Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r1funlim |
|- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 ) |
2 |
1
|
simpri |
|- Lim dom R1 |
3 |
|
limord |
|- ( Lim dom R1 -> Ord dom R1 ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
|- Ord dom R1 |
5 |
|
ordelon |
|- ( ( Ord dom R1 /\ A e. dom R1 ) -> A e. On ) |
6 |
4 5
|
mpan |
|- ( A e. dom R1 -> A e. On ) |
7 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. dom R1 <-> y e. dom R1 ) ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. U. ( R1 " On ) <-> y e. U. ( R1 " On ) ) ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( rank ` x ) = ( rank ` y ) ) |
10 |
|
id |
|- ( x = y -> x = y ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( rank ` x ) = x <-> ( rank ` y ) = y ) ) |
12 |
8 11
|
anbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) |
13 |
7 12
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) <-> ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) ) |
14 |
|
eleq1 |
|- ( x = A -> ( x e. dom R1 <-> A e. dom R1 ) ) |
15 |
|
eleq1 |
|- ( x = A -> ( x e. U. ( R1 " On ) <-> A e. U. ( R1 " On ) ) ) |
16 |
|
fveq2 |
|- ( x = A -> ( rank ` x ) = ( rank ` A ) ) |
17 |
|
id |
|- ( x = A -> x = A ) |
18 |
16 17
|
eqeq12d |
|- ( x = A -> ( ( rank ` x ) = x <-> ( rank ` A ) = A ) ) |
19 |
15 18
|
anbi12d |
|- ( x = A -> ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) <-> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) ) |
20 |
14 19
|
imbi12d |
|- ( x = A -> ( ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) <-> ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) ) ) |
21 |
|
ordtr1 |
|- ( Ord dom R1 -> ( ( y e. x /\ x e. dom R1 ) -> y e. dom R1 ) ) |
22 |
4 21
|
ax-mp |
|- ( ( y e. x /\ x e. dom R1 ) -> y e. dom R1 ) |
23 |
22
|
ancoms |
|- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> y e. dom R1 ) |
24 |
|
pm5.5 |
|- ( y e. dom R1 -> ( ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> ( ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) |
26 |
25
|
ralbidva |
|- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) |
27 |
|
simplr |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. x ) |
28 |
|
ordelon |
|- ( ( Ord dom R1 /\ x e. dom R1 ) -> x e. On ) |
29 |
4 28
|
mpan |
|- ( x e. dom R1 -> x e. On ) |
30 |
29
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. On ) |
31 |
|
eloni |
|- ( x e. On -> Ord x ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> Ord x ) |
33 |
|
ordelsuc |
|- ( ( y e. x /\ Ord x ) -> ( y e. x <-> suc y C_ x ) ) |
34 |
27 32 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( y e. x <-> suc y C_ x ) ) |
35 |
27 34
|
mpbid |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc y C_ x ) |
36 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. dom R1 ) |
37 |
|
limsuc |
|- ( Lim dom R1 -> ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 ) ) |
38 |
2 37
|
ax-mp |
|- ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 ) |
39 |
36 38
|
sylib |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc y e. dom R1 ) |
40 |
|
simpll |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. dom R1 ) |
41 |
|
r1ord3g |
|- ( ( suc y e. dom R1 /\ x e. dom R1 ) -> ( suc y C_ x -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) ) ) |
42 |
39 40 41
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( suc y C_ x -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) ) ) |
43 |
35 42
|
mpd |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) ) |
44 |
|
rankidb |
|- ( y e. U. ( R1 " On ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
45 |
44
|
ad2antrl |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
46 |
|
suceq |
|- ( ( rank ` y ) = y -> suc ( rank ` y ) = suc y ) |
47 |
46
|
ad2antll |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc ( rank ` y ) = suc y ) |
48 |
47
|
fveq2d |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) = ( R1 ` suc y ) ) |
49 |
45 48
|
eleqtrd |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` suc y ) ) |
50 |
43 49
|
sseldd |
|- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` x ) ) |
51 |
50
|
ex |
|- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> ( ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> y e. ( R1 ` x ) ) ) |
52 |
51
|
ralimdva |
|- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) ) ) |
53 |
52
|
imp |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) ) |
54 |
|
dfss3 |
|- ( x C_ ( R1 ` x ) <-> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) ) |
55 |
53 54
|
sylibr |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x C_ ( R1 ` x ) ) |
56 |
|
vex |
|- x e. _V |
57 |
56
|
elpw |
|- ( x e. ~P ( R1 ` x ) <-> x C_ ( R1 ` x ) ) |
58 |
55 57
|
sylibr |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. ~P ( R1 ` x ) ) |
59 |
|
r1sucg |
|- ( x e. dom R1 -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) ) |
61 |
58 60
|
eleqtrrd |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. ( R1 ` suc x ) ) |
62 |
|
r1elwf |
|- ( x e. ( R1 ` suc x ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) |
63 |
61 62
|
syl |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) |
64 |
|
rankval3b |
|- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } ) |
65 |
63 64
|
syl |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( rank ` x ) = |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } ) |
66 |
|
eleq1 |
|- ( ( rank ` y ) = y -> ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) ) |
67 |
66
|
adantl |
|- ( ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) ) |
68 |
67
|
ralimi |
|- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> A. y e. x ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) ) |
69 |
|
ralbi |
|- ( A. y e. x ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> A. y e. x y e. z ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> A. y e. x y e. z ) ) |
71 |
|
dfss3 |
|- ( x C_ z <-> A. y e. x y e. z ) |
72 |
70 71
|
bitr4di |
|- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> x C_ z ) ) |
73 |
72
|
rabbidv |
|- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = { z e. On | x C_ z } ) |
74 |
73
|
inteqd |
|- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = |^| { z e. On | x C_ z } ) |
75 |
74
|
adantl |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = |^| { z e. On | x C_ z } ) |
76 |
29
|
adantr |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. On ) |
77 |
|
intmin |
|- ( x e. On -> |^| { z e. On | x C_ z } = x ) |
78 |
76 77
|
syl |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> |^| { z e. On | x C_ z } = x ) |
79 |
65 75 78
|
3eqtrd |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( rank ` x ) = x ) |
80 |
63 79
|
jca |
|- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) |
81 |
80
|
ex |
|- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) ) |
82 |
26 81
|
sylbid |
|- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) ) |
83 |
82
|
com12 |
|- ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) ) |
84 |
83
|
a1i |
|- ( x e. On -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) ) ) |
85 |
13 20 84
|
tfis3 |
|- ( A e. On -> ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) ) |
86 |
6 85
|
mpcom |
|- ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) |