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Theorem constrfin

Description: Each step of the construction of constructible numbers is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

Ref Expression
Hypotheses constr0.1 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
constrfin.1 ( 𝜑𝑁 ∈ ω )
Assertion constrfin ( 𝜑 → ( 𝐶𝑁 ) ∈ Fin )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 constr0.1 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
2 constrfin.1 ( 𝜑𝑁 ∈ ω )
3 fveq2 ( 𝑚 = ∅ → ( 𝐶𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ ∅ ) )
4 3 eleq1d ( 𝑚 = ∅ → ( ( 𝐶𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin ) )
5 fveq2 ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐶𝑚 ) = ( 𝐶𝑛 ) )
6 5 eleq1d ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐶𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) )
7 fveq2 ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( 𝐶𝑚 ) = ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) )
8 7 eleq1d ( 𝑚 = suc 𝑛 → ( ( 𝐶𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) )
9 fveq2 ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝐶𝑚 ) = ( 𝐶𝑁 ) )
10 9 eleq1d ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( 𝐶𝑚 ) ∈ Fin ↔ ( 𝐶𝑁 ) ∈ Fin ) )
11 1 constr0 ( 𝐶 ‘ ∅ ) = { 0 , 1 }
12 prfi { 0 , 1 } ∈ Fin
13 11 12 eqeltri ( 𝐶 ‘ ∅ ) ∈ Fin
14 nfv 𝑥 ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
15 nfcv 𝑥 ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 )
16 nfrab1 𝑥 { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) }
17 nnon ( 𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On )
18 17 adantr ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → 𝑛 ∈ On )
19 eqid ( 𝐶𝑛 ) = ( 𝐶𝑛 )
20 1 18 19 constrsuc ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) ) ) )
21 rabid ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) ) )
22 20 21 bitr4di ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) } ) )
23 14 15 16 22 eqrd ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) } )
24 3unrab ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) }
25 23 24 eqtr4di ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) = ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) )
26 simpr ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
27 26 adantr ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
28 27 adantr ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
29 28 adantr ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
30 snfi { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) } ∈ Fin
31 30 a1i ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) } ∈ Fin )
32 1 17 constrsscn ( 𝑛 ∈ ω → ( 𝐶𝑛 ) ⊆ ℂ )
33 32 ad9antr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ⊆ ℂ )
34 simp-8r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
35 simp-7r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
36 simp-6r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
37 simp-5r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
38 simpllr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
39 simplr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
40 simpr1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
41 simpr2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) )
42 simpr3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
43 eqid ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) )
44 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 constrrtll ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
45 44 r19.29an ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
46 45 r19.29an ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
47 46 ex ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) )
48 47 ralrimiva ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) )
49 rabsssn ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) )
50 48 49 sylibr ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ⊆ { ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) − ( ( 𝑏𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏𝑎 ) ) ) } )
51 31 50 ssfid ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
52 29 51 rabrexfi ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
53 28 52 rabrexfi ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
54 27 53 rabrexfi ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
55 26 54 rabrexfi ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∈ Fin )
56 29 adantr ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
57 snfi { 𝑎 } ∈ Fin
58 57 a1i ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑎 } ∈ Fin )
59 32 ad10antr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ⊆ ℂ )
60 simp-9r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
61 simp-8r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
62 simp-7r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
63 simp-6r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
64 simp-5r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
65 simplr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
66 simprl ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
67 simprr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) )
68 simp-4r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
69 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 constrrtlc2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 )
70 69 r19.29an ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 )
71 70 ex ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
72 71 ralrimiva ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
73 rabsssn ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) )
74 72 73 sylibr ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { 𝑎 } )
75 58 74 ssfid ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
76 prfi { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin
77 76 a1i ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) → { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin )
78 simpllr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
79 1cnd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
80 ax-1ne0 1 ≠ 0
81 80 a1i ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 )
82 32 ad10antr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ⊆ ℂ )
83 simp-9r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
84 82 83 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
85 84 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
86 simp-8r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
87 82 86 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
88 87 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ℂ )
89 88 85 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
90 87 84 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑎 ) ∈ ℂ )
91 simp-4r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎𝑏 )
92 91 necomd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏𝑎 )
93 87 84 92 subne0d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑎 ) ≠ 0 )
94 89 90 93 divcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ∈ ℂ )
95 84 94 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
96 85 95 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
97 simp-7r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
98 82 97 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
99 98 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ )
100 96 99 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
101 98 94 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
102 100 101 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
103 simp-6r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
104 simp-5r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
105 simplr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
106 simprl ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) )
107 simprr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) )
108 eqid ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) )
109 eqid ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) )
110 eqid ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) = ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) )
111 82 83 86 97 103 104 105 106 107 108 109 110 91 constrrtlc1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ≠ 0 ) )
112 111 simprd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ≠ 0 )
113 102 94 112 divcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
114 98 100 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
115 82 103 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
116 82 104 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
117 115 116 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒𝑓 ) ∈ ℂ )
118 115 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ℂ )
119 116 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ℂ )
120 118 119 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ∈ ℂ )
121 117 120 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ∈ ℂ )
122 114 121 addcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
123 122 negcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
124 123 94 112 divcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
125 78 sqcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
126 125 mullidd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) )
127 126 oveq1d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) )
128 111 simpld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
129 127 128 eqtrd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
130 78 79 81 113 124 129 quad3d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
131 130 r19.29an ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
132 131 ex ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
133 132 ralrimiva ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
134 rabsspr ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
135 133 134 sylibr ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } )
136 77 135 ssfid ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑎𝑏 ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
137 exmidne ( 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏 )
138 137 a1i ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏 ) )
139 75 136 138 mpjaodan ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
140 56 139 rabrexfi ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
141 29 140 rabrexfi ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
142 28 141 rabrexfi ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
143 27 142 rabrexfi ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
144 26 143 rabrexfi ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
145 55 144 unfid ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin )
146 29 adantr ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
147 146 adantr ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin )
148 prfi { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin
149 148 a1i ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ∈ Fin )
150 simplr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
151 1cnd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
152 80 a1i ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 1 ≠ 0 )
153 32 ad9antr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶𝑛 ) ⊆ ℂ )
154 simp-4r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
155 153 154 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
156 simpllr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
157 153 156 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
158 155 157 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒𝑓 ) ∈ ℂ )
159 158 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ∈ ℂ )
160 158 159 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ∈ ℂ )
161 simp-5r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
162 153 161 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
163 162 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ℂ )
164 simp-8r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
165 153 164 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
166 162 165 addcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 + 𝑎 ) ∈ ℂ )
167 163 166 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
168 160 167 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
169 simp-7r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
170 153 169 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
171 simp-6r ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) )
172 153 171 sseldd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
173 170 172 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑐 ) ∈ ℂ )
174 173 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∈ ℂ )
175 173 174 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
176 165 cjcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ℂ )
177 176 166 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
178 175 177 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
179 168 178 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) ∈ ℂ )
180 163 176 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
181 162 165 cjsubd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
182 162 165 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑𝑎 ) ∈ ℂ )
183 simpr1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑎𝑑 )
184 183 necomd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → 𝑑𝑎 )
185 162 165 184 subne0d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑𝑎 ) ≠ 0 )
186 182 185 cjne0d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑𝑎 ) ) ≠ 0 )
187 181 186 eqnetrrd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ≠ 0 )
188 179 180 187 divcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
189 162 165 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 · 𝑎 ) ∈ ℂ )
190 176 189 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
191 175 162 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ∈ ℂ )
192 190 191 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) ∈ ℂ )
193 163 189 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
194 160 165 mulcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ∈ ℂ )
195 193 194 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
196 192 195 subcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
197 196 180 187 divcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
198 197 negcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ ℂ )
199 150 sqcld ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
200 199 mullidd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) = ( 𝑥 ↑ 2 ) )
201 200 oveq1d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
202 simpr2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) )
203 simpr3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) )
204 eqid ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) )
205 eqid ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) = ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) )
206 eqid ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
207 eqid - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
208 153 164 169 171 161 154 156 150 183 202 203 204 205 206 207 constrrtcc ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
209 201 208 eqtrd ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( 𝑥 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑥 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
210 150 151 152 188 198 209 quad3d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) )
211 210 ex ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
212 211 ralrimiva ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
213 rabsspr ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ( ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) → ( 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ∨ 𝑥 = ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) ) )
214 212 213 sylibr ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ⊆ { ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) + ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) , ( ( - ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) − ( √ ‘ ( ( ( ( ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ↑ 2 ) − ( 4 · ( 1 · - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) ) ) ) / ( 2 · 1 ) ) } )
215 149 214 ssfid ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
216 147 215 rabrexfi ( ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
217 146 216 rabrexfi ( ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
218 29 217 rabrexfi ( ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
219 28 218 rabrexfi ( ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
220 27 219 rabrexfi ( ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
221 26 220 rabrexfi ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ∈ Fin )
222 145 221 unfid ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( ( { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏𝑎 ) ) · ( 𝑑𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) } ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) ∪ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶𝑛 ) ( 𝑎𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒𝑓 ) ) ) } ) ∈ Fin )
223 25 222 eqeltrd ( ( 𝑛 ∈ ω ∧ ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin ) → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin )
224 223 ex ( 𝑛 ∈ ω → ( ( 𝐶𝑛 ) ∈ Fin → ( 𝐶 ‘ suc 𝑛 ) ∈ Fin ) )
225 4 6 8 10 13 224 finds ( 𝑁 ∈ ω → ( 𝐶𝑁 ) ∈ Fin )
226 2 225 syl ( 𝜑 → ( 𝐶𝑁 ) ∈ Fin )