Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmodislmod.v |
|- V = ( Base ` R ) |
2 |
|
rmodislmod.a |
|- .+ = ( +g ` R ) |
3 |
|
rmodislmod.s |
|- .x. = ( .s ` R ) |
4 |
|
rmodislmod.f |
|- F = ( Scalar ` R ) |
5 |
|
rmodislmod.k |
|- K = ( Base ` F ) |
6 |
|
rmodislmod.p |
|- .+^ = ( +g ` F ) |
7 |
|
rmodislmod.t |
|- .X. = ( .r ` F ) |
8 |
|
rmodislmod.u |
|- .1. = ( 1r ` F ) |
9 |
|
rmodislmod.r |
|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) |
10 |
|
rmodislmod.m |
|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) |
11 |
|
rmodislmod.l |
|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) |
12 |
|
baseid |
|- Base = Slot ( Base ` ndx ) |
13 |
|
df-base |
|- Base = Slot 1 |
14 |
|
1nn |
|- 1 e. NN |
15 |
13 14
|
ndxarg |
|- ( Base ` ndx ) = 1 |
16 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
17 |
|
1lt6 |
|- 1 < 6 |
18 |
16 17
|
ltneii |
|- 1 =/= 6 |
19 |
|
vscandx |
|- ( .s ` ndx ) = 6 |
20 |
18 19
|
neeqtrri |
|- 1 =/= ( .s ` ndx ) |
21 |
15 20
|
eqnetri |
|- ( Base ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
22 |
12 21
|
setsnid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
23 |
1 22
|
eqtri |
|- V = ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
24 |
11
|
eqcomi |
|- ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) = L |
25 |
24
|
fveq2i |
|- ( Base ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) = ( Base ` L ) |
26 |
23 25
|
eqtri |
|- V = ( Base ` L ) |
27 |
26
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> V = ( Base ` L ) ) |
28 |
|
plusgid |
|- +g = Slot ( +g ` ndx ) |
29 |
|
plusgndx |
|- ( +g ` ndx ) = 2 |
30 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
31 |
|
2lt6 |
|- 2 < 6 |
32 |
30 31
|
ltneii |
|- 2 =/= 6 |
33 |
32 19
|
neeqtrri |
|- 2 =/= ( .s ` ndx ) |
34 |
29 33
|
eqnetri |
|- ( +g ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
35 |
28 34
|
setsnid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
36 |
11
|
fveq2i |
|- ( +g ` L ) = ( +g ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
37 |
35 2 36
|
3eqtr4i |
|- .+ = ( +g ` L ) |
38 |
37
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .+ = ( +g ` L ) ) |
39 |
|
scaid |
|- Scalar = Slot ( Scalar ` ndx ) |
40 |
|
scandx |
|- ( Scalar ` ndx ) = 5 |
41 |
|
5re |
|- 5 e. RR |
42 |
|
5lt6 |
|- 5 < 6 |
43 |
41 42
|
ltneii |
|- 5 =/= 6 |
44 |
43 19
|
neeqtrri |
|- 5 =/= ( .s ` ndx ) |
45 |
40 44
|
eqnetri |
|- ( Scalar ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) |
46 |
39 45
|
setsnid |
|- ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
47 |
11
|
fveq2i |
|- ( Scalar ` L ) = ( Scalar ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
48 |
46 4 47
|
3eqtr4i |
|- F = ( Scalar ` L ) |
49 |
48
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> F = ( Scalar ` L ) ) |
50 |
9
|
simp1i |
|- R e. Grp |
51 |
5
|
fvexi |
|- K e. _V |
52 |
1
|
fvexi |
|- V e. _V |
53 |
10
|
mpoexg |
|- ( ( K e. _V /\ V e. _V ) -> .* e. _V ) |
54 |
51 52 53
|
mp2an |
|- .* e. _V |
55 |
|
vscaid |
|- .s = Slot ( .s ` ndx ) |
56 |
55
|
setsid |
|- ( ( R e. Grp /\ .* e. _V ) -> .* = ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) ) |
57 |
50 54 56
|
mp2an |
|- .* = ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) |
58 |
24
|
fveq2i |
|- ( .s ` ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. ) ) = ( .s ` L ) |
59 |
57 58
|
eqtri |
|- .* = ( .s ` L ) |
60 |
59
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .* = ( .s ` L ) ) |
61 |
5
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> K = ( Base ` F ) ) |
62 |
6
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .+^ = ( +g ` F ) ) |
63 |
7
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .X. = ( .r ` F ) ) |
64 |
8
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> .1. = ( 1r ` F ) ) |
65 |
|
crngring |
|- ( F e. CRing -> F e. Ring ) |
66 |
1
|
eqcomi |
|- ( Base ` R ) = V |
67 |
66 26
|
eqtri |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` L ) |
68 |
35 36
|
eqtr4i |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` L ) |
69 |
67 68
|
grpprop |
|- ( R e. Grp <-> L e. Grp ) |
70 |
50 69
|
mpbi |
|- L e. Grp |
71 |
70
|
a1i |
|- ( F e. CRing -> L e. Grp ) |
72 |
10
|
a1i |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
73 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = b /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
74 |
73
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = b ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
75 |
74
|
adantl |
|- ( ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) /\ ( s = a /\ v = b ) ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
76 |
|
simp2 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> a e. K ) |
