Theorem cdlemk3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	cdlemk3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdlemk.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
9		simp1l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
12		simp32l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
13	1 4 5 6 7	trlnidat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
14	10 11 12 13	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
15		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
16		simp31	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
17	4 5 6 7	trlcocnvat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
18	10 15 11 16 17	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
19		simp33l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
20	2 4 5 6	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
21	10 11 19 20	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
22	5 6	ltrncnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
23	10 11 22	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
24	5 6 7	trlcnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
25	10 11 24	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
26	16	necomd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
27	25 26	eqnetrd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
28		simp32r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
29	1 5 6 7	trlcone	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) )
30	10 23 15 27 28 29	syl122anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) )
31	5 6	ltrncom	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( ◡ 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) )
32	10 23 15 31	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ◡ 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) )
33	32	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐹 ∘ 𝐺 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
34	30 25 33	3netr3d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
35		simp33	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
36	2 4 5 6	ltrnel	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
37	36	simprd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 )
38	10 11 35 37	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 )
39	2 5 6 7	trlle	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
40	10 11 39	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
41	5 6	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
42	10 15 23 41	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
43	2 5 6 7	trlle	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 )
44	10 42 43	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 )
45	9	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
46	1 4	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
47	14 46	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
48	1 4	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
49	18 48	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
50		simp1r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
51	1 5	lhpbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
52	50 51	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
53	1 2 3	latjle12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ≤ 𝑊 ) )
54	45 47 49 52 53	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ≤ 𝑊 ) )
55	40 44 54	mpbi2and	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ≤ 𝑊 )
56	1 4	atbase	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
57	21 56	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
58	1 3 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
59	9 14 18 58	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
60	1 2	lattr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ≤ 𝑊 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
61	45 57 59 52 60	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ≤ 𝑊 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
62	55 61	mpan2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
63	38 62	mtod	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
64	2 3 8 4	2llnma2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∧ ¬ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) )
65	9 14 18 21 34 63 64	syl132anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) )