| Step | Hyp | Ref | Expression | 
						
							| 1 |  | constr0.1 | ⊢ 𝐶  =  rec ( ( 𝑠  ∈  V  ↦  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  𝑠 ∃ 𝑏  ∈  𝑠 ∃ 𝑐  ∈  𝑠 ∃ 𝑑  ∈  𝑠 ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  𝑠 ∃ 𝑏  ∈  𝑠 ∃ 𝑐  ∈  𝑠 ∃ 𝑒  ∈  𝑠 ∃ 𝑓  ∈  𝑠 ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  𝑠 ∃ 𝑏  ∈  𝑠 ∃ 𝑐  ∈  𝑠 ∃ 𝑑  ∈  𝑠 ∃ 𝑒  ∈  𝑠 ∃ 𝑓  ∈  𝑠 ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) } ) ,  { 0 ,  1 } ) | 
						
							| 2 |  | constrfin.1 | ⊢ ( 𝜑  →  𝑁  ∈  ω ) | 
						
							| 3 |  | fveq2 | ⊢ ( 𝑚  =  ∅  →  ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  =  ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) | 
						
							| 4 | 3 | eleq1d | ⊢ ( 𝑚  =  ∅  →  ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  ∈  Fin  ↔  ( 𝐶 ‘ ∅ )  ∈  Fin ) ) | 
						
							| 5 |  | fveq2 | ⊢ ( 𝑚  =  𝑛  →  ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  =  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 6 | 5 | eleq1d | ⊢ ( 𝑚  =  𝑛  →  ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  ∈  Fin  ↔  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) ) | 
						
							| 7 |  | fveq2 | ⊢ ( 𝑚  =  suc  𝑛  →  ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  =  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 ) ) | 
						
							| 8 | 7 | eleq1d | ⊢ ( 𝑚  =  suc  𝑛  →  ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  ∈  Fin  ↔  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  ∈  Fin ) ) | 
						
							| 9 |  | fveq2 | ⊢ ( 𝑚  =  𝑁  →  ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  =  ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) | 
						
							| 10 | 9 | eleq1d | ⊢ ( 𝑚  =  𝑁  →  ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 )  ∈  Fin  ↔  ( 𝐶 ‘ 𝑁 )  ∈  Fin ) ) | 
						
							| 11 | 1 | constr0 | ⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ )  =  { 0 ,  1 } | 
						
							| 12 |  | prfi | ⊢ { 0 ,  1 }  ∈  Fin | 
						
							| 13 | 11 12 | eqeltri | ⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ )  ∈  Fin | 
						
							| 14 |  | nfv | ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 15 |  | nfcv | ⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 ) | 
						
							| 16 |  | nfrab1 | ⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) } | 
						
							| 17 |  | nnon | ⊢ ( 𝑛  ∈  ω  →  𝑛  ∈  On ) | 
						
							| 18 | 17 | adantr | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  𝑛  ∈  On ) | 
						
							| 19 |  | eqid | ⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  =  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) | 
						
							| 20 | 1 18 19 | constrsuc | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝑥  ∈  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  ↔  ( 𝑥  ∈  ℂ  ∧  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) ) ) ) | 
						
							| 21 |  | rabid | ⊢ ( 𝑥  ∈  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) }  ↔  ( 𝑥  ∈  ℂ  ∧  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) ) ) | 
						
							| 22 | 20 21 | bitr4di | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝑥  ∈  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  ↔  𝑥  ∈  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) } ) ) | 
						
							| 23 | 14 15 16 22 | eqrd | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  =  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) } ) | 
						
							| 24 |  | 3unrab | ⊢ ( ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  =  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∨  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) ) } | 
						
							| 25 | 23 24 | eqtr4di | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  =  ( ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } ) ) | 
						
							| 26 |  | simpr | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 27 | 26 | adantr | ⊢ ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 28 | 27 | adantr | ⊢ ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 29 | 28 | adantr | ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 30 |  | snfi | ⊢ { ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) }  ∈  Fin | 
						
							| 31 | 30 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 32 | 1 17 | constrsscn | ⊢ ( 𝑛  ∈  ω  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ⊆  ℂ ) | 
						
							| 33 | 32 | ad9antr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ⊆  ℂ ) | 
						
							| 34 |  | simp-8r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 35 |  | simp-7r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 36 |  | simp-6r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 37 |  | simp-5r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 38 |  | simpllr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑡  ∈  ℝ ) | 
						
