Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
constr0.1 |
⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) |
2 |
|
constrfin.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ω ) |
3 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ ∅ ) ) |
4 |
3
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑚 = ∅ → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin ) ) |
5 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
6 |
5
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
7 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ) |
8 |
7
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
9 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) |
10 |
9
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin ) ) |
11 |
1
|
constr0 |
⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 } |
12 |
|
prfi |
⊢ { 0 , 1 } ∈ Fin |
13 |
11 12
|
eqeltri |
⊢ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin |
14 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
15 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) |
16 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
17 |
|
nnon |
⊢ ( 𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → 𝑛 ∈ On ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) |
20 |
1 18 19
|
constrsuc |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) |
22 |
20 21
|
bitr4di |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) ) |
23 |
14 15 16 22
|
eqrd |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) |
24 |
|
3unrab |
⊢ ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } |
25 |
23 24
|
eqtr4di |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ) |
26 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
30 |
|
snfi |
⊢ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ∈ Fin |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ∈ Fin ) |
32 |
1 17
|
constrsscn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ω → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ ) |
33 |
32
|
ad9antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ ) |
34 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
35 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
36 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
37 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
38 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
39 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ ) |
40 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
41 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
42 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) |
43 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
44 |
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
|
constrrtll |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
45 |
44
|
r19.29an |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
46 |
45
|
r19.29an |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
47 |
46
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
49 |
|
rabsssn |
⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) |
50 |
48 49
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) } ) |
51 |
31 50
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin ) |
52 |
29 51
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin ) |
53 |
28 52
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin ) |
54 |
27 53
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin ) |
55 |
26 54
|
rabrexfi |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin ) |
56 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
57 |
|
snfi |
⊢ { 𝑎 } ∈ Fin |
58 |
57
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑎 } ∈ Fin ) |
59 |
32
|
ad10antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ ) |
60 |
|
simp-9r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
61 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
62 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
63 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
64 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
65 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
66 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
67 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
68 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
69 |
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
|
constrrtlc2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) |
70 |
69
|
r19.29an |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) |
71 |
70
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) ) |
72 |
71
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) ) |
73 |
|
rabsssn |
⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) ) |
74 |
72 73
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } ) |
75 |
58 74
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
76 |
|
prfi |
⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin |
77 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin ) |
78 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
79 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
80 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
81 |
80
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 ) |
82 |
32
|
ad10antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ ) |
83 |
|
simp-9r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
84 |
82 83
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
85 |
84
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
86 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
87 |
82 86
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
88 |
87
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ℂ ) |
89 |
88 85
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
90 |
87 84
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
91 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 ) |
92 |
91
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ≠ 𝑎 ) |
93 |
87 84 92
|
subne0d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ≠ 0 ) |
94 |
89 90 93
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
95 |
84 94
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
96 |
85 95
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
98 |
82 97
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ ) |
99 |
98
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) |
100 |
96 99
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
98 94
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
102 |
100 101
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
103 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
104 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
105 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
106 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) |
107 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
108 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
109 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
110 |
|
eqid |
⊢ ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
111 |
82 83 86 97 103 104 105 106 107 108 109 110 91
|
constrrtlc1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 ) ) |
112 |
111
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 ) |
113 |
102 94 112
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
114 |
98 100
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ ) |
115 |
82 103
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ ) |
116 |
82 104
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ ) |
117 |
115 116
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ ) |
118 |
115
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ℂ ) |
119 |
116
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ ) |
120 |
118 119
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ∈ ℂ ) |
121 |
117 120
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ∈ ℂ ) |
122 |
114 121
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
123 |
122
|
negcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
124 |
123 94 112
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
125 |
78
|
sqcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
126 |
125
|
mullidd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) ) |
127 |
126
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) |
128 |
111
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ) |
129 |
127 128
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ) |
130 |
78 79 81 113 124 129
|
quad3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) |
131 |
130
|
r19.29an |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) |
132 |
131
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
133 |
132
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
134 |
|
rabsspr |
⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
135 |
133 134
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ) |
136 |
77 135
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
137 |
|
exmidne |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 ) |
138 |
137
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) |
139 |
75 136 138
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
140 |
56 139
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
141 |
29 140
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
142 |
28 141
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
143 |
27 142
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
144 |
26 143
|
rabrexfi |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
145 |
55 144
|
unfid |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin ) |
146 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
147 |
146
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) |
148 |
|
prfi |
⊢ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin |
149 |
148
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin ) |
150 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
151 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
152 |
80
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 ) |
153 |
32
|
ad9antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ⊆ ℂ ) |
154 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
155 |
153 154
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ ) |
156 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
157 |
153 156
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ ) |
158 |
155 157
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ ℂ ) |
159 |
158
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ∈ ℂ ) |
160 |
158 159
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∈ ℂ ) |
161 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
162 |
153 161
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ ) |
163 |
162
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ℂ ) |
164 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
165 |
153 164
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
166 |
162 165
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 + 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
167 |
163 166
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
168 |
160 167
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
169 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
170 |
153 169
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
171 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) |
172 |
153 171
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ ) |
173 |
170 172
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑐 ) ∈ ℂ ) |
174 |
173
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ ) |
175 |
173 174
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ ) |
176 |
165
|
cjcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
177 |
176 166
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
178 |
175 177
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
179 |
168 178
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
180 |
163 176
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
181 |
162 165
|
cjsubd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) |
182 |
162 165
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
183 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑑 ) |
184 |
183
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ≠ 𝑎 ) |
185 |
162 165 184
|
subne0d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ≠ 0 ) |
186 |
182 185
|
cjne0d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) ≠ 0 ) |
187 |
181 186
|
eqnetrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ≠ 0 ) |
188 |
179 180 187
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
189 |
162 165
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 · 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
190 |
176 189
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
191 |
175 162
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ∈ ℂ ) |
192 |
190 191
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) ∈ ℂ ) |
193 |
163 189
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
194 |
160 165
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
195 |
193 194
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
196 |
192 195
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
197 |
196 180 187
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
198 |
197
|
negcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ ) |
199 |
150
|
sqcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
200 |
199
|
mullidd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) ) |
201 |
200
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) |
202 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) |
203 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
204 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) |
205 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) |
206 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) |
207 |
|
eqid |
⊢ - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) |
208 |
153 164 169 171 161 154 156 150 183 202 203 204 205 206 207
|
constrrtcc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ) |
209 |
201 208
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ) |
210 |
150 151 152 188 198 209
|
quad3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) |
211 |
210
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
212 |
211
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
213 |
|
rabsspr |
⊢ ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) ) |
214 |
212 213
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ) |
215 |
149 214
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
216 |
147 215
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
217 |
146 216
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
218 |
29 217
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
219 |
28 218
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
220 |
27 219
|
rabrexfi |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
221 |
26 220
|
rabrexfi |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ∈ Fin ) |
222 |
145 221
|
unfid |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin ) |
223 |
25 222
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) |
224 |
223
|
ex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ω → ( ( 𝐶 ‘ 𝑛 ) ∈ Fin → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) ) |
225 |
4 6 8 10 13 224
|
finds |
⊢ ( 𝑁 ∈ ω → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin ) |
226 |
2 225
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin ) |