Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmodislmod.v |
|- V = ( Base ` R ) |
2 |
|
rmodislmod.a |
|- .+ = ( +g ` R ) |
3 |
|
rmodislmod.s |
|- .x. = ( .s ` R ) |
4 |
|
rmodislmod.f |
|- F = ( Scalar ` R ) |
5 |
|
rmodislmod.k |
|- K = ( Base ` F ) |
6 |
|
rmodislmod.p |
|- .+^ = ( +g ` F ) |
7 |
|
rmodislmod.t |
|- .X. = ( .r ` F ) |
8 |
|
rmodislmod.u |
|- .1. = ( 1r ` F ) |
9 |
|
rmodislmod.r |
|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) |
10 |
|
rmodislmod.m |
|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) |
11 |
|
rmodislmod.l |
|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) |
12 |
|
baseid |
|- Base = Slot ( Base ` ndx ) |
13 |
|
vscandxnbasendx |
|- ( .s ` ndx ) =/= ( Base ` ndx ) |
14 |
13
|
necomi |
|- ( Base ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
15 |
12 14
|
setsnid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
16 |
1 15
|
eqtri |
|- V = ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
17 |
11
|
eqcomi |
|- ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) = L |
18 |
17
|
fveq2i |
|- ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) = ( Base ` L ) |
19 |
16 18
|
eqtri |
|- V = ( Base ` L ) |
20 |
19
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> V = ( Base ` L ) ) |
21 |
|
plusgid |
|- +g = Slot ( +g ` ndx ) |
22 |
|
vscandxnplusgndx |
|- ( .s ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) |
23 |
22
|
necomi |
|- ( +g ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
24 |
21 23
|
setsnid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
25 |
11
|
fveq2i |
|- ( +g ` L ) = ( +g ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
26 |
24 2 25
|
3eqtr4i |
|- .+ = ( +g ` L ) |
27 |
26
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .+ = ( +g ` L ) ) |
28 |
|
scaid |
|- Scalar = Slot ( Scalar ` ndx ) |
29 |
|
vscandxnscandx |
|- ( .s ` ndx ) =/= ( Scalar ` ndx ) |
30 |
29
|
necomi |
|- ( Scalar ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
31 |
28 30
|
setsnid |
|- ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
32 |
11
|
fveq2i |
|- ( Scalar ` L ) = ( Scalar ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
33 |
31 4 32
|
3eqtr4i |
|- F = ( Scalar ` L ) |
34 |
33
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> F = ( Scalar ` L ) ) |
35 |
9
|
simp1i |
|- R e. Grp |
36 |
5
|
fvexi |
|- K e. _V |
37 |
1
|
fvexi |
|- V e. _V |
38 |
10
|
mpoexg |
|- ( ( K e. _V /\ V e. _V ) -> .* e. _V ) |
39 |
36 37 38
|
mp2an |
|- .* e. _V |
40 |
|
vscaid |
|- .s = Slot ( .s ` ndx ) |
41 |
40
|
setsid |
|- ( ( R e. Grp /\ .* e. _V ) -> .* = ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) ) |
42 |
35 39 41
|
mp2an |
|- .* = ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
43 |
17
|
fveq2i |
|- ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) = ( .s ` L ) |
44 |
42 43
|
eqtri |
|- .* = ( .s ` L ) |
45 |
44
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .* = ( .s ` L ) ) |
46 |
5
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> K = ( Base ` F ) ) |
47 |
6
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .+^ = ( +g ` F ) ) |
48 |
7
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .X. = ( .r ` F ) ) |
49 |
8
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .1. = ( 1r ` F ) ) |
50 |
|
crngring |
|- ( F e. CRing -> F e. Ring ) |
51 |
1
|
eqcomi |
|- ( Base ` R ) = V |
52 |
51 19
|
eqtri |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` L ) |
53 |
24 25
|
eqtr4i |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` L ) |
54 |
52 53
|
grpprop |
|- ( R e. Grp <-> L e. Grp ) |
55 |
35 54
|
mpbi |
|- L e. Grp |
56 |
55
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> L e. Grp ) |
57 |
10
|
a1i |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
58 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = b /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
59 |
58
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = b ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) /\ ( s = a /\ v = b ) ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
61 |
|
simp2 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> a e. K ) |
62 |
|
simp3 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> b e. V ) |
63 |
|
ovexd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. _V ) |
64 |
57 60 61 62 63
|
ovmpod |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( a .* b ) = ( b .x. a ) ) |
65 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V ) |
66 |
65
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
67 |
66
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
68 |
|
ringgrp |
|- ( F e. Ring -> F e. Grp ) |
69 |
5
|
grpbn0 |
|- ( F e. Grp -> K =/= (/) ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( F e. Ring -> K =/= (/) ) |
71 |
70
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> K =/= (/) ) |
72 |
9 71
|
ax-mp |
|- K =/= (/) |
73 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) ) |
74 |
72 73
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
75 |
|
ralcom |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
76 |
1
|
grpbn0 |
|- ( R e. Grp -> V =/= (/) ) |
77 |
76
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> V =/= (/) ) |
78 |
9 77
|
ax-mp |
|- V =/= (/) |
79 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) ) |
80 |
78 79
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
81 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( w .x. r ) = ( w .x. a ) ) |
82 |
81
|
eleq1d |
|- ( r = a -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. a ) e. V ) ) |
83 |
|
oveq1 |
|- ( w = b -> ( w .x. a ) = ( b .x. a ) ) |
84 |
83
|
eleq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .x. a ) e. V <-> ( b .x. a ) e. V ) ) |
85 |
82 84
|
rspc2v |
|- ( ( a e. K /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
86 |
85
|
3adant1 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
87 |
80 86
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
88 |
75 87
|
sylbi |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
89 |
67 74 88
|
3syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
90 |
89
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
91 |
9 90
|
ax-mp |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) |
92 |
64 91
|
eqeltrd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( a .* b ) e. V ) |
93 |
10
|
a1i |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
94 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = ( b .+ c ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
95 |
94
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = ( b .+ c ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
96 |
95
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( b .+ c ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
97 |
|
simp1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> a e. K ) |
98 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( R e. Grp /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
99 |
35 98
|
mp3an1 |
|- ( ( b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
100 |
99
|
3adant1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
101 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) e. _V ) |
102 |
93 96 97 100 101
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
103 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
104 |
103
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
105 |
104
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
106 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) ) |
107 |
72 106
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
108 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .+ x ) .x. a ) ) |
109 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( x .x. r ) = ( x .x. a ) ) |
110 |
81 109
|
oveq12d |
|- ( r = a -> ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) ) |
111 |
108 110
|
eqeq12d |
|- ( r = a -> ( ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) <-> ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) ) ) |
112 |
|
oveq2 |
|- ( x = c -> ( w .+ x ) = ( w .+ c ) ) |
113 |
112
|
oveq1d |
|- ( x = c -> ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .+ c ) .x. a ) ) |
114 |
|
oveq1 |
|- ( x = c -> ( x .x. a ) = ( c .x. a ) ) |
115 |
114
|
oveq2d |
|- ( x = c -> ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
116 |
113 115
|
eqeq12d |
|- ( x = c -> ( ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) <-> ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
117 |
|
oveq1 |
|- ( w = b -> ( w .+ c ) = ( b .+ c ) ) |
118 |
117
|
oveq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
119 |
83
|
oveq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
120 |
118 119
|
eqeq12d |
|- ( w = b -> ( ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) <-> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
121 |
111 116 120
|
rspc3v |
|- ( ( a e. K /\ c e. V /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
122 |
121
|
3com23 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
123 |
107 122
|
syl5com |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
124 |
105 123
|
syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
125 |
124
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
126 |
9 125
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
127 |
102 126
|
eqtrd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
128 |
127
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
129 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = b ) ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
130 |
|
simp2 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> b e. V ) |
131 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .x. a ) e. _V ) |
132 |
93 129 97 130 131
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* b ) = ( b .x. a ) ) |
133 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
134 |
133
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
135 |
134
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
136 |
|
simp3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> c e. V ) |
137 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( c .x. a ) e. _V ) |
138 |
93 135 97 136 137
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* c ) = ( c .x. a ) ) |
139 |
132 138
|
oveq12d |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
140 |
139
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
141 |
128 140
|
eqtr4d |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) ) |
142 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
143 |
142
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
144 |
143
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
145 |
|
ralrot3 |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
146 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) ) |
147 |
78 146
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
148 |
|
oveq1 |
|- ( q = a -> ( q .+^ r ) = ( a .+^ r ) ) |
149 |
148
|
oveq2d |
|- ( q = a -> ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( w .x. ( a .+^ r ) ) ) |
150 |
|
oveq2 |
|- ( q = a -> ( w .x. q ) = ( w .x. a ) ) |
151 |
150
|
oveq1d |
|- ( q = a -> ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
152 |
149 151
|
eqeq12d |
|- ( q = a -> ( ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) <-> ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) ) ) |
153 |
|
oveq2 |
|- ( r = b -> ( a .+^ r ) = ( a .+^ b ) ) |
154 |
153
|
oveq2d |
|- ( r = b -> ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( w .x. ( a .+^ b ) ) ) |
155 |
|
oveq2 |
|- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) ) |
156 |
155
|
oveq2d |
|- ( r = b -> ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) ) |
157 |
154 156
|
eqeq12d |
|- ( r = b -> ( ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) <-> ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) ) ) |
158 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
159 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. a ) = ( c .x. a ) ) |
160 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) ) |
161 |
159 160
|
oveq12d |
|- ( w = c -> ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
162 |
158 161
|
eqeq12d |
|- ( w = c -> ( ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) <-> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
163 |
152 157 162
|
rspc3v |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
164 |
147 163
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
165 |
145 164
|
sylbi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
166 |
144 165
|
syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
167 |
166
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
168 |
9 167
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
169 |
10
|
a1i |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
170 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = ( a .+^ b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
171 |
170
|
ancoms |
|- ( ( s = ( a .+^ b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
172 |
171
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .+^ b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
173 |
5 6
|
grpcl |
|- ( ( F e. Grp /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
174 |
173
|
3expib |
|- ( F e. Grp -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
175 |
68 174
|
syl |
|- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
176 |
175
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
177 |
9 176
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
178 |
177
|
3adant3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
179 |
|
simp3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V ) |
180 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) e. _V ) |
181 |
169 172 178 179 180
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
182 |
134
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
183 |
|
simp1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K ) |
184 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. a ) e. _V ) |
185 |
169 182 183 179 184
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* c ) = ( c .x. a ) ) |
186 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
187 |
186
|
ancoms |
|- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
188 |
187
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
189 |
|
simp2 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K ) |
190 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V ) |
191 |
169 188 189 179 190
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) ) |
192 |
185 191
|
oveq12d |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
193 |
168 181 192
|
3eqtr4d |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) ) |
194 |
193
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) ) |
195 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
rmodislmodlem |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) ) |
196 |
10
|
a1i |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
197 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = a /\ s = .1. ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
198 |
197
|
ancoms |
|- ( ( s = .1. /\ v = a ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
199 |
198
|
adantl |
|- ( ( ( F e. CRing /\ a e. V ) /\ ( s = .1. /\ v = a ) ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
200 |
5 8
|
ringidcl |
|- ( F e. Ring -> .1. e. K ) |
201 |
50 200
|
syl |
|- ( F e. CRing -> .1. e. K ) |
202 |
201
|
adantr |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> .1. e. K ) |
203 |
|
simpr |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> a e. V ) |
204 |
|
ovexd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) e. _V ) |
205 |
196 199 202 203 204
|
ovmpod |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( .1. .* a ) = ( a .x. .1. ) ) |
206 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. .1. ) = w ) |
207 |
206
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
208 |
207
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
209 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
210 |
72 209
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
211 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
212 |
72 211
|
ax-mp |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
213 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
214 |
78 213
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
215 |
|
oveq1 |
|- ( w = a -> ( w .x. .1. ) = ( a .x. .1. ) ) |
216 |
|
id |
|- ( w = a -> w = a ) |
217 |
215 216
|
eqeq12d |
|- ( w = a -> ( ( w .x. .1. ) = w <-> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
218 |
217
|
rspcv |
|- ( a e. V -> ( A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
219 |
218
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
220 |
214 219
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
221 |
212 220
|
syl |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
222 |
208 210 221
|
3syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
223 |
222
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
224 |
9 223
|
ax-mp |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) |
225 |
205 224
|
eqtrd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( .1. .* a ) = a ) |
226 |
20 27 34 45 46 47 48 49 50 56 92 141 194 195 225
|
islmodd |
|- ( F e. CRing -> L e. LMod ) |