Metamath Proof Explorer


Theorem rdgssun

Description: In a recursive definition where each step expands on the previous one using a union, every previous step is a subset of every later step. (Contributed by ML, 1-Apr-2022)

Ref Expression
Hypotheses rdgssun.1 F = w V w B
rdgssun.2 B V
Assertion rdgssun X On Y X rec F A Y rec F A X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rdgssun.1 F = w V w B
2 rdgssun.2 B V
3 nfsbc1v x [˙ / x]˙ y x rec F A y rec F A x
4 0ex V
5 rzal x = y x rec F A y rec F A x
6 sbceq1a x = y x rec F A y rec F A x [˙ / x]˙ y x rec F A y rec F A x
7 5 6 mpbid x = [˙ / x]˙ y x rec F A y rec F A x
8 3 4 7 vtoclef [˙ / x]˙ y x rec F A y rec F A x
9 vex y V
10 9 elsuc y suc x y x y = x
11 ssun1 rec F A x rec F A x rec F A x / w B
12 fvex rec F A x V
13 2 csbex rec F A x / w B V
14 12 13 unex rec F A x rec F A x / w B V
15 nfcv _ w A
16 nfcv _ w x
17 nfmpt1 _ w w V w B
18 1 17 nfcxfr _ w F
19 18 15 nfrdg _ w rec F A
20 19 16 nffv _ w rec F A x
21 20 nfcsb1 _ w rec F A x / w B
22 20 21 nfun _ w rec F A x rec F A x / w B
23 rdgeq1 F = w V w B rec F A = rec w V w B A
24 1 23 ax-mp rec F A = rec w V w B A
25 id w = rec F A x w = rec F A x
26 csbeq1a w = rec F A x B = rec F A x / w B
27 25 26 uneq12d w = rec F A x w B = rec F A x rec F A x / w B
28 15 16 22 24 27 rdgsucmptf x On rec F A x rec F A x / w B V rec F A suc x = rec F A x rec F A x / w B
29 14 28 mpan2 x On rec F A suc x = rec F A x rec F A x / w B
30 11 29 sseqtrrid x On rec F A x rec F A suc x
31 sstr2 rec F A y rec F A x rec F A x rec F A suc x rec F A y rec F A suc x
32 30 31 syl5com x On rec F A y rec F A x rec F A y rec F A suc x
33 32 imim2d x On y x rec F A y rec F A x y x rec F A y rec F A suc x
34 33 imp x On y x rec F A y rec F A x y x rec F A y rec F A suc x
35 fveq2 y = x rec F A y = rec F A x
36 35 sseq1d y = x rec F A y rec F A suc x rec F A x rec F A suc x
37 30 36 syl5ibrcom x On y = x rec F A y rec F A suc x
38 37 adantr x On y x rec F A y rec F A x y = x rec F A y rec F A suc x
39 34 38 jaod x On y x rec F A y rec F A x y x y = x rec F A y rec F A suc x
40 10 39 syl5bi x On y x rec F A y rec F A x y suc x rec F A y rec F A suc x
41 40 ex x On y x rec F A y rec F A x y suc x rec F A y rec F A suc x
42 41 ralimdv2 x On y x rec F A y rec F A x y suc x rec F A y rec F A suc x
43 df-sbc [˙ suc x / x]˙ y x rec F A y rec F A x suc x x | y x rec F A y rec F A x
44 vex x V
45 44 sucex suc x V
46 fveq2 z = suc x rec F A z = rec F A suc x
47 46 sseq2d z = suc x rec F A y rec F A z rec F A y rec F A suc x
48 47 raleqbi1dv z = suc x y z rec F A y rec F A z y suc x rec F A y rec F A suc x
49 fveq2 x = z rec F A x = rec F A z
50 49 sseq2d x = z rec F A y rec F A x rec F A y rec F A z
51 50 raleqbi1dv x = z y x rec F A y rec F A x y z rec F A y rec F A z
52 51 cbvabv x | y x rec F A y rec F A x = z | y z rec F A y rec F A z
53 45 48 52 elab2 suc x x | y x rec F A y rec F A x y suc x rec F A y rec F A suc x
54 43 53 bitri [˙ suc x / x]˙ y x rec F A y rec F A x y suc x rec F A y rec F A suc x
55 42 54 syl6ibr x On y x rec F A y rec F A x [˙ suc x / x]˙ y x rec F A y rec F A x
56 ssiun2 y z rec F A y y z rec F A y
57 56 adantl Lim z y z rec F A y y z rec F A y
58 vex z V
59 rdglim2a z V Lim z rec F A z = y z rec F A y
60 58 59 mpan Lim z rec F A z = y z rec F A y
61 60 adantr Lim z y z rec F A z = y z rec F A y
62 57 61 sseqtrrd Lim z y z rec F A y rec F A z
63 62 ralrimiva Lim z y z rec F A y rec F A z
64 df-sbc [˙z / x]˙ y x rec F A y rec F A x z x | y x rec F A y rec F A x
65 52 eleq2i z x | y x rec F A y rec F A x z z | y z rec F A y rec F A z
66 64 65 bitri [˙z / x]˙ y x rec F A y rec F A x z z | y z rec F A y rec F A z
67 abid z z | y z rec F A y rec F A z y z rec F A y rec F A z
68 66 67 bitri [˙z / x]˙ y x rec F A y rec F A x y z rec F A y rec F A z
69 63 68 sylibr Lim z [˙z / x]˙ y x rec F A y rec F A x
70 69 a1d Lim z x z y x rec F A y rec F A x [˙z / x]˙ y x rec F A y rec F A x
71 8 55 70 tfindes x On y x rec F A y rec F A x
72 rsp y x rec F A y rec F A x y x rec F A y rec F A x
73 71 72 syl x On y x rec F A y rec F A x
74 eleq1 x = X x On X On
75 74 adantl y = Y x = X x On X On
76 eleq12 y = Y x = X y x Y X
77 fveq2 y = Y rec F A y = rec F A Y
78 77 adantr y = Y x = X rec F A y = rec F A Y
79 fveq2 x = X rec F A x = rec F A X
80 79 adantl y = Y x = X rec F A x = rec F A X
81 78 80 sseq12d y = Y x = X rec F A y rec F A x rec F A Y rec F A X
82 76 81 imbi12d y = Y x = X y x rec F A y rec F A x Y X rec F A Y rec F A X
83 75 82 imbi12d y = Y x = X x On y x rec F A y rec F A x X On Y X rec F A Y rec F A X
84 73 83 mpbii y = Y x = X X On Y X rec F A Y rec F A X
85 84 ex y = Y x = X X On Y X rec F A Y rec F A X
86 85 vtocleg Y X x = X X On Y X rec F A Y rec F A X
87 86 com12 x = X Y X X On Y X rec F A Y rec F A X
88 87 vtocleg X On Y X X On Y X rec F A Y rec F A X
89 88 pm2.43b Y X X On Y X rec F A Y rec F A X
90 89 pm2.43b X On Y X rec F A Y rec F A X
91 90 imp X On Y X rec F A Y rec F A X