Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwssplit1.y |
|- Y = ( W ^s U ) |
2 |
|
pwssplit1.z |
|- Z = ( W ^s V ) |
3 |
|
pwssplit1.b |
|- B = ( Base ` Y ) |
4 |
|
pwssplit1.c |
|- C = ( Base ` Z ) |
5 |
|
pwssplit1.f |
|- F = ( x e. B |-> ( x |` V ) ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
pwssplit0 |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> F : B --> C ) |
7 |
|
simp1 |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> W e. Mnd ) |
8 |
|
simp2 |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> U e. X ) |
9 |
|
simp3 |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> V C_ U ) |
10 |
8 9
|
ssexd |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> V e. _V ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` W ) = ( Base ` W ) |
12 |
2 11 4
|
pwselbasb |
|- ( ( W e. Mnd /\ V e. _V ) -> ( a e. C <-> a : V --> ( Base ` W ) ) ) |
13 |
7 10 12
|
syl2anc |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> ( a e. C <-> a : V --> ( Base ` W ) ) ) |
14 |
13
|
biimpa |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> a : V --> ( Base ` W ) ) |
15 |
|
fvex |
|- ( 0g ` W ) e. _V |
16 |
15
|
fconst |
|- ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) : ( U \ V ) --> { ( 0g ` W ) } |
17 |
16
|
a1i |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) : ( U \ V ) --> { ( 0g ` W ) } ) |
18 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> W e. Mnd ) |
19 |
|
eqid |
|- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W ) |
20 |
11 19
|
mndidcl |
|- ( W e. Mnd -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) ) |
21 |
18 20
|
syl |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( 0g ` W ) e. ( Base ` W ) ) |
22 |
21
|
snssd |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> { ( 0g ` W ) } C_ ( Base ` W ) ) |
23 |
17 22
|
fssd |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) : ( U \ V ) --> ( Base ` W ) ) |
24 |
|
disjdif |
|- ( V i^i ( U \ V ) ) = (/) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( V i^i ( U \ V ) ) = (/) ) |
26 |
|
fun |
|- ( ( ( a : V --> ( Base ` W ) /\ ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) : ( U \ V ) --> ( Base ` W ) ) /\ ( V i^i ( U \ V ) ) = (/) ) -> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : ( V u. ( U \ V ) ) --> ( ( Base ` W ) u. ( Base ` W ) ) ) |
27 |
14 23 25 26
|
syl21anc |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : ( V u. ( U \ V ) ) --> ( ( Base ` W ) u. ( Base ` W ) ) ) |
28 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> V C_ U ) |
29 |
|
undif |
|- ( V C_ U <-> ( V u. ( U \ V ) ) = U ) |
30 |
28 29
|
sylib |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( V u. ( U \ V ) ) = U ) |
31 |
|
unidm |
|- ( ( Base ` W ) u. ( Base ` W ) ) = ( Base ` W ) |
32 |
31
|
a1i |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( Base ` W ) u. ( Base ` W ) ) = ( Base ` W ) ) |
33 |
30 32
|
feq23d |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : ( V u. ( U \ V ) ) --> ( ( Base ` W ) u. ( Base ` W ) ) <-> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : U --> ( Base ` W ) ) ) |
34 |
27 33
|
mpbid |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : U --> ( Base ` W ) ) |
35 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> U e. X ) |
36 |
1 11 3
|
pwselbasb |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X ) -> ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) e. B <-> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : U --> ( Base ` W ) ) ) |
37 |
18 35 36
|
syl2anc |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) e. B <-> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) : U --> ( Base ` W ) ) ) |
38 |
34 37
|
mpbird |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) e. B ) |
39 |
5
|
fvtresfn |
|- ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) e. B -> ( F ` ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) ) = ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) |` V ) ) |
40 |
38 39
|
syl |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( F ` ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) ) = ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) |` V ) ) |
41 |
|
resundir |
|- ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) |` V ) = ( ( a |` V ) u. ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) |` V ) ) |
42 |
|
ffn |
|- ( a : V --> ( Base ` W ) -> a Fn V ) |
43 |
|
fnresdm |
|- ( a Fn V -> ( a |` V ) = a ) |
44 |
14 42 43
|
3syl |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( a |` V ) = a ) |
45 |
|
disjdifr |
|- ( ( U \ V ) i^i V ) = (/) |
46 |
|
fnconstg |
|- ( ( 0g ` W ) e. _V -> ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) Fn ( U \ V ) ) |
47 |
15 46
|
ax-mp |
|- ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) Fn ( U \ V ) |
48 |
|
fnresdisj |
|- ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) Fn ( U \ V ) -> ( ( ( U \ V ) i^i V ) = (/) <-> ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) |` V ) = (/) ) ) |
49 |
47 48
|
mp1i |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( ( U \ V ) i^i V ) = (/) <-> ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) |` V ) = (/) ) ) |
50 |
45 49
|
mpbii |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) |` V ) = (/) ) |
51 |
44 50
|
uneq12d |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( a |` V ) u. ( ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) |` V ) ) = ( a u. (/) ) ) |
52 |
41 51
|
syl5eq |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) |` V ) = ( a u. (/) ) ) |
53 |
|
un0 |
|- ( a u. (/) ) = a |
54 |
52 53
|
eqtrdi |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) |` V ) = a ) |
55 |
40 54
|
eqtr2d |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> a = ( F ` ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) ) ) |
56 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) ) ) |
57 |
56
|
rspceeqv |
|- ( ( ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) e. B /\ a = ( F ` ( a u. ( ( U \ V ) X. { ( 0g ` W ) } ) ) ) ) -> E. b e. B a = ( F ` b ) ) |
58 |
38 55 57
|
syl2anc |
|- ( ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) /\ a e. C ) -> E. b e. B a = ( F ` b ) ) |
59 |
58
|
ralrimiva |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> A. a e. C E. b e. B a = ( F ` b ) ) |
60 |
|
dffo3 |
|- ( F : B -onto-> C <-> ( F : B --> C /\ A. a e. C E. b e. B a = ( F ` b ) ) ) |
61 |
6 59 60
|
sylanbrc |
|- ( ( W e. Mnd /\ U e. X /\ V C_ U ) -> F : B -onto-> C ) |