							| 39 |  | simplr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑟  ∈  ℝ ) | 
						
							| 40 |  | simpr1 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 41 |  | simpr2 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) ) ) | 
						
							| 42 |  | simpr3 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) | 
						
							| 43 |  | eqid | ⊢ ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) | 
						
							| 44 | 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 | constrrtll | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  𝑟  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 45 | 44 | r19.29an | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 46 | 45 | r19.29an | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 47 | 46 | ex | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  →  ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) | 
						
							| 48 | 47 | ralrimiva | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) | 
						
							| 49 |  | rabsssn | ⊢ ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ⊆  { ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) }  ↔  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) | 
						
							| 50 | 48 49 | sylibr | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ⊆  { ( 𝑎  +  ( ( ( ( ( 𝑎  −  𝑐 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  /  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) )  −  ( ( 𝑏  −  𝑎 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) } ) | 
						
							| 51 | 31 50 | ssfid | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 52 | 29 51 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 53 | 28 52 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 54 | 27 53 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 55 | 26 54 | rabrexfi | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 56 | 29 | adantr | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 57 |  | snfi | ⊢ { 𝑎 }  ∈  Fin | 
						
							| 58 | 57 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  →  { 𝑎 }  ∈  Fin ) | 
						
							| 59 | 32 | ad10antr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ⊆  ℂ ) | 
						
							| 60 |  | simp-9r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 61 |  | simp-8r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 62 |  | simp-7r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 63 |  | simp-6r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 64 |  | simp-5r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 65 |  | simplr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑡  ∈  ℝ ) | 
						
							| 66 |  | simprl | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 67 |  | simprr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) | 
						
							| 68 |  | simp-4r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  =  𝑏 ) | 
						
							| 69 | 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 | constrrtlc2 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  =  𝑎 ) | 
						
							| 70 | 69 | r19.29an | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  =  𝑎 ) | 
						
							| 71 | 70 | ex | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  →  ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  𝑥  =  𝑎 ) ) | 
						
							| 72 | 71 | ralrimiva | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  →  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  𝑥  =  𝑎 ) ) | 
						
							| 73 |  | rabsssn | ⊢ ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { 𝑎 }  ↔  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  𝑥  =  𝑎 ) ) | 
						
							| 74 | 72 73 | sylibr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { 𝑎 } ) | 
						
							| 75 | 58 74 | ssfid | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  =  𝑏 )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 76 |  | prfi | ⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ∈  Fin | 
						
							| 77 | 76 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  →  { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 78 |  | simpllr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  ∈  ℂ ) | 
						
							| 79 |  | 1cnd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  1  ∈  ℂ ) | 
						
							| 80 |  | ax-1ne0 | ⊢ 1  ≠  0 | 
						
							| 81 | 80 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  1  ≠  0 ) | 
						
							| 82 | 32 | ad10antr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ⊆  ℂ ) | 
						
							| 83 |  | simp-9r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 84 | 82 83 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ∈  ℂ ) | 
						
							| 85 | 84 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 86 |  | simp-8r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 87 | 82 86 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ∈  ℂ ) | 
						
							| 88 | 87 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑏 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 89 | 88 85 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 90 | 87 84 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑏  −  𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 91 |  | simp-4r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ≠  𝑏 ) | 
						
							| 92 | 91 | necomd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ≠  𝑎 ) | 
						
							| 93 | 87 84 92 | subne0d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑏  −  𝑎 )  ≠  0 ) | 
						
							| 94 | 89 90 93 | divcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 95 | 84 94 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 96 | 85 95 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 97 |  | simp-7r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 98 | 82 97 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑐  ∈  ℂ ) | 
						
							| 99 | 98 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑐 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 100 | 96 99 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 101 | 98 94 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 102 | 100 101 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 103 |  | simp-6r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 104 |  | simp-5r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 105 |  | simplr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑡  ∈  ℝ ) | 
						
							| 106 |  | simprl | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) | 
						
							| 107 |  | simprr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) | 
						
							| 108 |  | eqid | ⊢ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) )  =  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) | 
						
							| 109 |  | eqid | ⊢ ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  =  ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) | 
						
							| 110 |  | eqid | ⊢ ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  =  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) | 
						
							| 111 | 82 83 86 97 103 104 105 106 107 108 109 110 91 | constrrtlc1 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( 𝑥 ↑ 2 )  +  ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) )  =  0  ∧  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ≠  0 ) ) | 
						
