Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
wallispilem3.1 |
|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) _pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) |
2 |
|
breq2 |
|- ( w = 0 -> ( m <_ w <-> m <_ 0 ) ) |
3 |
2
|
imbi1d |
|- ( w = 0 -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
4 |
3
|
ralbidv |
|- ( w = 0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
5 |
|
breq2 |
|- ( w = y -> ( m <_ w <-> m <_ y ) ) |
6 |
5
|
imbi1d |
|- ( w = y -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
7 |
6
|
ralbidv |
|- ( w = y -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
8 |
|
breq2 |
|- ( w = ( y + 1 ) -> ( m <_ w <-> m <_ ( y + 1 ) ) ) |
9 |
8
|
imbi1d |
|- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
10 |
9
|
ralbidv |
|- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
11 |
|
breq2 |
|- ( w = N -> ( m <_ w <-> m <_ N ) ) |
12 |
11
|
imbi1d |
|- ( w = N -> ( ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
|- ( w = N -> ( A. m e. NN0 ( m <_ w -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
14 |
|
simpr |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m <_ 0 ) |
15 |
|
nn0ge0 |
|- ( m e. NN0 -> 0 <_ m ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 <_ m ) |
17 |
|
nn0re |
|- ( m e. NN0 -> m e. RR ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m e. RR ) |
19 |
|
0red |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> 0 e. RR ) |
20 |
18 19
|
letri3d |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( m = 0 <-> ( m <_ 0 /\ 0 <_ m ) ) ) |
21 |
14 16 20
|
mpbir2and |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> m = 0 ) |
22 |
21
|
fveq2d |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) = ( I ` 0 ) ) |
23 |
1
|
wallispilem2 |
|- ( ( I ` 0 ) = _pi /\ ( I ` 1 ) = 2 /\ ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
simp1i |
|- ( I ` 0 ) = _pi |
25 |
|
pirp |
|- _pi e. RR+ |
26 |
24 25
|
eqeltri |
|- ( I ` 0 ) e. RR+ |
27 |
22 26
|
eqeltrdi |
|- ( ( m e. NN0 /\ m <_ 0 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
28 |
27
|
ex |
|- ( m e. NN0 -> ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
29 |
28
|
rgen |
|- A. m e. NN0 ( m <_ 0 -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
30 |
|
nfv |
|- F/ m y e. NN0 |
31 |
|
nfra1 |
|- F/ m A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
32 |
30 31
|
nfan |
|- F/ m ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
33 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
34 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 ) |
35 |
|
rsp |
|- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
36 |
33 34 35
|
sylc |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
37 |
|
fveq2 |
|- ( m = 1 -> ( I ` m ) = ( I ` 1 ) ) |
38 |
23
|
simp2i |
|- ( I ` 1 ) = 2 |
39 |
|
2rp |
|- 2 e. RR+ |
40 |
38 39
|
eqeltri |
|- ( I ` 1 ) e. RR+ |
41 |
37 40
|
eqeltrdi |
|- ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
42 |
41
|
a1i |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
43 |
23
|
simp3i |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) |
44 |
43
|
adantl |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) = ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) ) |
45 |
|
eluz2nn |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. NN ) |
46 |
|
nnre |
|- ( m e. NN -> m e. RR ) |
47 |
|
1red |
|- ( m e. NN -> 1 e. RR ) |
48 |
46 47
|
resubcld |
|- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. RR ) |
49 |
45 48
|
syl |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR ) |
50 |
|
1m1e0 |
|- ( 1 - 1 ) = 0 |
51 |
|
1red |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR ) |
52 |
|
eluzelre |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR ) |
53 |
|
eluz2b2 |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( m e. NN /\ 1 < m ) ) |
54 |
53
|
simprbi |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < m ) |
55 |
51 52 51 54
|
ltsub1dd |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - 1 ) < ( m - 1 ) ) |
56 |
50 55
|
eqbrtrrid |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( m - 1 ) ) |
57 |
49 56
|
elrpd |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 1 ) e. RR+ ) |
58 |
45
|
nnrpd |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> m e. RR+ ) |
59 |
57 58
|
rpdivcld |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( m - 1 ) / m ) e. RR+ ) |
61 |
|
breq1 |
|- ( m = k -> ( m <_ y <-> k <_ y ) ) |
62 |
|
fveq2 |
|- ( m = k -> ( I ` m ) = ( I ` k ) ) |
63 |
62
|
eleq1d |
|- ( m = k -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` k ) e. RR+ ) ) |
64 |
61 63
|
imbi12d |
|- ( m = k -> ( ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) ) |
65 |
64
|
cbvralvw |
|- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) |
66 |
65
|
biimpi |
|- ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) |
67 |
66
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) ) |
68 |
|
uznn0sub |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m - 2 ) e. NN0 ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) e. NN0 ) |