77 |
|
simp3 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> b e. V ) |
78 |
|
ovexd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. _V ) |
79 |
72 75 76 77 78
|
ovmpod |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( a .* b ) = ( b .x. a ) ) |
80 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V ) |
81 |
80
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
82 |
81
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
83 |
|
ringgrp |
|- ( F e. Ring -> F e. Grp ) |
84 |
5
|
grpbn0 |
|- ( F e. Grp -> K =/= (/) ) |
85 |
83 84
|
syl |
|- ( F e. Ring -> K =/= (/) ) |
86 |
85
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> K =/= (/) ) |
87 |
9 86
|
ax-mp |
|- K =/= (/) |
88 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) ) |
89 |
87 88
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
90 |
|
ralcom |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
91 |
1
|
grpbn0 |
|- ( R e. Grp -> V =/= (/) ) |
92 |
91
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> V =/= (/) ) |
93 |
9 92
|
ax-mp |
|- V =/= (/) |
94 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) ) |
95 |
93 94
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) |
96 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( w .x. r ) = ( w .x. a ) ) |
97 |
96
|
eleq1d |
|- ( r = a -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. a ) e. V ) ) |
98 |
|
oveq1 |
|- ( w = b -> ( w .x. a ) = ( b .x. a ) ) |
99 |
98
|
eleq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .x. a ) e. V <-> ( b .x. a ) e. V ) ) |
100 |
97 99
|
rspc2v |
|- ( ( a e. K /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
101 |
100
|
3adant1 |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
102 |
95 101
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
103 |
90 102
|
sylbi |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
104 |
82 89 103
|
3syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
105 |
104
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) ) |
106 |
9 105
|
ax-mp |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( b .x. a ) e. V ) |
107 |
79 106
|
eqeltrd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. K /\ b e. V ) -> ( a .* b ) e. V ) |
108 |
10
|
a1i |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
109 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = ( b .+ c ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
110 |
109
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = ( b .+ c ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( b .+ c ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
112 |
|
simp1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> a e. K ) |
113 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( R e. Grp /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
114 |
50 113
|
mp3an1 |
|- ( ( b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
115 |
114
|
3adant1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .+ c ) e. V ) |
116 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) e. _V ) |
117 |
108 111 112 115 116
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
118 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
119 |
118
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
120 |
119
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
121 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) ) |
122 |
87 121
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) ) |
123 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .+ x ) .x. a ) ) |
124 |
|
oveq2 |
|- ( r = a -> ( x .x. r ) = ( x .x. a ) ) |
125 |
96 124
|
oveq12d |
|- ( r = a -> ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) ) |
126 |
123 125
|
eqeq12d |
|- ( r = a -> ( ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) <-> ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) ) ) |
127 |
|
oveq2 |
|- ( x = c -> ( w .+ x ) = ( w .+ c ) ) |
128 |
127
|
oveq1d |
|- ( x = c -> ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .+ c ) .x. a ) ) |
129 |
|
oveq1 |
|- ( x = c -> ( x .x. a ) = ( c .x. a ) ) |
130 |
129
|
oveq2d |
|- ( x = c -> ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
131 |
128 130
|
eqeq12d |
|- ( x = c -> ( ( ( w .+ x ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( x .x. a ) ) <-> ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
132 |
|
oveq1 |
|- ( w = b -> ( w .+ c ) = ( b .+ c ) ) |
133 |
132
|
oveq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( b .+ c ) .x. a ) ) |
134 |
98
|
oveq1d |
|- ( w = b -> ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
135 |
133 134
|
eqeq12d |
