Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clscld.1 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
|
df-rab |
⊢ { 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑧 } = { 𝑧 ∣ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) } |
3 |
1
|
cldopn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝐽 ) |
4 |
3
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝐽 ) |
5 |
|
sscon |
⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝑧 → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
6 |
5
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
7 |
1
|
topopn |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
8 |
|
difexg |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ V ) |
9 |
|
elpwg |
⊢ ( ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ V → ( ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
10 |
7 8 9
|
3syl |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
12 |
6 11
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
13 |
4 12
|
elind |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
14 |
1
|
cldss |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → 𝑧 ⊆ 𝑋 ) |
15 |
14
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → 𝑧 ⊆ 𝑋 ) |
16 |
|
dfss4 |
⊢ ( 𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∖ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ) = 𝑧 ) |
17 |
15 16
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ( 𝑋 ∖ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ) = 𝑧 ) |
18 |
17
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → 𝑧 = ( 𝑋 ∖ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ) ) |
19 |
|
difeq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) → ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ( 𝑋 ∖ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ) ) |
20 |
19
|
rspceeqv |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ∧ 𝑧 = ( 𝑋 ∖ ( 𝑋 ∖ 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) |
21 |
13 18 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) |
22 |
21
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
23 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
24 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐽 ) |
25 |
1
|
opncld |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) |
26 |
23 24 25
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) |
27 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → 𝑥 ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
29 |
28
|
elpwid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
30 |
29
|
difss2d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → 𝑥 ⊆ 𝑋 ) |
31 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 ) |
32 |
|
ssconb |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ↔ 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
33 |
30 31 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ↔ 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
34 |
29 33
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) |
35 |
26 34
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
36 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ) |
37 |
|
sseq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) → ( 𝑆 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
38 |
36 37
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) ) |
39 |
35 38
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) ) |
40 |
39
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ) ) |
41 |
22 40
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) ) |
42 |
41
|
abbidv |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → { 𝑧 ∣ ( 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑧 ) } = { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
43 |
2 42
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → { 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑧 } = { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
44 |
43
|
inteqd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∩ { 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑧 } = ∩ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
45 |
|
difexg |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ V ) |
46 |
45
|
ralrimivw |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ V ) |
47 |
|
dfiin2g |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ∈ V → ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ∩ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
48 |
7 46 47
|
3syl |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ∩ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
49 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ∩ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑧 = ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) } ) |
50 |
44 49
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∩ { 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑧 } = ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) |
51 |
1
|
clsval |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) = ∩ { 𝑧 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑧 } ) |
52 |
|
uniiun |
⊢ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) = ∪ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑥 |
53 |
52
|
difeq2i |
⊢ ( 𝑋 ∖ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) = ( 𝑋 ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑥 ) |
54 |
53
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) = ( 𝑋 ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑥 ) ) |
55 |
|
0opn |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽 ) |
56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∅ ∈ 𝐽 ) |
57 |
|
0elpw |
⊢ ∅ ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) |
58 |
57
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∅ ∈ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) |
59 |
56 58
|
elind |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∅ ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
60 |
|
ne0i |
⊢ ( ∅ ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ≠ ∅ ) |
61 |
|
iindif2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ( 𝑋 ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑥 ) ) |
62 |
59 60 61
|
3syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) = ( 𝑋 ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) 𝑥 ) ) |
63 |
54 62
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) = ∩ 𝑥 ∈ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ( 𝑋 ∖ 𝑥 ) ) |
64 |
50 51 63
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) = ( 𝑋 ∖ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |
65 |
|
difssd |
⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝑋 → ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ⊆ 𝑋 ) |
66 |
1
|
ntrval |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) = ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
67 |
65 66
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) = ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
68 |
67
|
difeq2d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) = ( 𝑋 ∖ ∪ ( 𝐽 ∩ 𝒫 ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |
69 |
64 68
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) = ( 𝑋 ∖ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |