Theorem constrelextdg2

Description: If the N -th step ( CN ) of the construction of constuctible numbers is included in a subfield F of the complex numbers, then any element X of the next step ( Csuc N ) is either in F or in a quadratic extension of F . (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
	constrelextdg2.k	⊢ 𝐾 = ( ℂfld ↾s 𝐹 )
	constrelextdg2.l	⊢ 𝐿 = ( ℂfld ↾s ( ℂfld fldGen ( 𝐹 ∪ { 𝑋 } ) ) )
	constrelextdg2.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) )
	constrelextdg2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
	constrelextdg2.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
	constrelextdg2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑁 ) )
Assertion	constrelextdg2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	⊢ 𝐶 = rec ( ( 𝑠 ∈ V ↦ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑥 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ 𝑠 ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 ∃ 𝑐 ∈ 𝑠 ∃ 𝑑 ∈ 𝑠 ∃ 𝑒 ∈ 𝑠 ∃ 𝑓 ∈ 𝑠 ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
2		constrelextdg2.k	⊢ 𝐾 = ( ℂfld ↾s 𝐹 )
3		constrelextdg2.l	⊢ 𝐿 = ( ℂfld ↾s ( ℂfld fldGen ( 𝐹 ∪ { 𝑋 } ) ) )
4		constrelextdg2.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) )
5		constrelextdg2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ On )
6		constrelextdg2.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
7		constrelextdg2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑁 ) )
8		cnfldbas	⊢ ℂ = ( Base ‘ ℂfld )
9	8	sdrgss	⊢ ( 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) → 𝐹 ⊆ ℂ )
10	4 9	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ⊆ ℂ )
11	10	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝐹 ⊆ ℂ )
12	6	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
13		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
14	12 13	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ 𝐹 )
15		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
16	12 15	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ 𝐹 )
17		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
18	12 17	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ 𝐹 )
19		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
20	12 19	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ 𝐹 )
21		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
22		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
23		simpr1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
24		simpr2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
25		simpr3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 )
26		eqid	⊢ ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
27	11 14 16 18 20 21 22 23 24 25 26	constrrtll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 = ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
28		cnfldadd	⊢ + = ( +g ‘ ℂfld )
29		sdrgsubrg	⊢ ( 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) → 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) )
30		subrgsubg	⊢ ( 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) → 𝐹 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) )
31	4 29 30	3syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) )
32	31	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝐹 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) )
33		cnfldmul	⊢ · = ( .r ‘ ℂfld )
34	4 29	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) )
35	34	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) )
36		cnflddiv	⊢ / = ( /r ‘ ℂfld )
37		cnfld0	⊢ 0 = ( 0g ‘ ℂfld )
38	4	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) )
39		cnfldsub	⊢ − = ( -g ‘ ℂfld )
40	39 32 14 18	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑎 − 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
41	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑁 ∈ On )
42	1 41 19	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
43	12 42	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ 𝐹 )
44	1 41 17	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
45	12 44	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
46	39 32 43 45	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
47	33 35 40 46	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐹 )
48	1 41 13	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
49	12 48	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
50	39 32 49 45	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
51	39 32 20 18	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
52	33 35 50 51	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
53	39 32 47 52	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐹 )
54	1 41 15	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
55	12 54	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐹 )
56	39 32 55 49	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
57	33 35 56 51	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
58	39 32 16 14	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
59	33 35 58 46	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐹 )
60	39 32 57 59	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
61	11 16	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
62	11 14	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
63	61 62	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
64	63	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
65	11 58	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
66	65	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ ℂ )
67	11 51	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℂ )
68	66 67	cjmuld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
69	65	cjcjd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
70	11 20	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
71	11 18	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
72	70 71	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
73	69 72	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
74	68 73	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) )
75	64 74	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) = ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
76	66 67	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ )
77		imval2	⊢ ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
78	76 77	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) = ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
79	78	neeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) ≠ 0 ) )
80	25 79	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) ≠ 0 )
81	76	cjcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∈ ℂ )
82	76 81	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ∈ ℂ )
83		2cnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 2 ∈ ℂ )
84		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
85	84	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → i ∈ ℂ )
86	83 85	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 2 · i ) ∈ ℂ )
87		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
88		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
89		ine0	⊢ i ≠ 0
90	87 84 88 89	mulne0i	⊢ ( 2 · i ) ≠ 0
91	90	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 2 · i ) ≠ 0 )
92	82 86 91	divne0bd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) ≠ 0 ) )
93	80 92	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ∗ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 )
94	75 93	eqnetrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ≠ 0 )
95	36 37 38 53 60 94	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
96	33 35 95 58	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
97	28 32 14 96	subgcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑎 + ( ( ( ( ( 𝑎 − 𝑐 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) / ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) − ( ( 𝑏 − 𝑎 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
98	27 97	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐹 )
99	98	orcd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
100	99	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
101	100	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
102	101	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
103	102	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
104	103	r19.29an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
105	104	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
106	1 5	constrsscn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ ℂ )
107	106	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ ℂ )
108		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
109		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
110		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
111		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
112		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
113		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑡 ∈ ℝ )
114		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
115		simplrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
116		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑎 = 𝑏 )
117	107 108 109 110 111 112 113 114 115 116	constrrtlc2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑋 = 𝑎 )
118	6	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
119	118 108	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑎 ∈ 𝐹 )
120	117 119	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → 𝑋 ∈ 𝐹 )
121	120	orcd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = 𝑏 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
122		eqid	⊢ ( Poly1 ‘ 𝐾 ) = ( Poly1 ‘ 𝐾 )
123		eqid	⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) )
124		cnfldfld	⊢ ℂfld ∈ Field
125	124	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ℂfld ∈ Field )
126	4	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) )
127		eqid	⊢ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑁 )
128	1 5 127	constrsuc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐶 ‘ suc 𝑁 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) ) )
129	7 128	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ) )
130	129	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
131	130	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑋 ∈ ℂ )
132	31	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝐹 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) )
133	6	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
134	5	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑁 ∈ On )
135		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
136	1 134 135	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
137	133 136	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
138	126 29	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) )
139	133 135	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑎 ∈ 𝐹 )
140		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
141	1 134 140	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
142	133 141	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐹 )
143	39 132 142 137	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
144	133 140	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑏 ∈ 𝐹 )
145	39 132 144 139	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
146	106	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ ℂ )
147	146 140	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
148	146 135	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑎 ∈ ℂ )
149		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
150	149	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑏 ≠ 𝑎 )
151	147 148 150	subne0d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ≠ 0 )
152	36 37 126 143 145 151	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
153	33 138 139 152	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
154	39 132 137 153	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
155		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
156	1 134 155	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
157	133 156	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
158	39 132 154 157	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
159	133 155	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑐 ∈ 𝐹 )
160	33 138 159 152	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
161	39 132 158 160	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
162		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
163		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
164		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑡 ∈ ℝ )
165		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) )
166		simplrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
167		eqid	⊢ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) )
168		eqid	⊢ ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
169		eqid	⊢ ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) = ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
170	146 135 140 155 162 163 164 165 166 167 168 169 149	constrrtlc1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 ) )
171	170	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ≠ 0 )
172	36 37 126 161 152 171	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
173		df-neg	⊢ - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) = ( 0 − ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
174	1 134	constr01	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → { 0 , 1 } ⊆ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
175	37	fvexi	⊢ 0 ∈ V
176	175	prid1	⊢ 0 ∈ { 0 , 1 }
177	176	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 0 ∈ { 0 , 1 } )
178	174 177	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 0 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
179	133 178	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 0 ∈ 𝐹 )
180	33 138 159 158	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐹 )
181	133 162	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑒 ∈ 𝐹 )
182	133 163	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 𝑓 ∈ 𝐹 )
183	39 132 181 182	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ 𝐹 )
184	1 134 162	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
185	133 184	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐹 )
186	1 134 163	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
187	133 186	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐹 )
188	39 132 185 187	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ∈ 𝐹 )
189	33 138 183 188	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ∈ 𝐹 )
190	28 132 180 189	subgcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
191	39 132 179 190	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 0 − ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
192	173 191	eqeltrid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
193	36 37 126 192 152 171	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
194		2nn0	⊢ 2 ∈ ℕ0
195	194	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → 2 ∈ ℕ0 )
196		cnfldexp	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) = ( 𝑋 ↑ 2 ) )
197	131 195 196	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) = ( 𝑋 ↑ 2 ) )
198	197	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) )
199	170	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
200	198 199	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) + ( ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) − ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + ( - ( ( 𝑐 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) − ( 𝑎 · ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ) + ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ) ) / ( ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) / ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
201	2 3 37 122 8 33 28 123 125 126 131 172 193 200	rtelextdg2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
202		exmidne	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 )
203	202	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
204	121 201 203	mpjaodan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
205	204	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
206	205	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
207	206	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
208	207	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
209	208	r19.29an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
210	209	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
211	124	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ℂfld ∈ Field )
212	4	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( SubDRing ‘ ℂfld ) )
213	130	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
214	212 29 30	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( SubGrp ‘ ℂfld ) )
215	212 29	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) )
216	6	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ 𝐹 )
217		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
218	216 217	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ 𝐹 )
