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Theorem rmodislmod

Description: The right module R induces a left module L by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to Definition df-lmod of a left module, see also islmod . (Contributed by AV, 3-Dec-2021)

Ref Expression
Hypotheses rmodislmod.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑅 )
rmodislmod.a + = ( +g𝑅 )
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅 )
rmodislmod.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑅 )
rmodislmod.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
rmodislmod.p = ( +g𝐹 )
rmodislmod.t × = ( .r𝐹 )
rmodislmod.u 1 = ( 1r𝐹 )
rmodislmod.r ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) )
rmodislmod.m = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) )
rmodislmod.l 𝐿 = ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ )
Assertion rmodislmod ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmodislmod.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑅 )
2 rmodislmod.a + = ( +g𝑅 )
3 rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅 )
4 rmodislmod.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑅 )
5 rmodislmod.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6 rmodislmod.p = ( +g𝐹 )
7 rmodislmod.t × = ( .r𝐹 )
8 rmodislmod.u 1 = ( 1r𝐹 )
9 rmodislmod.r ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) )
10 rmodislmod.m = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) )
11 rmodislmod.l 𝐿 = ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ )
12 baseid Base = Slot ( Base ‘ ndx )
13 df-base Base = Slot 1
14 1nn 1 ∈ ℕ
15 13 14 ndxarg ( Base ‘ ndx ) = 1
16 1re 1 ∈ ℝ
17 1lt6 1 < 6
18 16 17 ltneii 1 ≠ 6
19 vscandx ( ·𝑠 ‘ ndx ) = 6
20 18 19 neeqtrri 1 ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
21 15 20 eqnetri ( Base ‘ ndx ) ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
22 12 21 setsnid ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
23 1 22 eqtri 𝑉 = ( Base ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
24 11 eqcomi ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) = 𝐿
25 24 fveq2i ( Base ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) ) = ( Base ‘ 𝐿 )
26 23 25 eqtri 𝑉 = ( Base ‘ 𝐿 )
27 26 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = ( Base ‘ 𝐿 ) )
28 plusgid +g = Slot ( +g ‘ ndx )
29 plusgndx ( +g ‘ ndx ) = 2
30 2re 2 ∈ ℝ
31 2lt6 2 < 6
32 30 31 ltneii 2 ≠ 6
33 32 19 neeqtrri 2 ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
34 29 33 eqnetri ( +g ‘ ndx ) ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
35 28 34 setsnid ( +g𝑅 ) = ( +g ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
36 11 fveq2i ( +g𝐿 ) = ( +g ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
37 35 2 36 3eqtr4i + = ( +g𝐿 )
38 37 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → + = ( +g𝐿 ) )
39 scaid Scalar = Slot ( Scalar ‘ ndx )
40 scandx ( Scalar ‘ ndx ) = 5
41 5re 5 ∈ ℝ
42 5lt6 5 < 6
43 41 42 ltneii 5 ≠ 6
44 43 19 neeqtrri 5 ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
45 40 44 eqnetri ( Scalar ‘ ndx ) ≠ ( ·𝑠 ‘ ndx )
46 39 45 setsnid ( Scalar ‘ 𝑅 ) = ( Scalar ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
47 11 fveq2i ( Scalar ‘ 𝐿 ) = ( Scalar ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
48 46 4 47 3eqtr4i 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝐿 )
49 48 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝐿 ) )
50 9 simp1i 𝑅 ∈ Grp
51 5 fvexi 𝐾 ∈ V
52 1 fvexi 𝑉 ∈ V
53 10 mpoexg ( ( 𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ) → ∈ V )
54 51 52 53 mp2an ∈ V
55 vscaid ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ ndx )
56 55 setsid ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ∈ V ) → = ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) ) )
57 50 54 56 mp2an = ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) )
58 24 fveq2i ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 sSet ⟨ ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ⟩ ) ) = ( ·𝑠𝐿 )
59 57 58 eqtri = ( ·𝑠𝐿 )
60 59 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → = ( ·𝑠𝐿 ) )
61 5 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 ) )
62 6 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → = ( +g𝐹 ) )
63 7 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → × = ( .r𝐹 ) )
64 8 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → 1 = ( 1r𝐹 ) )
65 crngring ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring )
66 1 eqcomi ( Base ‘ 𝑅 ) = 𝑉
67 66 26 eqtri ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝐿 )
68 35 36 eqtr4i ( +g𝑅 ) = ( +g𝐿 )
69 67 68 grpprop ( 𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp )
70 50 69 mpbi 𝐿 ∈ Grp
71 70 a1i ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp )
72 10 a1i ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) )
