Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
velpw |
⊢ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐽 ) |
2 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → 𝐽 ∈ Comp ) |
3 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → 𝑠 ⊆ 𝐽 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽 |
5 |
4
|
cldopn |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ) |
6 |
5
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ) |
8 |
7
|
snssd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ⊆ 𝐽 ) |
9 |
3 8
|
unssd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ⊆ 𝐽 ) |
10 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) |
11 |
|
uniss |
⊢ ( 𝑠 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
12 |
11
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
13 |
10 12
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
14 |
|
undif |
⊢ ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ ( 𝑆 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) = ∪ 𝐽 ) |
15 |
13 14
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( 𝑆 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) = ∪ 𝐽 ) |
16 |
|
unss1 |
⊢ ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ( 𝑆 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
17 |
16
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( 𝑆 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
18 |
15 17
|
eqsstrrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝐽 ⊆ ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
19 |
|
difss |
⊢ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ⊆ ∪ 𝐽 |
20 |
|
unss |
⊢ ( ( ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ⊆ ∪ 𝐽 ) ↔ ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
21 |
12 19 20
|
sylanblc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
22 |
18 21
|
eqssd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝐽 = ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
23 |
|
uniexg |
⊢ ( 𝐽 ∈ Comp → ∪ 𝐽 ∈ V ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ) → ∪ 𝐽 ∈ V ) |
25 |
24
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝐽 ∈ V ) |
26 |
|
difexg |
⊢ ( ∪ 𝐽 ∈ V → ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ∈ V ) |
27 |
|
unisng |
⊢ ( ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ∈ V → ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
28 |
25 26 27
|
3syl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
29 |
28
|
uneq2d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( ∪ 𝑠 ∪ ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) = ( ∪ 𝑠 ∪ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
30 |
22 29
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝐽 = ( ∪ 𝑠 ∪ ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
31 |
|
uniun |
⊢ ∪ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) = ( ∪ 𝑠 ∪ ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) |
32 |
30 31
|
eqtr4di |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝐽 = ∪ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
33 |
4
|
cmpcov |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝒫 ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∩ Fin ) ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) |
34 |
2 9 32 33
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝒫 ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∩ Fin ) ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) |
35 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝒫 ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∩ Fin ) ↔ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ) |
36 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
37 |
|
uncom |
⊢ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) = ( { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ∪ 𝑠 ) |
38 |
36 37
|
sseqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → 𝑢 ⊆ ( { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ∪ 𝑠 ) ) |
39 |
|
ssundif |
⊢ ( 𝑢 ⊆ ( { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ∪ 𝑠 ) ↔ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ⊆ 𝑠 ) |
40 |
38 39
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ⊆ 𝑠 ) |
41 |
|
diffi |
⊢ ( 𝑢 ∈ Fin → ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ Fin ) |
42 |
41
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ) → ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ Fin ) |
43 |
42
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ Fin ) |
44 |
|
elfpw |
⊢ ( ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) ↔ ( ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ⊆ 𝑠 ∧ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ Fin ) ) |
45 |
40 43 44
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) ) |
46 |
10
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) |
47 |
12
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
48 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) |
49 |
47 48
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝑢 ) |
50 |
46 49
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑢 ) |
51 |
50
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → 𝑣 ∈ ∪ 𝑢 ) |
52 |
|
eluni |
⊢ ( 𝑣 ∈ ∪ 𝑢 ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) ) |
53 |
51 52
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) ) |
54 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → 𝑣 ∈ 𝑤 ) |
55 |
54
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → 𝑣 ∈ 𝑤 ) ) |
56 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → 𝑤 ∈ 𝑢 ) |
57 |
56
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ) |
58 |
|
elndif |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
59 |
58
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤 ) → ¬ 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
60 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
61 |
60
|
biimpd |
⊢ ( 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 → 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
62 |
61
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 → 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |
63 |
62
|
com23 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 → ( 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) → 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |
64 |
63
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤 ) → ( 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) → 𝑣 ∈ ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
65 |
59 64
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤 ) → ¬ 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
66 |
65
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 → ¬ 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
67 |
66
|
adantrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → ¬ 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) ) |
68 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑤 ∈ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ↔ 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
69 |
68
|
notbii |
⊢ ( ¬ 𝑤 ∈ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ↔ ¬ 𝑤 = ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) ) |
70 |
67 69
|
syl6ibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → ¬ 𝑤 ∈ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
71 |
57 70
|
jcad |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → ( 𝑤 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ∈ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
72 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ∈ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
73 |
71 72
|
syl6ibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
74 |
55 73
|
jcad |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) ) |
75 |
74
|
eximdv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ( ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢 ) → ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) ) |
76 |
53 75
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
77 |
76
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑆 → ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) ) |
78 |
|
eluni |
⊢ ( 𝑣 ∈ ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
79 |
77 78
|
syl6ibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ( 𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
80 |
79
|
ssrdv |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → 𝑆 ⊆ ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
81 |
|
unieq |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) → ∪ 𝑡 = ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) |
82 |
81
|
sseq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) → ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ↔ 𝑆 ⊆ ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) ) |
83 |
82
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) ∧ 𝑆 ⊆ ∪ ( 𝑢 ∖ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) |
84 |
45 80 83
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∧ 𝑢 ∈ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) |
85 |
35 84
|
syl3an2b |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝒫 ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) |
86 |
85
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝒫 ( 𝑠 ∪ { ( ∪ 𝐽 ∖ 𝑆 ) } ) ∩ Fin ) ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) |
87 |
34 86
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) |
88 |
87
|
3exp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑠 ⊆ 𝐽 → ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) ) |
89 |
1 88
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 → ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) ) |
90 |
89
|
ralrimiv |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) |
91 |
|
cmptop |
⊢ ( 𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top ) |
92 |
4
|
cldss |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
93 |
4
|
cmpsub |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Comp ↔ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) ) |
94 |
91 92 93
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Comp ↔ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ( 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃ 𝑡 ∈ ( 𝒫 𝑠 ∩ Fin ) 𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ) ) ) |
95 |
90 94
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Comp ) |