Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
resf1o.1 |
|- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C } |
2 |
|
resf1o.2 |
|- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) ) |
3 |
|
resexg |
|- ( f e. X -> ( f |` C ) e. _V ) |
4 |
3
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ f e. X ) -> ( f |` C ) e. _V ) |
5 |
|
simpr |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> g e. ( B ^m C ) ) |
6 |
|
difexg |
|- ( A e. V -> ( A \ C ) e. _V ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. _V ) |
8 |
|
snex |
|- { Z } e. _V |
9 |
|
xpexg |
|- ( ( ( A \ C ) e. _V /\ { Z } e. _V ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) |
10 |
7 8 9
|
sylancl |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) |
12 |
|
unexg |
|- ( ( g e. ( B ^m C ) /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V ) |
13 |
5 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V ) |
14 |
13
|
adantlr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V ) |
15 |
1
|
rabeq2i |
|- ( f e. X <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) ) |
16 |
15
|
anbi1i |
|- ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) |
17 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) ) |
18 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) ) |
19 |
|
elmapi |
|- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f : A --> B ) |
21 |
|
simp3 |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C C_ A ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> C C_ A ) |
23 |
20 22
|
fssresd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) : C --> B ) |
24 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> B e. W ) |
25 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> A e. V ) |
26 |
25 21
|
ssexd |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C e. _V ) |
27 |
|
elmapg |
|- ( ( B e. W /\ C e. _V ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) ) |
28 |
24 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) ) |
30 |
23 29
|
mpbird |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) e. ( B ^m C ) ) |
31 |
17 30
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) ) |
32 |
|
undif |
|- ( C C_ A <-> ( C u. ( A \ C ) ) = A ) |
33 |
32
|
biimpi |
|- ( C C_ A -> ( C u. ( A \ C ) ) = A ) |
34 |
33
|
reseq2d |
|- ( C C_ A -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) ) |
35 |
22 34
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) ) |
36 |
|
ffn |
|- ( f : A --> B -> f Fn A ) |
37 |
|
fnresdm |
|- ( f Fn A -> ( f |` A ) = f ) |
38 |
20 36 37
|
3syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` A ) = f ) |
39 |
35 38
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) ) |
40 |
|
resundi |
|- ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) |
41 |
39 40
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) ) |
42 |
17
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g ) |
43 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) |
44 |
25
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> A e. V ) |
45 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> Z e. B ) |
46 |
|
eqid |
|- ( B \ { Z } ) = ( B \ { Z } ) |
47 |
46
|
ffs2 |
|- ( ( A e. V /\ Z e. B /\ f : A --> B ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) ) |
48 |
44 45 20 47
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) ) |
49 |
|
sseqin2 |
|- ( C C_ A <-> ( A i^i C ) = C ) |
50 |
49
|
biimpi |
|- ( C C_ A -> ( A i^i C ) = C ) |
51 |
22 50
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( A i^i C ) = C ) |
52 |
43 48 51
|
3sstr4d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) ) |
53 |
|
simpl |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. ( B ^m A ) ) |
54 |
53 19 36
|
3syl |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn A ) |
55 |
|
inundif |
|- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A |
56 |
55
|
fneq2i |
|- ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) <-> f Fn A ) |
57 |
54 56
|
sylibr |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ) |
58 |
|
vex |
|- f e. _V |
59 |
58
|
a1i |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. _V ) |
60 |
|
simpr |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> Z e. B ) |
61 |
|
inindif |
|- ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) |
63 |
|
fnsuppres |
|- ( ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) /\ ( f e. _V /\ Z e. B ) /\ ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
64 |
57 59 60 62 63
|
syl121anc |
|- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
65 |
18 45 64
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
66 |
52 65
|
mpbid |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |
67 |
42 66
|
uneq12d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
68 |
41 67
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
69 |
31 68
|
jca |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) |
70 |
24
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> B e. W ) |
71 |
25
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> A e. V ) |
72 |
|
elmapi |
|- ( g e. ( B ^m C ) -> g : C --> B ) |
73 |
72
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g : C --> B ) |
74 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> Z e. B ) |
75 |
|
fconst6g |
|- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) |
76 |
74 75
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) |
77 |
|
disjdif |
|- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) |
78 |
77
|
a1i |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) |
79 |
|
fun2 |
|- ( ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) /\ ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B ) |
80 |
73 76 78 79
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B ) |
81 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
82 |
81
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) = f ) |
83 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> C C_ A ) |
84 |
83 33
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C u. ( A \ C ) ) = A ) |
85 |
82 84
|
feq12d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B <-> f : A --> B ) ) |
86 |
80 85
|
mpbid |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f : A --> B ) |
87 |
|
elmapg |
|- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) ) |
88 |
87
|
biimpar |
|- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ f : A --> B ) -> f e. ( B ^m A ) ) |
89 |
70 71 86 88
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) ) |
90 |
71 74 86 47
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) ) |
91 |
81
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) |
92 |
91
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) ) |
93 |
73
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g : C --> B ) |
94 |
93
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g Fn C ) |
95 |
|
fconstg |
|- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } ) |
96 |
95
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } ) |
97 |
96
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) ) |
98 |
77
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) |
99 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> x e. ( A \ C ) ) |
100 |
|
fvun2 |
|- ( ( g Fn C /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) /\ ( ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) /\ x e. ( A \ C ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) ) |
101 |
94 97 98 99 100
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) ) |
102 |
|
fvconst |
|- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z ) |
103 |
96 99 102
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z ) |
104 |
92 101 103
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = Z ) |
105 |
86 104
|
suppss |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ C ) |
106 |
90 105
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) |
107 |
81
|
reseq1d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f |` C ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) ) |
108 |
|
res0 |
|- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = (/) |
109 |
|
res0 |
|- ( g |` (/) ) = (/) |
110 |
108 109
|
eqtr4i |
|- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = ( g |` (/) ) |
111 |
77
|
reseq2i |
|- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) |
112 |
77
|
reseq2i |
|- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( g |` (/) ) |
113 |
110 111 112
|
3eqtr4ri |
|- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) |
114 |
113
|
a1i |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) |
115 |
|
fresaunres1 |
|- ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B /\ ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g ) |
116 |
73 76 114 115
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g ) |
117 |
107 116
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g = ( f |` C ) ) |
118 |
89 106 117
|
jca31 |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) |
119 |
69 118
|
impbida |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) ) |
120 |
16 119
|
syl5bb |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) ) |
121 |
2 4 14 120
|
f1od |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) ) |