70 |
67 69
|
jca |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) ) |
71 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. NN0 ) |
72 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) ) |
73 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
74 |
|
simp2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> m = ( y + 1 ) ) |
75 |
74
|
oveq1d |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( ( y + 1 ) - 2 ) ) |
76 |
|
nn0re |
|- ( y e. NN0 -> y e. RR ) |
77 |
76
|
3ad2ant1 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. RR ) |
78 |
77
|
recnd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. CC ) |
79 |
|
df-2 |
|- 2 = ( 1 + 1 ) |
80 |
79
|
a1i |
|- ( y e. CC -> 2 = ( 1 + 1 ) ) |
81 |
80
|
oveq2d |
|- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) ) |
82 |
|
id |
|- ( y e. CC -> y e. CC ) |
83 |
|
1cnd |
|- ( y e. CC -> 1 e. CC ) |
84 |
82 83 83
|
pnpcan2d |
|- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( y - 1 ) ) |
85 |
81 84
|
eqtrd |
|- ( y e. CC -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) ) |
86 |
78 85
|
syl |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y + 1 ) - 2 ) = ( y - 1 ) ) |
87 |
75 86
|
eqtrd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) = ( y - 1 ) ) |
88 |
77
|
lem1d |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y - 1 ) <_ y ) |
89 |
87 88
|
eqbrtrd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y ) |
90 |
71 72 73 89
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( m - 2 ) <_ y ) |
91 |
|
breq1 |
|- ( k = ( m - 2 ) -> ( k <_ y <-> ( m - 2 ) <_ y ) ) |
92 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( m - 2 ) -> ( I ` k ) = ( I ` ( m - 2 ) ) ) |
93 |
92
|
eleq1d |
|- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( I ` k ) e. RR+ <-> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) |
94 |
91 93
|
imbi12d |
|- ( k = ( m - 2 ) -> ( ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) <-> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) ) |
95 |
94
|
rspccva |
|- ( ( A. k e. NN0 ( k <_ y -> ( I ` k ) e. RR+ ) /\ ( m - 2 ) e. NN0 ) -> ( ( m - 2 ) <_ y -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) ) |
96 |
70 90 95
|
sylc |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` ( m - 2 ) ) e. RR+ ) |
97 |
60 96
|
rpmulcld |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( m - 1 ) / m ) x. ( I ` ( m - 2 ) ) ) e. RR+ ) |
98 |
44 97
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
99 |
98
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
100 |
99
|
ex |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
101 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 ) |
102 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 ) |
103 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) ) |
104 |
|
simp3 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) ) |
105 |
|
nn0p1nn |
|- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN ) |
106 |
105
|
3ad2ant1 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN ) |
107 |
104 106
|
eqeltrd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. NN ) |
108 |
|
elnnuz |
|- ( m e. NN <-> m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
109 |
107 108
|
sylib |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
110 |
|
uzp1 |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) ) |
111 |
|
1p1e2 |
|- ( 1 + 1 ) = 2 |
112 |
111
|
fveq2i |
|- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 ) |
113 |
112
|
eleq2i |
|- ( m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
114 |
113
|
orbi2i |
|- ( ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) <-> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
115 |
110 114
|
sylib |
|- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
116 |
109 115
|
syl |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
117 |
101 102 103 116
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m = 1 \/ m e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
118 |
42 100 117
|
mpjaod |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
119 |
118
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
120 |
119
|
ex |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m = ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
121 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 ) |
122 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) ) |
123 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 ) |
124 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN0 ) |
125 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) ) |
126 |
|
simpr |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m = 0 ) |
127 |
|
nn0ge0 |
|- ( y e. NN0 -> 0 <_ y ) |
128 |
127
|
adantr |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> 0 <_ y ) |
129 |
126 128
|
eqbrtrd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m = 0 ) -> m <_ y ) |
130 |
129
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m = 0 ) -> m <_ y ) |
131 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> y e. NN0 ) |