73 oveq12 ( ( 𝑣 = 𝑏𝑠 = 𝑎 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
74 73 ancoms ( ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
75 74 adantl ( ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
76 simp2 ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → 𝑎𝐾 )
77 simp3 ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → 𝑏𝑉 )
78 ovexd ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ V )
79 72 75 76 77 78 ovmpod ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑎 𝑏 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
80 simpl1 ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
81 80 2ralimi ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
82 81 2ralimi ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
83 ringgrp ( 𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp )
84 5 grpbn0 ( 𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅ )
85 83 84 syl ( 𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅ )
86 85 3ad2ant2 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → 𝐾 ≠ ∅ )
87 9 86 ax-mp 𝐾 ≠ ∅
88 rspn0 ( 𝐾 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) )
89 87 88 ax-mp ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
90 ralcom ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ↔ ∀ 𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
91 1 grpbn0 ( 𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅ )
92 91 3ad2ant1 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → 𝑉 ≠ ∅ )
93 9 92 ax-mp 𝑉 ≠ ∅
94 rspn0 ( 𝑉 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ) )
95 93 94 ax-mp ( ∀ 𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ∀ 𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 )
96 oveq2 ( 𝑟 = 𝑎 → ( 𝑤 · 𝑟 ) = ( 𝑤 · 𝑎 ) )
97 96 eleq1d ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑤 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
98 oveq1 ( 𝑤 = 𝑏 → ( 𝑤 · 𝑎 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
99 98 eleq1d ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
100 97 99 rspc2v ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( ∀ 𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
101 100 3adant1 ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( ∀ 𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
102 95 101 syl5com ( ∀ 𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
103 90 102 sylbi ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
104 82 89 103 3syl ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
105 104 3ad2ant3 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 ) )
106 9 105 ax-mp ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ 𝑉 )
107 79 106 eqeltrd ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝑉 )
108 10 a1i ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) )
109 oveq12 ( ( 𝑣 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ∧ 𝑠 = 𝑎 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
110 109 ancoms ( ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
111 110 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
112 simp1 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → 𝑎𝐾 )
113 1 2 grpcl ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑏 + 𝑐 ) ∈ 𝑉 )
114 50 113 mp3an1 ( ( 𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑏 + 𝑐 ) ∈ 𝑉 )
115 114 3adant1 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑏 + 𝑐 ) ∈ 𝑉 )
116 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) ∈ V )
117 108 111 112 115 116 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
118 simpl2 ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) )
119 118 2ralimi ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) )
120 119 2ralimi ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) )
121 rspn0 ( 𝐾 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ) )
122 87 121 ax-mp ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) )
123 oveq2 ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑎 ) )
124 oveq2 ( 𝑟 = 𝑎 → ( 𝑥 · 𝑟 ) = ( 𝑥 · 𝑎 ) )
125 96 124 oveq12d ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑥 · 𝑎 ) ) )
126 123 125 eqeq12d ( 𝑟 = 𝑎 → ( ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ↔ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑥 · 𝑎 ) ) ) )
127 oveq2 ( 𝑥 = 𝑐 → ( 𝑤 + 𝑥 ) = ( 𝑤 + 𝑐 ) )
128 127 oveq1d ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑤 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
129 oveq1 ( 𝑥 = 𝑐 → ( 𝑥 · 𝑎 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
130 129 oveq2d ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑥 · 𝑎 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
131 128 130 eqeq12d ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑥 · 𝑎 ) ) ↔ ( ( 𝑤 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
132 oveq1 ( 𝑤 = 𝑏 → ( 𝑤 + 𝑐 ) = ( 𝑏 + 𝑐 ) )
133 132 oveq1d ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( 𝑤 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) )
134 98 oveq1d ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
135 133 134 eqeq12d ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( ( 𝑤 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
136 126 131 135 rspc3v ( ( 𝑎𝐾𝑐𝑉𝑏𝑉 ) → ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
137 136 3com23 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
138 122 137 syl5com ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
139 120 138 syl ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
140 139 3ad2ant3 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) ) )
141 9 140 ax-mp ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑏 + 𝑐 ) · 𝑎 ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
142 117 141 eqtrd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
143 142 adantl ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ) → ( 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
144 74 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
145 simp2 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → 𝑏𝑉 )
146 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑏 · 𝑎 ) ∈ V )
147 108 144 112 145 146 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 𝑏 ) = ( 𝑏 · 𝑎 ) )
148 oveq12 ( ( 𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑎 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
149 148 ancoms ( ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
150 149 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
151 simp3 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → 𝑐𝑉 )
152 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑎 ) ∈ V )
153 108 150 112 151 152 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 𝑐 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
154 147 153 oveq12d ( ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑎 𝑏 ) + ( 𝑎 𝑐 ) ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
155 154 adantl ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 𝑏 ) + ( 𝑎 𝑐 ) ) = ( ( 𝑏 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑎 ) ) )
156 143 155 eqtr4d ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉 ) ) → ( 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) ) = ( ( 𝑎 𝑏 ) + ( 𝑎 𝑐 ) ) )
157 simpl3 ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
158 157 2ralimi ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
159 158 2ralimi ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
160 ralrot3 ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
161 rspn0 ( 𝑉 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) )
162 93 161 ax-mp ( ∀ 𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
163 oveq1 ( 𝑞 = 𝑎 → ( 𝑞 𝑟 ) = ( 𝑎 𝑟 ) )
164 163 oveq2d ( 𝑞 = 𝑎 → ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑟 ) ) )
165 oveq2 ( 𝑞 = 𝑎 → ( 𝑤 · 𝑞 ) = ( 𝑤 · 𝑎 ) )
166 165 oveq1d ( 𝑞 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) )
167 164 166 eqeq12d ( 𝑞 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) )
168 oveq2 ( 𝑟 = 𝑏 → ( 𝑎 𝑟 ) = ( 𝑎 𝑏 ) )
169 168 oveq2d ( 𝑟 = 𝑏 → ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑟 ) ) = ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
170 oveq2 ( 𝑟 = 𝑏 → ( 𝑤 · 𝑟 ) = ( 𝑤 · 𝑏 ) )
171 170 oveq2d ( 𝑟 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑏 ) ) )
172 169 171 eqeq12d ( 𝑟 = 𝑏 → ( ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑏 ) ) ) )
173 oveq1 ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
174 oveq1 ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 · 𝑎 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
175 oveq1 ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 · 𝑏 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) )
176 174 175 oveq12d ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) )
177 173 176 eqeq12d ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑤 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑎 ) + ( 𝑤 · 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
178 167 172 177 rspc3v ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
179 162 178 syl5com ( ∀ 𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
180 160 179 sylbi ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
181 159 180 syl ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
182 181 3ad2ant3 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) ) )
183 9 182 ax-mp ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) )
184 10 a1i ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) )
185 oveq12 ( ( 𝑣 = 𝑐𝑠 = ( 𝑎 𝑏 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
186 185 ancoms ( ( 𝑠 = ( 𝑎 𝑏 ) ∧ 𝑣 = 𝑐 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
187 186 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = ( 𝑎 𝑏 ) ∧ 𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
