Theorem constrconj

Description: If a point X of the complex plane is constructible, so is its conjugate ( *X ) . (Proposed by Saveliy Skresanov, 25-Jun-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
	constrconj.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
	constrconj.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
Assertion	constrconj	⊢ ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
2		constrconj.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
3		constrconj.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
4		fveq2	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
5	4	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) )
6	4 5	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) )
7		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
8	7	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
9	7 8	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
10		fveq2	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
11	10	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
12	10 11	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
13		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
14	13	eleq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
15	13 14	raleqbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
16		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 = 0 )
17	16	fveq2d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 0 ) )
18		cj0	⊢ ( ∗ ‘ 0 ) = 0
19	17 18	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 0 )
20		c0ex	⊢ 0 ∈ V
21	20	prid1	⊢ 0 ∈ { 0 , 1 }
22	21	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ∈ { 0 , 1 } )
23	19 22	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 , 1 } )
24	1	constr0	⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 }
25	24	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 } )
26	23 25	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
27		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → 𝑥 = 1 )
28	27	fveq2d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 1 ) )
29		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
30		cjre	⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )
31	29 30	ax-mp	⊢ ( ∗ ‘ 1 ) = 1
32	28 31	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = 1 )
33		1ex	⊢ 1 ∈ V
34	33	prid2	⊢ 1 ∈ { 0 , 1 }
35	34	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → 1 ∈ { 0 , 1 } )
36	32 35	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ { 0 , 1 } )
37	24	a1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 } )
38	36 37	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∧ 𝑥 = 1 ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
39	24	eleq2i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ↔ 𝑥 ∈ { 0 , 1 } )
40	39	biimpi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → 𝑥 ∈ { 0 , 1 } )
41		elpri	⊢ ( 𝑥 ∈ { 0 , 1 } → ( 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ) )
42	40 41	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → ( 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ) )
43	26 38 42	mpjaodan	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) → ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
44	43	rgen	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ ∅ )
45		simpl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ On )
46		eqid	⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 )
47	1 45 46	constrsuc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
48	47	biimpa	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
49	48	simpld	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
50	49	cjcld	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
51	48	simprd	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
52		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑎 ) )
53	52	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
54		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
55		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
56	53 54 55	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
57		id	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) )
58		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ℎ − 𝑔 ) = ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
59	58	oveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) = ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
60	57 59	oveq12d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
61	60	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
62	58	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) = ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
63	62	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
64	63	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
65	64	neeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
66	61 65	3anbi13d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
67	66	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
68	67	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
69	68	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
70	69	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
71		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑏 ) )
72	71	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
73		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
74		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
75	72 73 74	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
76		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
77	76	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
78	77	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
79	78	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
80	76	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
81	80	oveq1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
82	81	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
83	82	neeq1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
84	79 83	3anbi13d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
85	84	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
86	85	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
87	86	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
88		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑐 ) )
89	88	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
90		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
91		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
92	89 90 91	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
93		id	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) )
94		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑗 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
95	94	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
96	93 95	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
97	96	eqeq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) )
98	94	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
99	98	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
100	99	neeq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
101	97 100	3anbi23d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
102	101	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
103	102	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
104	103	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
105		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑑 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
106	105	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑑 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
107		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
108		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
109	106 107 108	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
110		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
111	110	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
112	111	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
113	112	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) )
114	110	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
115	114	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
116	115	neeq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
117	113 116	3anbi23d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
118	117	2rexbidv	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
119	118	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
120		simpr1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
121	120	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
122		id	⊢ ( 𝑛 ∈ On → 𝑛 ∈ On )
123	1 122	constrsscn	⊢ ( 𝑛 ∈ On → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
124	123	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
125		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
126	124 125	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
127		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
128	127	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
129		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
130	124 129	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
131	130 126	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
132	128 131	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
133	126 132	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
134	128 131	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
135	127	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑡 ) = 𝑡 )
136	130 126	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
137	135 136	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
138	134 137	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
139	138	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
140	121 133 139	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
141		simpr2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
142	141	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
143		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
144	124 143	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
145		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
146	145	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
147		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
148	124 147	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
149	148 144	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
150	146 149	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
151	144 150	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
152	146 149	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑟 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
153	145	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑟 ) = 𝑟 )
154	148 144	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
155	153 154	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑟 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
156	152 155	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
157	156	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
158	142 151 157	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
159	131	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
160	159	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
161	131	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
162	161 149	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
163	130	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ℂ )
164	126	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
165	163 164	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) − ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
166	130	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) = 𝑏 )
167	126	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) = 𝑎 )
168	166 167	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) − ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
169	165 168	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
170	154	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
171	169 170	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
172	160 162 171	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
173	172	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
174	161 149	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
175	174	imcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
176	173 175	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
177		simpr3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
178	174	imcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℝ )
179	178	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
180	179	negne0bd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
181	177 180	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → - ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
182	176 181	eqnetrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 )
183	140 158 182	3jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
184	183	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
185	184	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
186	185	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) )
187	186	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
188	109 119 187	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
189	188	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑐 ) + ( 𝑟 · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ) )
190	92 104 189	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
191	190	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
192	75 87 191	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
193	192	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
194	56 70 193	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
195	194	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