219		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
220	216 219	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝐹 )
221	39 214 218 220	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑒 − 𝑓 ) ∈ 𝐹 )
222	106	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ⊆ ℂ )
223	222 217	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℂ )
224	222 219	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℂ )
225	223 224	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) )
226	5	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ On )
227	1 226 217	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
228	216 227	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐹 )
229	1 226 219	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
230	216 229	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐹 )
231	39 214 228 230	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑒 ) − ( ∗ ‘ 𝑓 ) ) ∈ 𝐹 )
232	225 231	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ∈ 𝐹 )
233	33 215 221 232	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∈ 𝐹 )
234		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
235	1 226 234	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
236	216 235	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑑 ) ∈ 𝐹 )
237	216 234	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝐹 )
238		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
239	216 238	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐹 )
240	28 214 237 239	subgcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 + 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
241	33 215 236 240	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
242	39 214 233 241	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
243		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
244	216 243	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝐹 )
245		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
246	216 245	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝐹 )
247	39 214 244 246	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑏 − 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
248	222 243	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
249	222 245	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℂ )
250	248 249	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) )
251	1 226 243	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
252	216 251	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐹 )
253	1 226 245	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
254	216 253	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐹 )
255	39 214 252 254	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑏 ) − ( ∗ ‘ 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
256	250 255	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∈ 𝐹 )
257	33 215 247 256	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐹 )
258	1 226 238	constrconj	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
259	216 258	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
260	33 215 259 240	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
261	39 214 257 260	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
262	39 214 242 261	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
263	39 214 236 259	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
264	222 234	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℂ )
265	222 238	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
266	264 265	cjsubd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
267	264 265	subcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
268		simpr1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑑 )
269	268	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 𝑑 ≠ 𝑎 )
270	264 265 269	subne0d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 − 𝑎 ) ≠ 0 )
271	267 270	cjne0d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 𝑑 − 𝑎 ) ) ≠ 0 )
272	266 271	eqnetrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ≠ 0 )
273	36 37 212 262 263 272	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
274		df-neg	⊢ - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( 0 − ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) )
275	1 226	constr01	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → { 0 , 1 } ⊆ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
276	176	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 0 ∈ { 0 , 1 } )
277	275 276	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 0 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) )
278	216 277	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → 0 ∈ 𝐹 )
279	33 215 237 239	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑑 · 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
280	33 215 259 279	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
281	33 215 257 237	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ∈ 𝐹 )
282	39 214 280 281	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) ∈ 𝐹 )
283	33 215 236 279	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
284	33 215 233 239	subrgmcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ∈ 𝐹 )
285	39 214 283 284	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ∈ 𝐹 )
286	39 214 282 285	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
287	36 37 212 286 263 272	sdrgdvcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
288	39 214 278 287	subgsubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 0 − ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ∈ 𝐹 )
289	274 288	eqeltrid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ∈ 𝐹 )
290	213 194 196	sylancl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) = ( 𝑋 ↑ 2 ) )
291	290	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) )
292		simpr2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
293		simpr3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
294		eqid	⊢ ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) )
295		eqid	⊢ ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) = ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) )
296		eqid	⊢ ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
297		eqid	⊢ - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) = - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) )
298	222 238 243 245 234 217 219 213 268 292 293 294 295 296 297	constrrtcc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
299	291 298	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 2 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝑋 ) + ( ( ( ( ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) − ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 + 𝑎 ) ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) · 𝑋 ) + - ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝑎 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑏 − 𝑐 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ) · 𝑑 ) ) − ( ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) · ( 𝑑 · 𝑎 ) ) − ( ( ( 𝑒 − 𝑓 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) · 𝑎 ) ) ) / ( ( ∗ ‘ 𝑑 ) − ( ∗ ‘ 𝑎 ) ) ) ) ) = 0 )
300	2 3 37 122 8 33 28 123 211 212 213 273 289 299	rtelextdg2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
301	300	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
302	301	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
303	302	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
304	303	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
305	304	r19.29an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
306	305	r19.29an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )
307	129	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑋 = ( 𝑐 + ( 𝑟 · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) · ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ≠ 0 ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ℝ ( 𝑋 = ( 𝑎 + ( 𝑡 · ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ∨ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑒 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑓 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( 𝑎 ≠ 𝑑 ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑎 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑏 − 𝑐 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑑 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑒 − 𝑓 ) ) ) ) )
308	105 210 306 307	mpjao3dan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ 𝐹 ∨ ( 𝐿 [:] 𝐾 ) = 2 ) )