|- ( w = b -> ( ( ( w .+ c ) .x. a ) = ( ( w .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) <-> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
136 |
126 131 135
|
rspc3v |
|- ( ( a e. K /\ c e. V /\ b e. V ) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
137 |
136
|
3com23 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
138 |
122 137
|
syl5com |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
139 |
120 138
|
syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
140 |
139
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) ) |
141 |
9 140
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( b .+ c ) .x. a ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
142 |
117 141
|
eqtrd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
143 |
142
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
144 |
74
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = b ) ) -> ( v .x. s ) = ( b .x. a ) ) |
145 |
|
simp2 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> b e. V ) |
146 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( b .x. a ) e. _V ) |
147 |
108 144 112 145 146
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* b ) = ( b .x. a ) ) |
148 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
149 |
148
|
ancoms |
|- ( ( s = a /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
150 |
149
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
151 |
|
simp3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> c e. V ) |
152 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( c .x. a ) e. _V ) |
153 |
108 150 112 151 152
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( a .* c ) = ( c .x. a ) ) |
154 |
147 153
|
oveq12d |
|- ( ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) -> ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
155 |
154
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) = ( ( b .x. a ) .+ ( c .x. a ) ) ) |
156 |
143 155
|
eqtr4d |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. V /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .+ c ) ) = ( ( a .* b ) .+ ( a .* c ) ) ) |
157 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
158 |
157
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
159 |
158
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
160 |
|
ralrot3 |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
161 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) ) |
162 |
93 161
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
163 |
|
oveq1 |
|- ( q = a -> ( q .+^ r ) = ( a .+^ r ) ) |
164 |
163
|
oveq2d |
|- ( q = a -> ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( w .x. ( a .+^ r ) ) ) |
165 |
|
oveq2 |
|- ( q = a -> ( w .x. q ) = ( w .x. a ) ) |
166 |
165
|
oveq1d |
|- ( q = a -> ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) ) |
167 |
164 166
|
eqeq12d |
|- ( q = a -> ( ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) <-> ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) ) ) |
168 |
|
oveq2 |
|- ( r = b -> ( a .+^ r ) = ( a .+^ b ) ) |
169 |
168
|
oveq2d |
|- ( r = b -> ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( w .x. ( a .+^ b ) ) ) |
170 |
|
oveq2 |
|- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) ) |
171 |
170
|
oveq2d |
|- ( r = b -> ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) ) |
172 |
169 171
|
eqeq12d |
|- ( r = b -> ( ( w .x. ( a .+^ r ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. r ) ) <-> ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) ) ) |
173 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
174 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. a ) = ( c .x. a ) ) |
175 |
|
oveq1 |
|- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) ) |
176 |
174 175
|
oveq12d |
|- ( w = c -> ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
177 |
173 176
|
eqeq12d |
|- ( w = c -> ( ( w .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( w .x. a ) .+ ( w .x. b ) ) <-> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
178 |
167 172 177
|
rspc3v |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
179 |
162 178
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
180 |
160 179
|
sylbi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
181 |
159 180
|
syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
182 |
181
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) ) |
183 |
9 182
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
184 |
10
|
a1i |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
185 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = ( a .+^ b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
186 |
185
|
ancoms |
|- ( ( s = ( a .+^ b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
187 |
186
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .+^ b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
188 |
5 6
|
grpcl |
|- ( ( F e. Grp /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
189 |
188
|
3expib |
|- ( F e. Grp -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
190 |
83 189
|
syl |
|- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
191 |
190
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) ) |
192 |
9 191
|
ax-mp |
|- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
193 |
192
|
3adant3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .+^ b ) e. K ) |
194 |
|
simp3 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V ) |
195 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .+^ b ) ) e. _V ) |
196 |
184 187 193 194 195
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( c .x. ( a .+^ b ) ) ) |
197 |
149
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. a ) ) |
198 |
|
simp1 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K ) |
199 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. a ) e. _V ) |
200 |
184 197 198 194 199
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* c ) = ( c .x. a ) ) |
201 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
202 |
201
|
ancoms |
|- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
203 |
202
|
adantl |
|- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) ) |
204 |
|
simp2 |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K ) |
205 |
|
ovexd |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V ) |
206 |
184 203 204 194 205
|
ovmpod |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) ) |
207 |
200 206
|
oveq12d |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) = ( ( c .x. a ) .+ ( c .x. b ) ) ) |
208 |
183 196 207
|
3eqtr4d |
|- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) ) |
209 |
208
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .+^ b ) .* c ) = ( ( a .* c ) .+ ( b .* c ) ) ) |
210 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
rmodislmodlem |
|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) ) |
211 |
10
|
a1i |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) ) |
212 |
|
oveq12 |
|- ( ( v = a /\ s = .1. ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
213 |
212
|
ancoms |
|- ( ( s = .1. /\ v = a ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
214 |
213
|
adantl |
|- ( ( ( F e. CRing /\ a e. V ) /\ ( s = .1. /\ v = a ) ) -> ( v .x. s ) = ( a .x. .1. ) ) |
215 |
5 8
|
ringidcl |
|- ( F e. Ring -> .1. e. K ) |
216 |
65 215
|
syl |
|- ( F e. CRing -> .1. e. K ) |
217 |
216
|
adantr |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> .1. e. K ) |
218 |
|
simpr |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> a e. V ) |
219 |
|
ovexd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) e. _V ) |
220 |
211 214 217 218 219
|
ovmpod |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( .1. .* a ) = ( a .x. .1. ) ) |
221 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. .1. ) = w ) |
222 |
221
|
2ralimi |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
223 |
222
|
2ralimi |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
224 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
225 |
87 224
|
ax-mp |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
226 |
|
rspn0 |
|- ( K =/= (/) -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
227 |
87 226
|
ax-mp |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
228 |
|
rspn0 |
|- ( V =/= (/) -> ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) ) |
229 |
93 228
|
ax-mp |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> A. w e. V ( w .x. .1. ) = w ) |
230 |
|
oveq1 |
|- ( w = a -> ( w .x. .1. ) = ( a .x. .1. ) ) |
231 |
|
id |
|- ( w = a -> w = a ) |
232 |
230 231
|
eqeq12d |
|- ( w = a -> ( ( w .x. .1. ) = w <-> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
233 |
232
|
rspcv |
|- ( a e. V -> ( A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
234 |
233
|
adantl |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
235 |
229 234
|
syl5com |
|- ( A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
236 |
227 235
|
syl |
|- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. .1. ) = w -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
237 |
223 225 236
|
3syl |
|- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
238 |
237
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) ) |
239 |
9 238
|
ax-mp |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( a .x. .1. ) = a ) |
240 |
220 239
|
eqtrd |
|- ( ( F e. CRing /\ a e. V ) -> ( .1. .* a ) = a ) |
241 |
27 38 49 60 61 62 63 64 65 71 107 156 209 210 240
|
islmodd |
|- ( F e. CRing -> L e. LMod ) |