188 5 6 grpcl ( ( 𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
189 188 3expib ( 𝐹 ∈ Grp → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) )
190 83 189 syl ( 𝐹 ∈ Ring → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) )
191 190 3ad2ant2 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) )
192 9 191 ax-mp ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
193 192 3adant3 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
194 simp3 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → 𝑐𝑉 )
195 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) ∈ V )
196 184 187 193 194 195 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑎 𝑏 ) 𝑐 ) = ( 𝑐 · ( 𝑎 𝑏 ) ) )
197 149 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
198 simp1 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → 𝑎𝐾 )
199 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑎 ) ∈ V )
200 184 197 198 194 199 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑎 𝑐 ) = ( 𝑐 · 𝑎 ) )
201 oveq12 ( ( 𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) )
202 201 ancoms ( ( 𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) )
203 202 adantl ( ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) )
204 simp2 ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → 𝑏𝐾 )
205 ovexd ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑐 · 𝑏 ) ∈ V )
206 184 203 204 194 205 ovmpod ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( 𝑏 𝑐 ) = ( 𝑐 · 𝑏 ) )
207 200 206 oveq12d ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑎 𝑐 ) + ( 𝑏 𝑐 ) ) = ( ( 𝑐 · 𝑎 ) + ( 𝑐 · 𝑏 ) ) )
208 183 196 207 3eqtr4d ( ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) → ( ( 𝑎 𝑏 ) 𝑐 ) = ( ( 𝑎 𝑐 ) + ( 𝑏 𝑐 ) ) )
209 208 adantl ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 𝑏 ) 𝑐 ) = ( ( 𝑎 𝑐 ) + ( 𝑏 𝑐 ) ) )
210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 rmodislmodlem ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ ( 𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 × 𝑏 ) 𝑐 ) = ( 𝑎 ( 𝑏 𝑐 ) ) )
211 10 a1i ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → = ( 𝑠𝐾 , 𝑣𝑉 ↦ ( 𝑣 · 𝑠 ) ) )
212 oveq12 ( ( 𝑣 = 𝑎𝑠 = 1 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑎 · 1 ) )
213 212 ancoms ( ( 𝑠 = 1𝑣 = 𝑎 ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑎 · 1 ) )
214 213 adantl ( ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) ∧ ( 𝑠 = 1𝑣 = 𝑎 ) ) → ( 𝑣 · 𝑠 ) = ( 𝑎 · 1 ) )
215 5 8 ringidcl ( 𝐹 ∈ Ring → 1𝐾 )
216 65 215 syl ( 𝐹 ∈ CRing → 1𝐾 )
217 216 adantr ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → 1𝐾 )
218 simpr ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → 𝑎𝑉 )
219 ovexd ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) ∈ V )
220 211 214 217 218 219 ovmpod ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 1 𝑎 ) = ( 𝑎 · 1 ) )
221 simprr ( ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
222 221 2ralimi ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
223 222 2ralimi ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
224 rspn0 ( 𝐾 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) )
225 87 224 ax-mp ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
226 rspn0 ( 𝐾 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) )
227 87 226 ax-mp ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
228 rspn0 ( 𝑉 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) )
229 93 228 ax-mp ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀ 𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 )
230 oveq1 ( 𝑤 = 𝑎 → ( 𝑤 · 1 ) = ( 𝑎 · 1 ) )
231 id ( 𝑤 = 𝑎𝑤 = 𝑎 )
232 230 231 eqeq12d ( 𝑤 = 𝑎 → ( ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
233 232 rspcv ( 𝑎𝑉 → ( ∀ 𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
234 233 adantl ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( ∀ 𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
235 229 234 syl5com ( ∀ 𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
236 227 235 syl ( ∀ 𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
237 223 225 236 3syl ( ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
238 237 3ad2ant3 ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀ 𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ( ( ( 𝑤 · 𝑟 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ( 𝑤 + 𝑥 ) · 𝑟 ) = ( ( 𝑤 · 𝑟 ) + ( 𝑥 · 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑤 · ( 𝑞 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) + ( 𝑤 · 𝑟 ) ) ) ∧ ( ( 𝑤 · ( 𝑞 × 𝑟 ) ) = ( ( 𝑤 · 𝑞 ) · 𝑟 ) ∧ ( 𝑤 · 1 ) = 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 ) )
239 9 238 ax-mp ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 𝑎 · 1 ) = 𝑎 )
240 220 239 eqtrd ( ( 𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉 ) → ( 1 𝑎 ) = 𝑎 )
241 27 38 49 60 61 62 63 64 65 71 107 156 209 210 240 islmodd ( 𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod )