Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
utopustuq.1 |
|- N = ( p e. X |-> ran ( v e. U |-> ( v " { p } ) ) ) |
2 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) ) |
3 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> u e. U ) |
4 |
|
eqid |
|- ( u " { p } ) = ( u " { p } ) |
5 |
|
imaeq1 |
|- ( w = u -> ( w " { p } ) = ( u " { p } ) ) |
6 |
5
|
rspceeqv |
|- ( ( u e. U /\ ( u " { p } ) = ( u " { p } ) ) -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) |
7 |
4 6
|
mpan2 |
|- ( u e. U -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) |
9 |
|
imaexg |
|- ( u e. U -> ( u " { p } ) e. _V ) |
10 |
1
|
ustuqtoplem |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ ( u " { p } ) e. _V ) -> ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) <-> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) ) |
11 |
9 10
|
sylan2 |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) <-> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) ) |
12 |
8 11
|
mpbird |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> ( u " { p } ) e. ( N ` p ) ) |
13 |
2 3 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( u " { p } ) e. ( N ` p ) ) |
14 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
15 |
2
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
16 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> p e. X ) |
17 |
|
ustimasn |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ p e. X ) -> ( u " { p } ) C_ X ) |
18 |
15 3 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( u " { p } ) C_ X ) |
19 |
18
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> q e. X ) |
20 |
14 19
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) ) |
21 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> q e. ( u " { p } ) ) |
22 |
|
simp-6l |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> U e. ( UnifOn ` X ) ) |
23 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> u e. U ) |
24 |
|
ustrel |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ u e. U ) -> Rel u ) |
25 |
22 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> Rel u ) |
26 |
|
elrelimasn |
|- ( Rel u -> ( q e. ( u " { p } ) <-> p u q ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( q e. ( u " { p } ) <-> p u q ) ) |
28 |
21 27
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p u q ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> r e. ( u " { q } ) ) |
30 |
|
elrelimasn |
|- ( Rel u -> ( r e. ( u " { q } ) <-> q u r ) ) |
31 |
25 30
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( r e. ( u " { q } ) <-> q u r ) ) |
32 |
29 31
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> q u r ) |
33 |
|
vex |
|- p e. _V |
34 |
|
vex |
|- r e. _V |
35 |
33 34
|
brco |
|- ( p ( u o. u ) r <-> E. q ( p u q /\ q u r ) ) |
36 |
35
|
biimpri |
|- ( E. q ( p u q /\ q u r ) -> p ( u o. u ) r ) |
37 |
36
|
19.23bi |
|- ( ( p u q /\ q u r ) -> p ( u o. u ) r ) |
38 |
28 32 37
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p ( u o. u ) r ) |
39 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( u o. u ) C_ w ) |
40 |
39
|
ssbrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( p ( u o. u ) r -> p w r ) ) |
41 |
38 40
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p w r ) |
42 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> w e. U ) |
43 |
|
ustrel |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> Rel w ) |
44 |
22 42 43
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> Rel w ) |
45 |
|
elrelimasn |
|- ( Rel w -> ( r e. ( w " { p } ) <-> p w r ) ) |
46 |
44 45
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( r e. ( w " { p } ) <-> p w r ) ) |
47 |
41 46
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> r e. ( w " { p } ) ) |
48 |
47
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( r e. ( u " { q } ) -> r e. ( w " { p } ) ) ) |
49 |
48
|
ssrdv |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) ) |
50 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> w e. U ) |
51 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> p e. X ) |
52 |
|
ustimasn |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ p e. X ) -> ( w " { p } ) C_ X ) |
53 |
14 50 51 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( w " { p } ) C_ X ) |
54 |
20 49 53
|
3jca |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) ) |
55 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> u e. U ) |
56 |
|
eqidd |
|- ( u e. U -> ( u " { q } ) = ( u " { q } ) ) |
57 |
|
imaeq1 |
|- ( w = u -> ( w " { q } ) = ( u " { q } ) ) |
58 |
57
|
rspceeqv |
|- ( ( u e. U /\ ( u " { q } ) = ( u " { q } ) ) -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) |
59 |
56 58
|
mpdan |
|- ( u e. U -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) |
61 |
|
imaexg |
|- ( u e. U -> ( u " { q } ) e. _V ) |
62 |
1
|
ustuqtoplem |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) e. _V ) -> ( ( u " { q } ) e. ( N ` q ) <-> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) ) |
63 |
61 62
|
sylan2 |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> ( ( u " { q } ) e. ( N ` q ) <-> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) ) |
64 |
60 63
|
mpbird |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) |
65 |
14 19 55 64
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) |
66 |
54 65
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) |
67 |
|
imaexg |
|- ( w e. U -> ( w " { p } ) e. _V ) |
68 |
|
sseq2 |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( u " { q } ) C_ b <-> ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) ) ) |
69 |
|
sseq1 |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( b C_ X <-> ( w " { p } ) C_ X ) ) |
70 |
68 69
|
3anbi23d |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) ) ) |
71 |
70
|
anbi1d |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) ) |
72 |
71
|
anbi1d |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) <-> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) ) ) |
73 |
|
eleq1 |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( b e. ( N ` q ) <-> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
74 |
72 73
|
imbi12d |
|- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> b e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) ) |
75 |
|
sseq1 |
|- ( a = ( u " { q } ) -> ( a C_ b <-> ( u " { q } ) C_ b ) ) |
76 |
75
|
3anbi2d |
|- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) ) ) |
77 |
|
eleq1 |
|- ( a = ( u " { q } ) -> ( a e. ( N ` q ) <-> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) |
78 |
76 77
|
anbi12d |
|- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) ) |
79 |
78
|
imbi1d |
|- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) ) |
80 |
|
eleq1 |
|- ( p = q -> ( p e. X <-> q e. X ) ) |
81 |
80
|
anbi2d |
|- ( p = q -> ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) <-> ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) ) ) |
82 |
81
|
3anbi1d |
|- ( p = q -> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) ) ) |
83 |
|
fveq2 |
|- ( p = q -> ( N ` p ) = ( N ` q ) ) |
84 |
83
|
eleq2d |
|- ( p = q -> ( a e. ( N ` p ) <-> a e. ( N ` q ) ) ) |
85 |
82 84
|
anbi12d |
|- ( p = q -> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) ) ) |
86 |
83
|
eleq2d |
|- ( p = q -> ( b e. ( N ` p ) <-> b e. ( N ` q ) ) ) |
87 |
85 86
|
imbi12d |
|- ( p = q -> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) ) |
88 |
1
|
ustuqtop1 |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) |
89 |
87 88
|
chvarvv |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) |
90 |
79 89
|
vtoclg |
|- ( ( u " { q } ) e. _V -> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) |
91 |
61 90
|
syl |
|- ( u e. U -> ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) |
92 |
91
|
impcom |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> b e. ( N ` q ) ) |
93 |
74 92
|
vtoclg |
|- ( ( w " { p } ) e. _V -> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
94 |
67 93
|
syl |
|- ( w e. U -> ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
95 |
94
|
impcom |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) /\ w e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
96 |
66 55 50 95
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
97 |
96
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
98 |
|
raleq |
|- ( b = ( u " { p } ) -> ( A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) <-> A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
99 |
98
|
rspcev |
|- ( ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) /\ A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
100 |
13 97 99
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
101 |
|
ustexhalf |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> E. u e. U ( u o. u ) C_ w ) |
102 |
101
|
adantlr |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) -> E. u e. U ( u o. u ) C_ w ) |
103 |
100 102
|
r19.29a |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
104 |
103
|
adantr |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) |
105 |
|
eleq1 |
|- ( a = ( w " { p } ) -> ( a e. ( N ` q ) <-> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
106 |
105
|
rexralbidv |
|- ( a = ( w " { p } ) -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
107 |
106
|
adantl |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) |
108 |
104 107
|
mpbird |
|- ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) |
109 |
108
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) |
110 |
|
vex |
|- a e. _V |
111 |
1
|
ustuqtoplem |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. _V ) -> ( a e. ( N ` p ) <-> E. w e. U a = ( w " { p } ) ) ) |
112 |
110 111
|
mpan2 |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) -> ( a e. ( N ` p ) <-> E. w e. U a = ( w " { p } ) ) ) |
113 |
112
|
biimpa |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. w e. U a = ( w " { p } ) ) |
114 |
109 113
|
r19.29a |
|- ( ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) |