							| 112 | 111 | simprd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ≠  0 ) | 
						
							| 113 | 102 94 112 | divcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 114 | 98 100 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 115 | 82 103 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑒  ∈  ℂ ) | 
						
							| 116 | 82 104 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑓  ∈  ℂ ) | 
						
							| 117 | 115 116 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑒  −  𝑓 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 118 | 115 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑒 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 119 | 116 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑓 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 120 | 118 119 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 121 | 117 120 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 122 | 114 121 | addcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 123 | 122 | negcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 124 | 123 94 112 | divcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 125 | 78 | sqcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑥 ↑ 2 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 126 | 125 | mullidd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  =  ( 𝑥 ↑ 2 ) ) | 
						
							| 127 | 126 | oveq1d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) )  =  ( ( 𝑥 ↑ 2 )  +  ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) | 
						
							| 128 | 111 | simpld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑥 ↑ 2 )  +  ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) )  =  0 ) | 
						
							| 129 | 127 128 | eqtrd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) )  =  0 ) | 
						
							| 130 | 78 79 81 113 124 129 | quad3d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  𝑡  ∈  ℝ )  ∧  ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) | 
						
							| 131 | 130 | r19.29an | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) | 
						
							| 132 | 131 | ex | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  →  ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 133 | 132 | ralrimiva | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  →  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 134 |  | rabsspr | ⊢ ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ↔  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 135 | 133 134 | sylibr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) )  −  ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  ( - ( ( 𝑐  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  −  ( 𝑎  ·  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) )  −  ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )  +  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ( ∗ ‘ 𝑒 )  −  ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) )  /  ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  /  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) } ) | 
						
							| 136 | 77 135 | ssfid | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑎  ≠  𝑏 )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 137 |  | exmidne | ⊢ ( 𝑎  =  𝑏  ∨  𝑎  ≠  𝑏 ) | 
						
							| 138 | 137 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝑎  =  𝑏  ∨  𝑎  ≠  𝑏 ) ) | 
						
							| 139 | 75 136 138 | mpjaodan | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 140 | 56 139 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 141 | 29 140 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 142 | 28 141 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 143 | 27 142 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 144 | 26 143 | rabrexfi | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 145 | 55 144 | unfid | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  ∈  Fin ) | 
						
							| 146 | 29 | adantr | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 147 | 146 | adantr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 148 |  | prfi | ⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ∈  Fin | 
						
							| 149 | 148 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 150 |  | simplr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑥  ∈  ℂ ) | 
						
							| 151 |  | 1cnd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  1  ∈  ℂ ) | 
						
							| 152 | 80 | a1i | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  1  ≠  0 ) | 
						
							| 153 | 32 | ad9antr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ⊆  ℂ ) | 
						
							| 154 |  | simp-4r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 155 | 153 154 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑒  ∈  ℂ ) | 
						
							| 156 |  | simpllr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 157 | 153 156 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑓  ∈  ℂ ) | 
						
							| 158 | 155 157 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑒  −  𝑓 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 159 | 158 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 160 | 158 159 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 161 |  | simp-5r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 162 | 153 161 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑑  ∈  ℂ ) | 
						
							| 163 | 162 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑑 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 164 |  | simp-8r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 165 | 153 164 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ∈  ℂ ) | 
						
							| 166 | 162 165 | addcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑑  +  𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 167 | 163 166 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 168 | 160 167 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 169 |  | simp-7r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 170 | 153 169 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑏  ∈  ℂ ) | 
						
							| 171 |  | simp-6r | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) | 
						
							| 172 | 153 171 | sseldd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑐  ∈  ℂ ) | 
						
							| 173 | 170 172 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑏  −  𝑐 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 174 | 173 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 175 | 173 174 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 176 | 165 | cjcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ 𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 177 | 176 166 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 178 | 175 177 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 179 | 168 178 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 180 | 163 176 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 181 | 162 165 | cjsubd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ ( 𝑑  −  𝑎 ) )  =  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) | 
						
							| 182 | 162 165 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑑  −  𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 183 |  | simpr1 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑎  ≠  𝑑 ) | 
						
							| 184 | 183 | necomd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  𝑑  ≠  𝑎 ) | 
						
							| 185 | 162 165 184 | subne0d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑑  −  𝑎 )  ≠  0 ) | 
						
							| 186 | 182 185 | cjne0d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ∗ ‘ ( 𝑑  −  𝑎 ) )  ≠  0 ) | 
						
