| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
resf1o.1 |
⊢ 𝑋 = { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 } |
| 2 |
|
resf1o.2 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑓 ∈ 𝑋 ↦ ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) |
| 3 |
|
resexg |
⊢ ( 𝑓 ∈ 𝑋 → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ V ) |
| 4 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ V ) |
| 5 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) |
| 6 |
|
difexg |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ∈ V ) |
| 7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ∈ V ) |
| 8 |
|
snex |
⊢ { 𝑍 } ∈ V |
| 9 |
|
xpexg |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ∈ V ∧ { 𝑍 } ∈ V ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ∈ V ) |
| 10 |
7 8 9
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ∈ V ) |
| 11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ∈ V ) |
| 12 |
|
unexg |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ∈ V ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ∈ V ) |
| 13 |
5 11 12
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ∈ V ) |
| 14 |
13
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ∈ V ) |
| 15 |
1
|
rabeq2i |
⊢ ( 𝑓 ∈ 𝑋 ↔ ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ) |
| 16 |
15
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) |
| 17 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) |
| 18 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 19 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 21 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → 𝐶 ⊆ 𝐴 ) |
| 22 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ⊆ 𝐴 ) |
| 23 |
20 22
|
fssresd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) |
| 24 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑊 ) |
| 25 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
| 26 |
25 21
|
ssexd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ V ) |
| 27 |
|
elmapg |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ V ) → ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) ) |
| 28 |
24 26 27
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) ) |
| 29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) ) |
| 30 |
23 29
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) |
| 31 |
17 30
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) |
| 32 |
|
undif |
⊢ ( 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
| 33 |
32
|
biimpi |
⊢ ( 𝐶 ⊆ 𝐴 → ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
| 34 |
33
|
reseq2d |
⊢ ( 𝐶 ⊆ 𝐴 → ( 𝑓 ↾ ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) ) |
| 35 |
22 34
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) ) |
| 36 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴 ) |
| 37 |
|
fnresdm |
⊢ ( 𝑓 Fn 𝐴 → ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) = 𝑓 ) |
| 38 |
20 36 37
|
3syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ 𝐴 ) = 𝑓 ) |
| 39 |
35 38
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 = ( 𝑓 ↾ ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) ) |
| 40 |
|
resundi |
⊢ ( 𝑓 ↾ ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∪ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) |
| 41 |
39 40
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 = ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∪ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) ) |
| 42 |
17
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) = 𝑔 ) |
| 43 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) |
| 44 |
25
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
| 45 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
| 46 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) = ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) |
| 47 |
46
|
ffs2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑓 supp 𝑍 ) = ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ) |
| 48 |
44 45 20 47
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 supp 𝑍 ) = ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ) |
| 49 |
|
sseqin2 |
⊢ ( 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) = 𝐶 ) |
| 50 |
49
|
biimpi |
⊢ ( 𝐶 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) = 𝐶 ) |
| 51 |
22 50
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) = 𝐶 ) |
| 52 |
43 48 51
|
3sstr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 supp 𝑍 ) ⊆ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) |
| 53 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 54 |
53 19 36
|
3syl |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝑓 Fn 𝐴 ) |
| 55 |
|
inundif |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = 𝐴 |
| 56 |
55
|
fneq2i |
⊢ ( 𝑓 Fn ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ↔ 𝑓 Fn 𝐴 ) |
| 57 |
54 56
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝑓 Fn ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) |
| 58 |
|
vex |
⊢ 𝑓 ∈ V |
| 59 |
58
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝑓 ∈ V ) |
| 60 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
| 61 |
|
inindif |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ |
| 62 |
61
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ) |
| 63 |
|
fnsuppres |
⊢ ( ( 𝑓 Fn ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ) → ( ( 𝑓 supp 𝑍 ) ⊆ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 64 |
57 59 60 62 63
|
syl121anc |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑓 supp 𝑍 ) ⊆ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 65 |
18 45 64
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑓 supp 𝑍 ) ⊆ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ↔ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 66 |
52 65
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) |
| 67 |
42 66
|
uneq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ∪ ( 𝑓 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 68 |
41 67
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 69 |
31 68
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) |
| 70 |
24
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑊 ) |
| 71 |
25
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
| 72 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) → 𝑔 : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) |
| 73 |
72
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑔 : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) |
| 74 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
| 75 |
|
fconst6g |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝐵 → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) |
| 76 |
74 75
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) |
| 77 |
|
disjdif |
⊢ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ |
| 78 |
77
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ) |
| 79 |
|
fun2 |
⊢ ( ( ( 𝑔 : 𝐶 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) : ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
| 80 |
73 76 78 79
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) : ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
| 81 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 82 |
81
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) = 𝑓 ) |
| 83 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝐶 ⊆ 𝐴 ) |
| 84 |
83 33
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
| 85 |
82 84
|
feq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) : ( 𝐶 ∪ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ⟶ 𝐵 ↔ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) ) |
| 86 |
80 85
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 87 |
|
elmapg |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ↔ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) ) |
| 88 |
87
|
biimpar |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 89 |
70 71 86 88
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 90 |
71 74 86 47
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑓 supp 𝑍 ) = ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ) |
| 91 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) |
| 92 |
91
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 93 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → 𝑔 : 𝐶 ⟶ 𝐵 ) |
| 94 |
93
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → 𝑔 Fn 𝐶 ) |
| 95 |
|
fconstg |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝐵 → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ { 𝑍 } ) |
| 96 |
95
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ { 𝑍 } ) |
| 97 |
96
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) Fn ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) |
| 98 |
77
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ) |
| 99 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) |
| 100 |
|
fvun2 |
⊢ ( ( 𝑔 Fn 𝐶 ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) Fn ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 101 |
94 97 98 99 100
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 102 |
|
fvconst |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ { 𝑍 } ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ‘ 𝑥 ) = 𝑍 ) |
| 103 |
96 99 102
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ‘ 𝑥 ) = 𝑍 ) |
| 104 |
92 101 103
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = 𝑍 ) |
| 105 |
86 104
|
suppss |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑓 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐶 ) |
| 106 |
90 105
|
eqsstrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) |
| 107 |
81
|
reseq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) = ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ↾ 𝐶 ) ) |
| 108 |
|
res0 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ∅ ) = ∅ |
| 109 |
|
res0 |
⊢ ( 𝑔 ↾ ∅ ) = ∅ |
| 110 |
108 109
|
eqtr4i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ∅ ) = ( 𝑔 ↾ ∅ ) |
| 111 |
77
|
reseq2i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ∅ ) |
| 112 |
77
|
reseq2i |
⊢ ( 𝑔 ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑔 ↾ ∅ ) |
| 113 |
110 111 112
|
3eqtr4ri |
⊢ ( 𝑔 ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) |
| 114 |
113
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( 𝑔 ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) ) |
| 115 |
|
fresaunres1 |
⊢ ( ( 𝑔 : 𝐶 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) : ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑔 ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ↾ ( 𝐶 ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ↾ 𝐶 ) = 𝑔 ) |
| 116 |
73 76 114 115
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ↾ 𝐶 ) = 𝑔 ) |
| 117 |
107 116
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) |
| 118 |
89 106 117
|
jca31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ) |
| 119 |
69 118
|
impbida |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝐵 ∖ { 𝑍 } ) ) ⊆ 𝐶 ) ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ) |
| 120 |
16 119
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 = ( 𝑓 ↾ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑔 ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐶 ) × { 𝑍 } ) ) ) ) ) |
| 121 |
2 4 14 120
|
f1od |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 : 𝑋 –1-1-onto→ ( 𝐵 ↑m 𝐶 ) ) |