Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mapdh8a.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
mapdh8a.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
mapdh8a.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
mapdh8a.s |
⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
mapdh8a.o |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 ) |
6 |
|
mapdh8a.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 ) |
7 |
|
mapdh8a.c |
⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
mapdh8a.d |
⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 ) |
9 |
|
mapdh8a.r |
⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 ) |
10 |
|
mapdh8a.q |
⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 ) |
11 |
|
mapdh8a.j |
⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 ) |
12 |
|
mapdh8a.m |
⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
13 |
|
mapdh8a.i |
⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) ) |
14 |
|
mapdh8a.k |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
15 |
|
mapdh8h.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 ) |
16 |
|
mapdh8h.mn |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) |
17 |
|
mapdh9a.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
18 |
|
mapdh9a.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
19 |
14
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
20 |
15
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝐷 ) |
21 |
16
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) |
22 |
17
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
23 |
|
simp3ll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
24 |
|
simp3rl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
25 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
26 |
25
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
27 |
26
|
necomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) |
28 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
29 |
28
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
30 |
29
|
necomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
31 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
32 |
31
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
33 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
34 |
33
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
35 |
18
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
36 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 20 21 22 23 24 27 30 32 34 35
|
mapdh8 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) |
37 |
36
|
3exp |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
38 |
37
|
ralrimivv |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) |
39 |
17
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
40 |
1 2 3 6 14 39 18
|
dvh3dim |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
41 |
|
eqid |
⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 ) |
42 |
1 2 14
|
dvhlmod |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
44 |
3 41 6 42 39 18
|
lspprcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
45 |
44
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
46 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
47 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
48 |
5 41 43 45 46 47
|
lssneln0 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
49 |
1 2 14
|
dvhlvec |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec ) |
50 |
49
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LVec ) |
51 |
39
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
52 |
18
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
53 |
3 6 50 46 51 52 47
|
lspindpi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
54 |
48 53
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
55 |
54
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
57 |
40 56
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
58 |
14
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
59 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝐷 ) |
60 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) |
61 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
62 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
63 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
64 |
63
|
necomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) |
65 |
10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 59 60 61 62 64
|
mapdhcl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
66 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) ) |
67 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
68 |
10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 59 60 61 67 65 64
|
mapdheq |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑧 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) ) } ) ) ) ) |
69 |
66 68
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑧 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) ) } ) ) ) |
70 |
69
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) } ) ) |
71 |
18
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
72 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
73 |
10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 65 70 67 71 72
|
mapdhcl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
74 |
73
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) |
75 |
74
|
ancld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) ) |
76 |
75
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) ) |
77 |
57 76
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) |
78 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ) |
79 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → { 𝑧 } = { 𝑤 } ) |
80 |
79
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
81 |
80
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) |
82 |
80
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
83 |
81 82
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
84 |
78 83
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
85 |
|
oteq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 = 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) |
86 |
|
oteq3 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 = 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) |
87 |
86
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ) |
88 |
87
|
oteq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 = 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) |
89 |
85 88
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 = 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) |
90 |
89
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) |
91 |
84 90
|
reusv3 |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ∈ 𝐷 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
92 |
77 91
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑤 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
93 |
38 92
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) |
94 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∨ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
95 |
|
elun |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∨ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
96 |
94 95
|
xchnxbir |
⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
97 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
98 |
3 41 6
|
lspsncl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
99 |
42 39 98
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
100 |
99
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
101 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
102 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
103 |
5 41 97 100 101 102
|
lssneln0 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
104 |
103
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) ) |
105 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
106 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
107 |
39
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
108 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
109 |
3 6 105 106 107 108
|
lspsnne2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
110 |
109
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) |
111 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
112 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 ) |
113 |
18
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
114 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
115 |
3 6 111 112 113 114
|
lspsnne2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) |
116 |
115
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
117 |
110 116
|
anim12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
118 |
104 117
|
jcad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
119 |
96 118
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) |
120 |
119
|
imim1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
121 |
120
|
ralimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
122 |
121
|
reximdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
123 |
93 122
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) |
124 |
3 6 42 39 18
|
lspprid1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
125 |
41 6 42 44 124
|
lspsnel5a |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
126 |
3 6 42 39 18
|
lspprid2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
127 |
41 6 42 44 126
|
lspsnel5a |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
128 |
125 127
|
unssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) |
129 |
128
|
ssneld |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
130 |
129
|
reximdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) |
131 |
40 130
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
132 |
|
reusv1 |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
133 |
131 132
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) ) |
134 |
123 133
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ 〈 𝑧 , ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 〉 ) , 𝑇 〉 ) ) ) |