							| 187 | 181 186 | eqnetrrd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) )  ≠  0 ) | 
						
							| 188 | 179 180 187 | divcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 189 | 162 165 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑑  ·  𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 190 | 176 189 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 191 | 175 162 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 192 | 190 191 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 193 | 163 189 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 194 | 160 165 | mulcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 195 | 193 194 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 196 | 192 195 | subcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 197 | 196 180 187 | divcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 198 | 197 | negcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 199 | 150 | sqcld | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑥 ↑ 2 )  ∈  ℂ ) | 
						
							| 200 | 199 | mullidd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  =  ( 𝑥 ↑ 2 ) ) | 
						
							| 201 | 200 | oveq1d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )  =  ( ( 𝑥 ↑ 2 )  +  ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) | 
						
							| 202 |  | simpr2 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) ) | 
						
							| 203 |  | simpr3 | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) | 
						
							| 204 |  | eqid | ⊢ ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  =  ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) ) | 
						
							| 205 |  | eqid | ⊢ ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  =  ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) | 
						
							| 206 |  | eqid | ⊢ ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) | 
						
							| 207 |  | eqid | ⊢ - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  =  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) | 
						
							| 208 | 153 164 169 171 161 154 156 150 183 202 203 204 205 206 207 | constrrtcc | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 𝑥 ↑ 2 )  +  ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )  =  0 ) | 
						
							| 209 | 201 208 | eqtrd | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( ( 1  ·  ( 𝑥 ↑ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  ·  𝑥 )  +  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) )  =  0 ) | 
						
							| 210 | 150 151 152 188 198 209 | quad3d | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  ∧  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) | 
						
							| 211 | 210 | ex | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑥  ∈  ℂ )  →  ( ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 212 | 211 | ralrimiva | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 213 |  | rabsspr | ⊢ ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) }  ↔  ∀ 𝑥  ∈  ℂ ( ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  →  ( 𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) )  ∨  𝑥  =  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ) ) ) | 
						
							| 214 | 212 213 | sylibr | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ⊆  { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  +  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) ,  ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )  −  ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  −  ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  +  𝑎 ) ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 )  −  ( 4  ·  ( 1  ·  - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑏  −  𝑐 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) ) )  ·  𝑑 ) )  −  ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  ·  ( 𝑑  ·  𝑎 ) )  −  ( ( ( 𝑒  −  𝑓 )  ·  ( ∗ ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) )  ·  𝑎 ) ) )  /  ( ( ∗ ‘ 𝑑 )  −  ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) )  /  ( 2  ·  1 ) ) } ) | 
						
							| 215 | 149 214 | ssfid | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 216 | 147 215 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 217 | 146 216 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 218 | 29 217 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 219 | 28 218 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  ∧  𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 220 | 27 219 | rabrexfi | ⊢ ( ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  ∧  𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 221 | 26 220 | rabrexfi | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) }  ∈  Fin ) | 
						
							| 222 | 145 221 | unfid | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( ( { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ∃ 𝑟  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  𝑥  =  ( 𝑐  +  ( 𝑟  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ∧  ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏  −  𝑎 ) )  ·  ( 𝑑  −  𝑐 ) ) )  ≠  0 ) }  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡  ∈  ℝ ( 𝑥  =  ( 𝑎  +  ( 𝑡  ·  ( 𝑏  −  𝑎 ) ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑐 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  ∪  { 𝑥  ∈  ℂ  ∣  ∃ 𝑎  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓  ∈  ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎  ≠  𝑑  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑎 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑏  −  𝑐 ) )  ∧  ( abs ‘ ( 𝑥  −  𝑑 ) )  =  ( abs ‘ ( 𝑒  −  𝑓 ) ) ) } )  ∈  Fin ) | 
						
							| 223 | 25 222 | eqeltrd | ⊢ ( ( 𝑛  ∈  ω  ∧  ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin )  →  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 224 | 223 | ex | ⊢ ( 𝑛  ∈  ω  →  ( ( 𝐶 ‘ 𝑛 )  ∈  Fin  →  ( 𝐶 ‘ suc  𝑛 )  ∈  Fin ) ) | 
						
							| 225 | 4 6 8 10 13 224 | finds | ⊢ ( 𝑁  ∈  ω  →  ( 𝐶 ‘ 𝑁 )  ∈  Fin ) | 
						
							| 226 | 2 225 | syl | ⊢ ( 𝜑  →  ( 𝐶 ‘ 𝑁 )  ∈  Fin ) |