Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pntsval.1 |
⊢ 𝑆 = ( 𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑎 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑖 ) · ( ( log ‘ 𝑖 ) + ( ψ ‘ ( 𝑎 / 𝑖 ) ) ) ) ) |
2 |
|
pntrlog2bnd.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ( ( ψ ‘ 𝑎 ) − 𝑎 ) ) |
3 |
|
1red |
⊢ ( ⊤ → 1 ∈ ℝ ) |
4 |
2
|
selberg34r |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ 𝑂(1) |
5 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
7 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ+ ) |
9 |
|
1red |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
10 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) ) |
12 |
11
|
simpld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 < 𝑥 ) |
13 |
9 6 12
|
ltled |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ≤ 𝑥 ) |
14 |
6 8 13
|
rpgecld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
15 |
2
|
pntrf |
⊢ 𝑅 : ℝ+ ⟶ ℝ |
16 |
15
|
ffvelrni |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
17 |
14 16
|
syl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
18 |
14
|
relogcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
19 |
17 18
|
remulcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ Fin ) |
21 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
22 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
23 |
22
|
adantl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
24 |
23
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ ) |
25 |
21 24
|
rpdivcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ+ ) |
26 |
15
|
ffvelrni |
⊢ ( ( 𝑥 / 𝑛 ) ∈ ℝ+ → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) |
29 |
|
dvdsssfz1 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ⊆ ( 1 ... 𝑛 ) ) |
30 |
23 29
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ⊆ ( 1 ... 𝑛 ) ) |
31 |
28 30
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ∈ Fin ) |
32 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ⊆ ℕ |
33 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) |
34 |
32 33
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
35 |
|
vmacl |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( Λ ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
37 |
|
dvdsdivcl |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( 𝑛 / 𝑚 ) ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) |
38 |
23 37
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( 𝑛 / 𝑚 ) ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) |
39 |
32 38
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( 𝑛 / 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
40 |
|
vmacl |
⊢ ( ( 𝑛 / 𝑚 ) ∈ ℕ → ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
39 40
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
36 41
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
31 42
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
44 |
|
vmacl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
45 |
23 44
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
46 |
24
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
47 |
45 46
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
48 |
43 47
|
resubcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
27 48
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
50 |
20 49
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
51 |
6 12
|
rplogcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
52 |
50 51
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
19 52
|
resubcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
54 |
53 14
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
55 |
54
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
56 |
55
|
lo1o12 |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ 𝑂(1) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) ) |
57 |
4 56
|
mpbii |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) |
58 |
55
|
abscld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
60 |
59
|
abscld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
61 |
60 18
|
remulcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
62 |
27
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
63 |
62
|
abscld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
23
|
nnred |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
65 |
1
|
pntsf |
⊢ 𝑆 : ℝ ⟶ ℝ |
66 |
65
|
ffvelrni |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℝ → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
67 |
64 66
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
68 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
69 |
64 68
|
resubcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑛 − 1 ) ∈ ℝ ) |
70 |
65
|
ffvelrni |
⊢ ( ( 𝑛 − 1 ) ∈ ℝ → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
71 |
69 70
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
72 |
67 71
|
resubcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
73 |
63 72
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
74 |
20 73
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
75 |
74 51
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
61 75
|
resubcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
77 |
76 14
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
78 |
18
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
79 |
59 78
|
mulcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
80 |
50
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
81 |
51
|
rpne0d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
82 |
80 78 81
|
divcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
83 |
79 82
|
subcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
84 |
83
|
abscld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
85 |
80
|
abscld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
85 51
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
87 |
61 86
|
resubcld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℝ ) |
88 |
49
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
89 |
88
|
abscld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
90 |
20 89
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
91 |
20 88
|
fsumabs |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
92 |
48
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
93 |
62 92
|
absmuld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
94 |
92
|
abscld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
95 |
62
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) ) |
96 |
43
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
47
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
98 |
96 97
|
abs2dif2d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
99 |
71
|
recnd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
100 |
96 97
|
addcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
99 100
|
pncan2d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
102 |
|
elfzuz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
103 |
102
|
adantl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
104 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
105 |
104
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
106 |
|
vmacl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
107 |
105 106
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( Λ ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
108 |
105
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ+ ) |
109 |
108
|
relogcld |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( log ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
110 |
107 109
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
111 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 1 ... 𝑘 ) ∈ Fin ) |
112 |
|
dvdsssfz1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ⊆ ( 1 ... 𝑘 ) ) |
113 |
105 112
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ⊆ ( 1 ... 𝑘 ) ) |
114 |
111 113
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ∈ Fin ) |
115 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ⊆ ℕ |
116 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) |
117 |
115 116
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
118 |
117 35
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( Λ ‘ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
119 |
|
dvdsdivcl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( 𝑘 / 𝑚 ) ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) |
120 |
105 119
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( 𝑘 / 𝑚 ) ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) |
121 |
115 120