196		id	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → 𝑎 = 𝑔 )
197		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( 𝑏 − 𝑔 ) )
198	197	oveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) )
199	196 198	oveq12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) )
200	199	eqeq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ) )
201	197	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) )
202	201	oveq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
203	202	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
204	203	neeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
205	200 204	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
206	205	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
207	206	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
208	207	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
209	208	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
210		oveq1	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑏 − 𝑔 ) = ( ℎ − 𝑔 ) )
211	210	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) = ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) )
212	211	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) )
213	212	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ) )
214	210	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) = ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) )
215	214	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
216	215	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
217	216	neeq1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
218	213 217	3anbi13d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
219	218	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
220	219	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
221	220	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
222		id	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → 𝑐 = 𝑖 )
223		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝑖 ) )
224	223	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) )
225	222 224	oveq12d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) )
226	225	eqeq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ) )
227	223	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) )
228	227	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) )
229	228	neeq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
230	226 229	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
231	230	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
232	231	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
233	232	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
234		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑑 − 𝑖 ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) )
235	234	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) = ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
236	235	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
237	236	eqeq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ) )
238	234	oveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) )
239	238	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) )
240	239	neeq1d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
241	237 240	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
242	241	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
243	242	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
244	243	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
245	233 244	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
246	245	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
247	221 246	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
248	247	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑔 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
249	209 248	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑖 + ( 𝑟 · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( ℎ − 𝑔 ) ) · ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ) ≠ 0 ) )
250	195 249	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) )
251	250	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) )
252		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
253		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
254	53 252 253	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
255	61	anbi1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
256	255	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
257	256	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
258	257	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
259	258	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
260		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
261		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
262	72 260 261	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
263	79	anbi1d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
264	263	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
265	264	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
266	265	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
267		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
268		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
269	89 267 268	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
270		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
271	270	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
272	271	eqeq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
273	272	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
274	273	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
275	274	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
276	275	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
277		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑒 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑒 ) )
278	277	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑒 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
279		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
280		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
281	278 279 280	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
282		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( 𝑘 − 𝑙 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) )
283	282	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) )
284	283	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
285	284	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
286	285	2rexbidv	⊢ ( 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
287	286	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ∗ ‘ 𝑒 ) ) → ( ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ) )
288		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑓 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑓 ) )
289	288	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑓 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) )
290		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
291		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
292	289 290 291	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
293		oveq2	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )
294	293	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
295	294	eqeq2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
296	295	anbi2d	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
297	296	rexbidv	⊢ ( 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
298	297	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
299		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
300	299	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
301	123	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
302		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
303	301 302	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
304		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
305	304	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
306		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
307	301 306	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
308	307 303	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
309	305 308	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
310	303 309	cjaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) )
311	305 308	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
312	304	cjred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑡 ) = 𝑡 )
313	307 303	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
314	312 313	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑡 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
315	311 314	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
316	315	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
317	300 310 316	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )
318		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
319	49	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
320		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
321	301 320	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
322	319 321	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
323	322	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) )
324		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
325	301 324	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
326		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
327	301 326	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
328	325 327	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ )
329	328	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
330	318 323 329	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
331	319 321	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
332	331	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
333	325 327	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )
334	333	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
335	330 332 334	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )
336	317 335	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
337	336	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
338	337	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
339	338	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
340	292 298 339	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
341	340	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − 𝑙 ) ) ) )
342	281 287 341	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
343	342	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
344	269 276 343	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
345	344	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
346	262 266 345	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
347	346	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) + ( 𝑡 · ( ℎ − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
348	254 259 347	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
349	348	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
350	200	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
351	350	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
352	351	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
353	352	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
354	353	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
355	213	anbi1d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
356	355	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
357	356	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
358	357	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
359		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) )
360	359	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) )
361	360	eqeq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
362	361	anbi2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
363	362	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
364	363	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
365	364	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
366		oveq1	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( 𝑒 − 𝑓 ) = ( 𝑘 − 𝑓 ) )
367	366	fveq2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) )
368	367	eqeq2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) )
369	368	anbi2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ) )
370	369	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑘 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ) )
371	370	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) )
372		oveq2	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( 𝑘 − 𝑓 ) = ( 𝑘 − 𝑙 ) )
373	372	fveq2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) )
374	373	eqeq2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
375	374	anbi2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
376	375	rexbidv	⊢ ( 𝑓 = 𝑙 → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) ) )
377	376	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
378	377	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
379	371 378	bitri	⊢ ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
380	379	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
381	365 380	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
382	381	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
383	358 382	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
384	383	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
385	354 384	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑘 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑙 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑔 + ( 𝑡 · ( ℎ − 𝑔 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑘 − 𝑙 ) ) ) )
386	349 385	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
387	386	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
388		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
389		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
390	53 388 389	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
391		neeq1	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( 𝑔 ≠ 𝑗 ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ) )
392		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
393	392	fveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
394	393	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ) )
395	391 394	3anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
396	395	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
397	396	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
398	397	2rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
399	398	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑔 = ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
400		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
401		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
402	72 400 401	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
403		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ℎ − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) )
404	403	fveq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) )
405	404	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ) )
406	405	3anbi2d	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
407	406	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
408	407	2rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
409	408	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ ℎ = ( ∗ ‘ 𝑏 ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
410		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
411		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
412	89 410 411	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
413		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
414	413	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
415	414	eqeq2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
416	415	3anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
417	416	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
418	417	2rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
419	418	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
420		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
421		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
422	106 420 421	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
423		neeq2	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ↔ ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
424		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
425	424	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) )
426	425	eqeq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
427	423 426	3anbi13d	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
428	427	2rexbidv	⊢ ( 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
429	428	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑗 = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
430	123	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
431		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
432	430 431	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ∈ ℂ )
433		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
434	430 433	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℂ )
435		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → 𝑎 ≠ 𝑑 )
436		cj11	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) = ( ∗ ‘ 𝑑 ) ↔ 𝑎 = 𝑑 ) )
437	436	necon3bid	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ↔ 𝑎 ≠ 𝑑 ) )
438	437	biimpar	⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
439	432 434 435 438	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) )
440	439	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑎 ≠ 𝑑 → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
441		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
442	49	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
443	123	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
444		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
445	443 444	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
446	442 445	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
447	446	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) )
448		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
449	443 448	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
450		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
451	443 450	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
452	449 451	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
453	452	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
454	441 447 453	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) )
455	442 445	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
456	455	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
457	449 451	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
458	457	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
459	454 456 458	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
460	459	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
461	49	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
462	123	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ )
463		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
464	462 463	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
465	461 464	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑑 ) ∈ ℂ )
466	465	abscjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) )
467	461 464	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) )
468	467	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) )
469		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
470	466 468 469	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
471	470	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
472	440 460 471	3anim123d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
473	472	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
474	473	reximdva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
475	474	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑑 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
476	422 429 475	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
477	476	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
478	412 419 477	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
479	478	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
480	402 409 479	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
481	480	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
482	390 399 481	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
483	482	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
484		neeq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( 𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑑 ) )
485		oveq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) )
486	485	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) )
487	486	eqeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) )
488	484 487	3anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
489	488	rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
490	489	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
491	490	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑔 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
492	491	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
493		oveq1	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( 𝑏 − 𝑐 ) = ( ℎ − 𝑐 ) )
494	493	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) )
495	494	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ) )
496	495	3anbi2d	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
497	496	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
498	497	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ℎ → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
499	498	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
500		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ℎ − 𝑐 ) = ( ℎ − 𝑖 ) )
501	500	fveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) )
502	501	eqeq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ) )
503	502	3anbi2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
504	503	rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
505	504	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑖 → ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
506	505	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
507		neeq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( 𝑔 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑗 ) )
508		oveq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) = ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) )
509	508	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) )
510	509	eqeq1d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
511	507 510	3anbi13d	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
512	511	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑗 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
513	512	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
514	513	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
515	506 514	bitri	⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
516	515	rexbii	⊢ ( ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
517	499 516	bitri	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
518	517	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
519	492 518	bitri	⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ ℎ ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑖 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑔 ≠ 𝑗 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑔 ) ) = ( abs ‘ ( ℎ − 𝑖 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑗 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
520	483 519	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) )
521	520	ex	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
522	251 387 521	3orim123d	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑦 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
523	51 522	mpd	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
524	50 523	jca	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
525	45	adantr	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ On )
526	1 525 46	constrsuc	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
527	524 526	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
528	527	ralrimiva	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
529		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑦 ) )
530	529	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
531	530	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
532	528 531	sylibr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ On ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
533	532	ex	⊢ ( 𝑛 ∈ On → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) )
534		simpr	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
535		vex	⊢ 𝑚 ∈ V
536	535	a1i	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑚 ∈ V )
537		simpll	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → Lim 𝑚 )
538	1 536 537	constrlim	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
539	534 538	eleqtrd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
540		eliun	⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
541	539 540	sylib	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
542	529	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
543		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
544	543	eleq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
545	543 544	raleqbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
546		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )
547		simplr	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑚 )
548	545 546 547	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
549		simpr	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
550	542 548 549	rspcdva	⊢ ( ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
551	550	ex	⊢ ( ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
552	551	reximdva	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ) )
553	541 552	mpd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
554		eliun	⊢ ( ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑚 ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
555	553 554	sylibr	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 ( 𝐶 ‘ 𝑧 ) )
556	555 538	eleqtrrd	⊢ ( ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
557	556	ralrimiva	⊢ ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
558	529	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) )
559	558	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
560	557 559	sylibr	⊢ ( ( Lim 𝑚 ∧ ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) )
561	560	ex	⊢ ( Lim 𝑚 → ( ∀ 𝑛 ∈ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ) )
562	6 9 12 15 44 533 561	tfinds	⊢ ( 𝑁 ∈ On → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
563	2 562	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
564		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∗ ‘ 𝑥 ) = ( ∗ ‘ 𝑋 ) )
565	564	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
566	565	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ↔ ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
567	3 566	rspcdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ∗ ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) )
568	563 567	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )