e. U. y ) |
21 |
18 19 20
|
syl2an2 |
|- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) ) -> P e. U. y ) |
22 |
21
|
rexlimiva |
|- ( E. x e. y ( ( P e. x \/ x = (/) ) /\ z e. x ) -> P e. U. y ) |
23 |
13 22
|
syl |
|- ( ( A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) /\ E. x e. y z e. x ) -> P e. U. y ) |
24 |
23
|
ex |
|- ( A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) -> ( E. x e. y z e. x -> P e. U. y ) ) |
25 |
24
|
ad2antll |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( E. x e. y z e. x -> P e. U. y ) ) |
26 |
12 25
|
syl5bi |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( z e. U. y -> P e. U. y ) ) |
27 |
26
|
exlimdv |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( E. z z e. U. y -> P e. U. y ) ) |
28 |
11 27
|
syl5bi |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( -. U. y = (/) -> P e. U. y ) ) |
29 |
28
|
con1d |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( -. P e. U. y -> U. y = (/) ) ) |
30 |
29
|
orrd |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> ( P e. U. y \/ U. y = (/) ) ) |
31 |
4 10 30
|
elrabd |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
32 |
31
|
ex |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x \/ x = (/) ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
33 |
1 32
|
syl5bi |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
34 |
33
|
alrimiv |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
35 |
|
eleq2 |
|- ( x = y -> ( P e. x <-> P e. y ) ) |
36 |
|
eqeq1 |
|- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) ) |
37 |
35 36
|
orbi12d |
|- ( x = y -> ( ( P e. x \/ x = (/) ) <-> ( P e. y \/ y = (/) ) ) ) |
38 |
37
|
elrab |
|- ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } <-> ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) ) |
39 |
|
eleq2 |
|- ( x = z -> ( P e. x <-> P e. z ) ) |
40 |
|
eqeq1 |
|- ( x = z -> ( x = (/) <-> z = (/) ) ) |
41 |
39 40
|
orbi12d |
|- ( x = z -> ( ( P e. x \/ x = (/) ) <-> ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) |
42 |
41
|
elrab |
|- ( z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } <-> ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) |
43 |
38 42
|
anbi12i |
|- ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) <-> ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) |
44 |
|
eleq2 |
|- ( x = ( y i^i z ) -> ( P e. x <-> P e. ( y i^i z ) ) ) |
45 |
|
eqeq1 |
|- ( x = ( y i^i z ) -> ( x = (/) <-> ( y i^i z ) = (/) ) ) |
46 |
44 45
|
orbi12d |
|- ( x = ( y i^i z ) -> ( ( P e. x \/ x = (/) ) <-> ( P e. ( y i^i z ) \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) ) |
47 |
|
inss1 |
|- ( y i^i z ) C_ y |
48 |
|
simprll |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> y e. ~P A ) |
49 |
48
|
elpwid |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> y C_ A ) |
50 |
47 49
|
sstrid |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ A ) |
51 |
|
vex |
|- y e. _V |
52 |
51
|
inex1 |
|- ( y i^i z ) e. _V |
53 |
52
|
elpw |
|- ( ( y i^i z ) e. ~P A <-> ( y i^i z ) C_ A ) |
54 |
50 53
|
sylibr |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P A ) |
55 |
|
ianor |
|- ( -. ( P e. y /\ P e. z ) <-> ( -. P e. y \/ -. P e. z ) ) |
56 |
|
elin |
|- ( P e. ( y i^i z ) <-> ( P e. y /\ P e. z ) ) |
57 |
55 56
|
xchnxbir |
|- ( -. P e. ( y i^i z ) <-> ( -. P e. y \/ -. P e. z ) ) |
58 |
|
simprlr |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( P e. y \/ y = (/) ) ) |
59 |
58
|
ord |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( -. P e. y -> y = (/) ) ) |
60 |
|
simprrr |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( P e. z \/ z = (/) ) ) |
61 |
60
|
ord |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( -. P e. z -> z = (/) ) ) |
62 |
59 61
|
orim12d |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( ( -. P e. y \/ -. P e. z ) -> ( y = (/) \/ z = (/) ) ) ) |
63 |
57 62
|
syl5bi |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( -. P e. ( y i^i z ) -> ( y = (/) \/ z = (/) ) ) ) |
64 |
|
inss |
|- ( ( y C_ (/) \/ z C_ (/) ) -> ( y i^i z ) C_ (/) ) |
65 |
|
ss0b |
|- ( y C_ (/) <-> y = (/) ) |
66 |
|
ss0b |
|- ( z C_ (/) <-> z = (/) ) |
67 |
65 66
|
orbi12i |
|- ( ( y C_ (/) \/ z C_ (/) ) <-> ( y = (/) \/ z = (/) ) ) |
68 |
|
ss0b |
|- ( ( y i^i z ) C_ (/) <-> ( y i^i z ) = (/) ) |
69 |
64 67 68
|
3imtr3i |
|- ( ( y = (/) \/ z = (/) ) -> ( y i^i z ) = (/) ) |
70 |
63 69
|
syl6 |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( -. P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = (/) ) ) |
71 |
70
|
orrd |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( P e. ( y i^i z ) \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) |
72 |
46 54 71
|
elrabd |
|- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
73 |
72
|
ex |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
74 |
43 73
|
syl5bi |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
75 |
74
|
ralrimivv |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
76 |
|
pwexg |
|- ( A e. V -> ~P A e. _V ) |
77 |
76
|
adantr |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ~P A e. _V ) |
78 |
|
rabexg |
|- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. _V ) |
79 |
|
istopg |
|- ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. _V -> ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) ) |
80 |
77 78 79
|
3syl |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) ) |
81 |
34 75 80
|
mpbir2and |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. Top ) |
82 |
|
eleq2 |
|- ( x = A -> ( P e. x <-> P e. A ) ) |
83 |
|
eqeq1 |
|- ( x = A -> ( x = (/) <-> A = (/) ) ) |
84 |
82 83
|
orbi12d |
|- ( x = A -> ( ( P e. x \/ x = (/) ) <-> ( P e. A \/ A = (/) ) ) ) |
85 |
|
pwidg |
|- ( A e. V -> A e. ~P A ) |
86 |
85
|
adantr |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. ~P A ) |
87 |
|
animorrl |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( P e. A \/ A = (/) ) ) |
88 |
84 86 87
|
elrabd |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
89 |
|
elssuni |
|- ( A e. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
90 |
88 89
|
syl |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
91 |
|
ssrab2 |
|- { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } C_ ~P A |
92 |
|
sspwuni |
|- ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } C_ ~P A <-> U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } C_ A ) |
93 |
91 92
|
mpbi |
|- U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } C_ A |
94 |
93
|
a1i |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } C_ A ) |
95 |
90 94
|
eqssd |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A = U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) |
96 |
|
istopon |
|- ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. ( TopOn ` A ) <-> ( { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. Top /\ A = U. { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } ) ) |
97 |
81 95 96
|
sylanbrc |
|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } e. ( TopOn ` A ) ) |