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( 𝑘 / 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
122 |
|
vmacl |
⊢ ( ( 𝑘 / 𝑚 ) ∈ ℕ → ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
123 |
121 122
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
124 |
118 123
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ) → ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
125 |
114 124
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
126 |
110 125
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
127 |
126
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
128 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( Λ ‘ 𝑘 ) = ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
129 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( log ‘ 𝑘 ) = ( log ‘ 𝑛 ) ) |
130 |
128 129
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
131 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑦 ∥ 𝑘 ↔ 𝑦 ∥ 𝑛 ) ) |
132 |
131
|
rabbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } = { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) |
133 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) = ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) |
134 |
133
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
135 |
134
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
136 |
132 135
|
sumeq12rdv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
137 |
130 136
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) = ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
138 |
103 127 137
|
fsumm1 |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑛 − 1 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) + ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
139 |
1
|
pntsval2 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℝ → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑛 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
140 |
64 139
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑛 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
141 |
23
|
nnzd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
142 |
|
flid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ 𝑛 ) = 𝑛 ) |
143 |
141 142
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ⌊ ‘ 𝑛 ) = 𝑛 ) |
144 |
143
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑛 ) ) = ( 1 ... 𝑛 ) ) |
145 |
144
|
sumeq1d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑛 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
146 |
140 145
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
147 |
1
|
pntsval2 |
⊢ ( ( 𝑛 − 1 ) ∈ ℝ → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
148 |
69 147
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
149 |
|
1zzd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
150 |
141 149
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑛 − 1 ) ∈ ℤ ) |
151 |
|
flid |
⊢ ( ( 𝑛 − 1 ) ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) = ( 𝑛 − 1 ) ) |
152 |
150 151
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) = ( 𝑛 − 1 ) ) |
153 |
152
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) = ( 1 ... ( 𝑛 − 1 ) ) ) |
154 |
153
|
sumeq1d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑛 − 1 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
155 |
148 154
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑛 − 1 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
156 |
96 97
|
addcomd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) = ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) ) |
157 |
155 156
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑛 − 1 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑘 ) · ( log ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑘 / 𝑚 ) ) ) ) + ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) + Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
158 |
138 146 157
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
159 |
158
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) + ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) |
160 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑚 ) ) |
161 |
34 160
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑚 ) ) |
162 |
|
vmage0 |
⊢ ( ( 𝑛 / 𝑚 ) ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) |
163 |
39 162
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → 0 ≤ ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) |
164 |
36 41 161 163
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
165 |
31 42 164
|
fsumge0 |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
166 |
43 165
|
absidd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) |
167 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
168 |
23 167
|
syl |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
169 |
23
|
nnge1d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ≤ 𝑛 ) |
170 |
64 169
|
logge0d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑛 ) ) |
171 |
45 46 168 170
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
172 |
47 171
|
absidd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) |
173 |
166 172
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) + ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
174 |
101 159 173
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) = ( ( abs ‘ Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
175 |
98 174
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) |
176 |
94 72 63 95 175
|
lemul2ad |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( abs ‘ ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ) |
177 |
93 176
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ) |
178 |
20 89 73 177
|
fsumle |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ) |
179 |
85 90 74 91 178
|
letrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) ) |
180 |
85 74 51 179
|
lediv1dd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
181 |
86 75 61 180
|
lesub2dd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
182 |
59 78
|
absmuld |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( abs ‘ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
183 |
6 13
|
logge0d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
184 |
18 183
|
absidd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( log ‘ 𝑥 ) ) |
185 |
184
|
oveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( abs ‘ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
186 |
182 185
|
eqtrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
187 |
80 78 81
|
absdivd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( abs ‘ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
188 |
184
|
oveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( abs ‘ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
189 |
187 188
|
eqtrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
190 |
186 189
|
oveq12d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
191 |
79 82
|
abs2difd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( abs ‘ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
192 |
190 191
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
193 |
76 87 84 181 192
|
letrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
194 |
76 84 14 193
|
lediv1dd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
195 |
53
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
196 |
6
|
recnd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
197 |
14
|
rpne0d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
198 |
195 196 197
|
absdivd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
199 |
14
|
rpge0d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 0 ≤ 𝑥 ) |
200 |
6 199
|
absidd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) = 𝑥 ) |
201 |
200
|
oveq2d |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
202 |
198 201
|
eqtrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) / 𝑥 ) ) |
203 |
194 202
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
204 |
203
|
adantrr |
⊢ ( ( ⊤ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) · ( Σ 𝑚 ∈ { 𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛 } ( ( Λ ‘ 𝑚 ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 / 𝑚 ) ) ) − ( ( Λ ‘ 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ) |
205 |
3 57 58 77 204
|
lo1le |
⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ≤𝑂(1) ) |
206 |
205
|
mptru |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( abs ‘ ( 𝑅 ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) · ( ( 𝑆 ‘ 𝑛 ) − ( 𝑆 ‘ ( 𝑛 − 1 ) ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) / 𝑥 ) ) ∈ ≤𝑂(1) |