132 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN ) |
133 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m < ( y + 1 ) ) |
134 |
|
simp3 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m < ( y + 1 ) ) |
135 |
|
simp2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. NN ) |
136 |
|
simp1 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN0 ) |
137 |
|
0red |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 e. RR ) |
138 |
48
|
3ad2ant2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) e. RR ) |
139 |
76
|
3ad2ant1 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. RR ) |
140 |
|
nnm1ge0 |
|- ( m e. NN -> 0 <_ ( m - 1 ) ) |
141 |
140
|
3ad2ant2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 <_ ( m - 1 ) ) |
142 |
46
|
3ad2ant2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m e. RR ) |
143 |
|
1red |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR ) |
144 |
142 143 139
|
ltsubaddd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( ( m - 1 ) < y <-> m < ( y + 1 ) ) ) |
145 |
134 144
|
mpbird |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m - 1 ) < y ) |
146 |
137 138 139 141 145
|
lelttrd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> 0 < y ) |
147 |
146
|
gt0ne0d |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y =/= 0 ) |
148 |
|
elnnne0 |
|- ( y e. NN <-> ( y e. NN0 /\ y =/= 0 ) ) |
149 |
136 147 148
|
sylanbrc |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> y e. NN ) |
150 |
|
nnleltp1 |
|- ( ( m e. NN /\ y e. NN ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) ) |
151 |
135 149 150
|
syl2anc |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y <-> m < ( y + 1 ) ) ) |
152 |
134 151
|
mpbird |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y ) |
153 |
131 132 133 152
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) /\ m e. NN ) -> m <_ y ) |
154 |
|
elnn0 |
|- ( m e. NN0 <-> ( m e. NN \/ m = 0 ) ) |
155 |
154
|
biimpi |
|- ( m e. NN0 -> ( m e. NN \/ m = 0 ) ) |
156 |
155
|
orcomd |
|- ( m e. NN0 -> ( m = 0 \/ m e. NN ) ) |
157 |
156
|
3ad2ant2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m = 0 \/ m e. NN ) ) |
158 |
130 153 157
|
mpjaodan |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> m <_ y ) |
159 |
158
|
orcd |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
160 |
123 124 125 159
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m < ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
161 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> m = ( y + 1 ) ) |
162 |
161
|
olcd |
|- ( ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) /\ m = ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
163 |
|
simp3 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m <_ ( y + 1 ) ) |
164 |
17
|
3ad2ant2 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> m e. RR ) |
165 |
76
|
3ad2ant1 |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> y e. RR ) |
166 |
|
1red |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> 1 e. RR ) |
167 |
165 166
|
readdcld |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. RR ) |
168 |
164 167
|
leloed |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ ( y + 1 ) <-> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) ) |
169 |
163 168
|
mpbid |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m < ( y + 1 ) \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
170 |
160 162 169
|
mpjaodan |
|- ( ( y e. NN0 /\ m e. NN0 /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
171 |
121 34 122 170
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( m <_ y \/ m = ( y + 1 ) ) ) |
172 |
36 120 171
|
mpjaod |
|- ( ( ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) /\ m e. NN0 ) /\ m <_ ( y + 1 ) ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) |
173 |
172
|
exp31 |
|- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
174 |
32 173
|
ralrimi |
|- ( ( y e. NN0 /\ A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
175 |
174
|
ex |
|- ( y e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ y -> ( I ` m ) e. RR+ ) -> A. m e. NN0 ( m <_ ( y + 1 ) -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) ) |
176 |
4 7 10 13 29 175
|
nn0ind |
|- ( N e. NN0 -> A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) ) |
177 |
176
|
ancri |
|- ( N e. NN0 -> ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) ) |
178 |
|
nn0re |
|- ( N e. NN0 -> N e. RR ) |
179 |
178
|
leidd |
|- ( N e. NN0 -> N <_ N ) |
180 |
|
breq1 |
|- ( m = N -> ( m <_ N <-> N <_ N ) ) |
181 |
|
fveq2 |
|- ( m = N -> ( I ` m ) = ( I ` N ) ) |
182 |
181
|
eleq1d |
|- ( m = N -> ( ( I ` m ) e. RR+ <-> ( I ` N ) e. RR+ ) ) |
183 |
180 182
|
imbi12d |
|- ( m = N -> ( ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) <-> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) ) |
184 |
183
|
rspccva |
|- ( ( A. m e. NN0 ( m <_ N -> ( I ` m ) e. RR+ ) /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ N -> ( I ` N ) e. RR+ ) ) |
185 |
177 179 184
|
sylc |
|- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) e. RR+ ) |